Devoir surveillé N˚3, chapitre 3 : Géométrie plane 12 décembre

1ere S 2
Devoir surveillé N˚3, chapitre 3 : Géométrie plane
12 décembre 2012
L’ordre des exercices n’a pas d’importance, et surtout, toute trace de recherche, même infructeuse sera valorisée. De
plus, la calculatrice est autorisée, mais le détail des calculs, et la clareté des raisonnements sera pris en compte dans
l’évaluation.
Exercice 1 : QCM (7 points)
Q.C.M. : 1 point par réponse correcte, -0.5 si faux et 0 si rien.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
−
La norme du vecteur →
u (3; −4) est
√
√
→
−
−
Les vecteurs u (2 3; 3) et →
v (6; 3 3)
sont
Soient A(4; 8) et B(4; 9). Une équation
cartésienne de la droite (AB) est
Parmi les couples de droites,
lesquelles sont parallèles
Une équation de la droite dirigée par
→
−
u (1; 1) et passant par A(1; 1) est
Une équation de la droite (d)
parallèle à (AB), passant par C
avec A(−1; −3), B(−2; −4) et C(1; 1) est
Soit (d) : 3x − 2y + 1 = 0
−
||→
u || = 5
colinéaires et
de même norme
x−4=0
−
||→
u || = 25
colinéaires
−
||→
u || = −1
de même norme
8x + 8y + 9 = 0
x − 3y − 2 = 0
(d1 ) : 2x + 3y − 1 = 0
(d2 ) : −4x + 6y − 3 = 0
−y + 7x = 2
(d3 ) : x − y − 1 = 0
(d4 ) : −2x + 2y − 3 = 0
−2x = 0
(d5 ) : 7x − 1 = 0
(d6 ) : 7x + y − 3 = 0
−x + y = 0
−y + 7x = 2
−2x = 0
−x + y = 0
A(2; 3, 5) ∈ (d)
B(3; 3, 5) ∈ (d)
C(2; 3) ∈ (d)
Exercice 2 : (3 points)
−
−
−
Soient →
u (4; −3), →
v (t; 2) et →
w (x + 1; y − 2).
→
−
−
1. Déterminer t pour que u et →
v soient colinéaires.
−
−
2. Déterminer une relation entre x et y pour que →
u et →
w soient colinéaires.
Exercice 3 : Un peu de logique (3 points)
1. La propriété suivante est-elle vraie ? ”Si deux vecteurs sont égaux alors ils sont colinéaires”.
2. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 4 : Choisir un repère...(3 points)
Dans un triangle ABC, les points A0 , B 0 et C 0 sont les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]. M est le
milieu du segment [BC 0 ] et L est le symétrique du point A0 par rapport à B.
1. Dans le repère (B, C, A), déterminer les coordonnées des points L, M et B 0 .
2. Montrer que les points L, M et B 0 sont alignés.
Exercice 5 : (4 points)
−−→
−−→ −−→
−−→ →
−−→
−
Soit ABC un triangle. On définit les points M , N et P par : AM = 52 AB, N A − 2CN = 0 et P C =
−−→
−→
1. A l’aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur AN en fonction de AC.
−−→ −2 −−→ 2 −→
−−→ −9 −−→ 3 −→
2. Montrer que M N = 5 AB + 3 AC et M P = 10 AB + 2 AC .
3. En déduire que les points M , N et P sont alignés.
−→
−1 −
2 BC.
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Devoir surveillé N˚3, chapitre 3 : Géométrie plane
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Exercice 6 : La droite de Newton (Non noté)
Présentation du problème :
Soit ABC un triangle. Considérons une droite (d) coupant (AB) en D, (AC) en E et (BC) en F . Notons ensuite M1
le milieu de [CD], M2 le milieu de [AF ] et M3 le milieu de [BE].
But : Montrer que M1 , M2 et M3 sont alignés .
Premier cas : (d) passe par un des sommets du triangle.
Sans perte de généralité, supposons que la droite (d) passe par le point A.
1. Que peut-on dire des points A, D et E ?
2. Montrer que les points M1 , M2 et M3 sont alignés.
Deuxième cas : (d) ne passe pas par un des sommets du triangle (illustration ci-dessus)
Dans ce cas, (d) est dite être une droite ménélienne du triangle ABC.
On se place dans le repère (A, B, C).
3. Déterminer une équation de la droite (BC).
−−→
−−→
−→
−→
4.a Justifier l’existence de deux réels a et b tels que AD = aAB et AE = bAC.
4.b Donner les coordonnées de D et E en fonction de a et b.
4.c Démontrer que la droite (DE) a pour équation bx + ay − ab = 0.
4.d Justifier que a ne peut pas être égal à b.
5. Déduire des questions précédentes les coordonnées de F en fonction de a et b.
6. Déterminer les coordonnées des points M1 , M2 et M3 en fonction des paramètres a et b.
7. Justifier que M1 , M2 et M3 appartiennent à une même droite. Cette droite est appelée droite de Newton.
Pour la culture... : Comme précisé dans le deuxième cas, une droite ”traversant” un triangle sans passer par un
sommet est appelée une ménélienne de ce triangle. Concernant le premier cas, une droite ”traversant” un triangle en
passant par un des sommets est appelée une cévienne de ce triangle (par exemple, les hauteurs, médianes, médiatrices,
etc... d’un triangle sont des céviennes de ce triangle). Ces deux termes provenant de deux mathématiciens grec et italien, Ménélaüs et Giovanni Ceva. Et tout comme la droite de Newton, il existe le théorème de Ménélaus et le théorème
de Céva.
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Devoir surveillé N˚3, chapitre 3 : Correction
12 décembre 2012
Exercice 1
p:
√
−
1. ||→
u || = 32 + (−4)2 = 25 = 5 .
−
−
2. On montre facilement que les vecteurs →
u et →
v ont des normes différentes. Il reste donc à vérifier qu’ils sont co√
√
−
−
linéaires : 2 3 × 3 3 − 6 × 3 = 6 × 3 − 6 × 3 = 0. Les vecteurs →
u et →
v sont donc colinéaires .
3. On peut répondre de plusieurs manières. Choisissons de déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)
connaissant deux points de cette droite, en l’occurence les points A et B.
−−→
−−→
M (x, y) ∈ (AB) ⇔ AM (x − 4; y − 8) et AB(0; 1) sont colinéaires ⇔ (x − 4) × 1 − 0 × (y − 8) = 0 ⇔ x − 4 = 0 .
→, −
→ −
→
4. Pour répondre à cette question, on peut regarder les vecteur directeurs de chaque droite. Notons −
u
1 u2 ,...,u6 six
vecteurs directeurs respectifs des droites (d1 ),...,(d6 ).
−
→(−3, 2), −
→(−6; −4), −
→(1; 1), −
→(−2; −2), −
→(0; 7) et −
→(−1; 7). Le seul couple de vecteurs colinéaires est le couple
u
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
6
−
→
−
→
formé des vecteurs u3 et u4 .
Ainsi, les droites (d3 ) et (d4 ) forment le seul couple de droites parallèles parmis les trois couples proposés .
−
5. Notons (d) la droite passant par le point A et dirigée par le vecteur →
u.
−−→
→
−
M (x, y) ∈ (d) ⇔ AM (x − 1; y − 1) et u (1; 1) sont colinéaires ⇔ (x − 1) × 1 − 1 × (y − 1) = 0 ⇔ x − 1 − y + 1 = 0 ⇔
x − y = 0 ⇔ −x + y = 0 .
−−→
6. La droite (d) est parallèle à la droite (AB), donc le vecteur AB(1; −1) est un vecteur directeur de cette dernière.
De plus, le point C(1; 1) appartient à cette dernière, d’où :
−−→
−−→
M (x, y) ∈ (d) ⇔ CM (x − 1; y − 1) et AB(−1; −1) sont colinéaires ⇔ (x − 1) × (−1) − (−1) × (y − 1) = 0 ⇔
−x + 1 + y − 1 = 0 ⇔ −x + y = 0 ⇔ −x + y = 0 .
7. Seules les coordonnées du point A vérifient l’équation de la droite (d). Donc A ∈ (d) .
Exercice 2 :
−
−
1. Les vecteurs →
u (4; −3) et →
v (t; 2) sont colinéaires si et seulement si 4 × 2 − t × (−3) = 0 ce qui équivaut à t = −8
3 .
→
−
→
−
2. De la même façon que précédement : u et w sont colinéaires si et seulement si 4 × (y − 2) − (−3) × (x + 1) ce qui
équivaut à 4y − 8 + 3x + 3 = 0 ou encore à 4y + 3x − 5 = 0 .
Exercice 3 :
−
−
−
−
1. Soient deux vecteurs →
u (x; y) et →
v (x0 ; y 0 ). Supposons que les vecteurs →
u et →
v soient égaux. Alors ils ont les mêmes
→
−
→
−
0
0
coordonnées, c’est à dire que x = x et y = y . Il s’en suit que u (x; y) et v (x0 ; y 0 ) sont colinéaires si et seulement si
xy 0 − x0 y = 0 ce qui équivaut à xy − xy = 0 (puisque x = x0 et y = y 0 ).
| {z }
=0
Bilan : On a montré que si deux vecteurs sont égaux alors ils sont colinéaires .
2. La réciproque de cette proposition est : ”Si deux vecteur sont colinéaires, alors ils sont égaux”. Intuitivement,
−
−
cette proposition semble fausse, montrons le alors avec un contre exemple. Soient →
u (1; 1) et →
v (2; 2) deux vecteurs
→
−
→
−
colinéaires mais n’ayant pas les mêmes coordonnées, autrement dit, u et v ne sont pas égaux.
Bilan : Nous avons montré, par un contre exemple, que la réciproque est fausse .
Exercice 4 :
1. Dans le repère (B, C, A) : L(− 12 ; 0) , M (0; 41 ) , B 0 ( 12 ; 12 ) .
2. • Première ”méthode” :
−−→
−−→ −−→
−−→
Montrons que les vecteurs LM et LB 0 sont colinéaires. Dans le repère (B, C, A), on a : LM ( 12 ; 14 ) et LB 0 (1; 12 ). Vérifions
si ces deux vecteurs sont colinéaires : 12 × 12 − 14 × 1 = 0.
−−→
−−→
Les vecteurs LM et LB 0 sont colinéaires, donc les points L, M et B 0 sont alignés .
• Deuxième ”méthode” :
−−→
−−→
Déterminons une équation de la droite (LM ) dans le repère (B, C, A). N (x; y) ∈ (LM ) ⇔ N L(x + 21 ; y) et LM ( 12 ; 41 )
sont colinéaires ⇔ 41 × (x + 12 ) − y × 12 = 0 ⇔ x4 + 18 − y2 = 0 ⇔ 2x + 1 − 4y = 0. Puis, vérifions si le point B 0 ( 21 ; 21 )
appartient à la droite (LM ) : 2 × 21 + 1 − 4 × 12 = 0, donc le point B 0 appartient à la droite (LM ).
Les points B 0 , L et M appartiennent à la même droite, ils sont donc alignés .
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Devoir surveillé N˚3, chapitre 3 : Correction
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Exercice 5 :
−−→
−−→
−−→
−→
−−→
−−→
−→
−−→
−→
−−→
→
−
→
−
→
−
1. N A − 2CN = 0 ⇔ N A − 2CA − 2AN = 0 ⇔ −3AN − 2CA = 0 ⇔ −3AN = 2CA ⇔ AN =
−−→ 2 −→
AN = 3 AC .
−−→
−−→
−−→ −−→ 2 −−→
−→
−−→ −−→
2. • AM = 25 AB ⇔ |{z}
AN +N M = 5 AB ⇔ 23 AC − 25 AB = M N .
−→
2CA
−3
⇔
−→
= 23 AC
−−→
−−→
−−→ −−→ −1 −−→ 1 −→
−−→ −1 −−→ 1 −→ −−→
• D’une part P C = −1
2 BC ⇔ P M + M C = 2 BA − 2 AC ⇔ −M P = 2 BA − 2 AC + CM .
−−→
−−→
−→ −−→
−−→
−−→
−−→ −→
D’autre part, AM = 25 AB ⇔ AC + CM = 25 AB ⇔ CM = 25 AB + CA.
−−→ 1 −−→ 1 −→ 2 −−→ −→
−−→ 1 −−→ 1 −→ 2 −−→ −→
−−→
D’où finalement −M P = 2 AB + 2 CA+ 5 AB + CA ⇔ −M P = 2 AB + 2 CA+ 5 AB + CA ⇔ −M P =
−−→ −9 −−→ 3 −→
M P = 10 AB + 2 AC .
−−→
−−→
−−→
−−→
3. Il suffit de remarquer que M P = 94 M N . Autrement dit, les vecteurs M P et M N sont colinéaires,
donc les points M ,N et P sont alignés .
−→ 3 −→
9 −
10 AB + 2 CA
⇔
Exercice 6 :
1. Supposons que la droite (d) passe par le point A. Alors, les points A, D et E sont confondus , comme l’illustre la
figure ci-dessous :
2. En utilisant le théorème des milieux (cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès), puisque M2 et M3
sont les milieux des segments [DF ] et [DB], alors les droites (M2 M3 ) et (F B) (donc (F C) puisque les points F ,B
et C sont alignés) sont parallèles. De la même façon, les droites (M3 M1 ) et (BC) (donc (F C)) sont parallèles. Ainsi,
les droites (M2 M3 ) et (M3 M1 ) sont toutes les deux parallèles à la droite droite (F C). De plus, les droites (M2 M3 ) et
(M3 M1 ) ont en commun le point M3 , c’est donc quelle sont confondues.
Bilan : Nous avons montré que les droites (M2 M3 ) et (M3 M1 ) sont confondues, donc M1 , M2 et M3 sont alignés.
3. Dans le repère (A, B, C), une équation cartésienne de la droite (BC) est x + y − 1 = 0.
−−→
−→
4.a Les vecteurs AB et AC étant non colinéaires, on peut alors écrire les coordonnées de n’importe quel vecteur du
−−→ −→
−−→ −→
plan en fonction des vecteurs AB et AC, c’est en particulier vrai pour les vecteurs AD et AE. Ainsi, il existe des réels
−
−
→
−
−
→
−
→
−
→
−
−
→
−
→
a,a0 ,b et b0 tels que AD = aAB + a0 AC et AE = bAB + b0 AC. Or, les points D et E appartiennent respectivement à
l’axe des abscisses et des ordonnées du repère (A, B, C), donc a0 = 0 et b0 = 0.
−−→
−−→
−→
−→
Bilan : On a justifié l’existence de deux réels a et b tels que AD = aAB et AE = bAC.
4.b C’est immédiat d’après la question précédente. Les coordonnées dans le repère (A, B, C) sont D(a, 0) et E(0; b) .
−−→
−−→
4.c M (x; y) ∈ (DE) ⇔ DM (x − a; y) et ED(a; −b) sont colinéaires ⇔ −b × (x − a) − y × a = 0 ⇔ −bx + ab − ya = 0 ⇔
bx + ay − ab = 0 .
−−→
−→
4.d Dans le repère (A, B, C) on a AD(a; 0) et AE(0; b) puisque dans le repère (A, B, C) on a A(0; 0), D(a; 0) et E(0; b).
−−→
−→
Ensuite, les vecteurs AD et AE sont colinéaires si et seulement si a × b − 0 × 0 = 0, c’est à dire, si et seulement si
ab = 0. Supposons maintenant que a = b, alors a2 = 0 donc a = 0. Autrement dit, les coordonnées de D dans le
repère (A, B, C) sont (0; 0) et de même les coordonnées de E sont (0; 0), ce qui implique que les points A,D et E sont
confondus, ce qui est impossible puique la droite (d) ne passe pas par le point A (C’est le ”Premier cas”).
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Bilan : On a montré que a = b est impossible, donc a 6= b .
5. Notons (x1 ; x2 ) les coordonnées du point F dans le repère (A, B, C).Il s’agit alors d’exprimer x1 et x2 en fonction
de a et b.
D’une part F ∈ (BC) donc x1 + x2 − 1 = 0. D’autre part F ∈ (DE), donc bx1 + ax2 − ab = 0. On peut alors
x1 + x2 − 1 = 0
⇔
se ramener à la résolution d’un système 2 × 2, que l’on notera (S). On a alors, (S) :
bx1 + ax2 − ab = 0
ax1 + ax2 − a = 0
ax1 + ax2 − a = 0
ax1 + ax2 − a = 0
ax1 + ax2 − a = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
x1 (a − b) = a − ab
ax1 − a − bx1 + ab = 0
ax1 + ax2 − a − bx1 − ax2 + ab = 0
bx1 + ax2 − ab = 0
(
(
(
(
(
a−ab
a × a−ab
x2 = 1 − a−ab
x2 = −b+ab
ax1 + ax2 − a = 0
a−b + ax2 = a ⇔
a−b + x2 = 1 ⇔
a−b
a−b
⇔
⇔
.
a−ab
a−ab
a−ab
a−ab
x1 = a−b (car a 6= b)
x1 = a−b
x1 = a−b
x1 = a−b
x1 = a−ab
a−b
−b+ab
Bilan : On a montré que dans le repère (A, B, C) on a F ( a−ab
a−b ; a−b ) .
−b+ab
6. Dans le repère (A, B, C), on a : A(0; 0), C(0; 1), B(1; 0), D(a; 0) et E(0; b) et F ( a−ab
a−b ; a−b ). Ensuite, M1
C
C
; yD +y
) c’est à dire M1 ( a2 ; 12 ) . De la même façon, on obtient
est le milieu du segment [DC] donc M1 ( xD +x
2
2
a−ab −b+ab
; 2(a−b) ) et M3 ( 12 ; 2b ) .
M2 ( 2(a−b)
−−−−→
−−−−→
−−−→
−−−−→ a−a2 ab−a
b−1
a −
; 2(a−b) ) et M1 M3 ( 1−a
7. On trouve, après calculs, que M1 M2 ( 2(a−b)
2 ; 2 ), c’est à dire M1 M2 = b−a M1 M3 . Autrement
−−−−→ −−−−→
dit, les vecteurs M1 M2 etM1 M3 sont colinéaires.
−−−−→
−−−−→
Bilan : On a montré que les vecteurs M1 M2 et M1 M3 sont colinéaires, donc les points M1 ,M2 etM3 sont alignés .