Chapitre 9 – Équations de droites Table des matières

TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 9 – Équations de droites
Chapitre 9 – Équations de droites
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
24
Résolution graphique d’un système de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . I-4
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
II Cours
II-1
1
Deux types d’équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2
Déterminer l’équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3
Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
4
Vérifier si un point appartient à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
5
Points alignés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
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TABLE DES MATIÈRES – page -2
Chapitre 9 – Équations de droites
6
Intersection de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
7
Résolution de systèmes du 1er degré à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
8
Résolution graphique d’un système de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . II-5
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 9 – Équations de droites
I
Exercices
Deux types d’équations de droites – Déterminer l’équation d’une droite
1
Tracer un repère (O, I, J) du plan et tracer les droites d’équations
(d1 ) y = 2x − 3
(d2 ) y = −1, 5x
(d3 ) y = 2
Ces droites sont les représentations graphiques respectives des fonctions affines définies par les égalités
suivantes :
f1 (x) = 2x − 3
f2 (x) = −1, 5x
f3 (x) = 2.
2
1. Dans le repère de l’exercice précédent, placer les points
yB − yA
2. Calculer
xB − xA
3. À quoi correspond ce résultat ?
A (3 ; 3)
B (5 ; 7).
3
1. Tracer un repère (O, I, J) du plan et placer les points :
A (2 ; 2) B (6 ; 4) C (1 ; −1) D (4 ; −4) E (3 ; 5)
F (7 ; 5)
2. Déterminer l’équation y = mx + p (appelée équation réduite) de la droite (AB)
(a) graphiquement ; (b) par le calcul.
Explication pour calculer l’ordonnée à l’origine p : dans l’équation y = mx + p, on remplace x
et y par les coordonnées de A ou de B.
3. Mêmes consignes que 2a et 2b pour la droite (CD), puis pour la droite (EF).
4
1. Tracer un repère (O, I, J) du plan et placer les points :
D (8 ; 4)
A (−2 ; 5)
B (−1 ; 1)
C (4 ; 1)
2. Déterminer les équations réduites (y = mx + p) des droites (AB) et (CD) graphiquement et
par le calcul.
5
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A(2 ; 1) B(3 ; 4) C (2 ; −1) D (4 ; −5) G(−3 ; −5)
H(−3 ; 2)
2. Tracer la droite (AB), et déterminer son équation graphiquement, puis par le calcul.
3. Mêmes consignes pour la droite (CD).
4. Mêmes consignes pour la droite (GH). On constate qu’il y a un problème.
(a) Qu’est ce que cette droite a de particulier par rapport aux précédentes ?
(b) Tous les points de la droite (GH) ont quelque chose en commun. Quoi ?
6
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer les points :
A(5 ; 2) B (5 ; 4) C (−2 ; 4) D (−1 ; 1) E(−4 ; 5)
F (−4 ; −1)
2. Tracer les droites (AB), (CD), (EF) et déterminer graphiquement des équations de ces droites.
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 9 – Équations de droites
7
1. Écrire un algorithme qui indique si une droite est parallèle à l’axe des ordonnées ou non, à
partir des coordonnées de deux points de cette droite.
2. Le programmer.
8
1. Écrire un algorithme qui calcule l’équation réduite d’une droite, à partir des coordonnées de
deux points de cette droite.
2. Le programmer.
Droites parallèles
9
1.
2.
3.
4.
Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A(−2 ; 2) B(2 ; 3) C(−2 ; 0)
Calculer l’équation de la droite (AB)
Tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par C. Quel est son coefficient directeur ?
Calculer l’équation de la droite (d).
10
Voici les équations réduites de plusieurs droites. Sans tracer ces droites, indiquer les droites parallèles.
(d1 ) : y = −5x+2
(d2 ) : y = 1, 5
(d3 ) : y = x+6
(d4 ) : x = −4
(d5 ) : y = −5x−5
(d6 ) : y = 7
(d7 ) : x = 11
(d8 ) : y = 5x + 2
(d9 ) : y = x
11
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A (−1 ; 3) et B(2 ; 0)
2. Tracer la droite (d1 ) d’équation : y = 2x − 1
3. Calculer les équations
(a) de la droite (AB) ;
(b) de la droite (d2 ), parallèle à (OJ) passant par A ;
(c) de la droite (d3 ), parallèle à (OI) passant par A ;
(d) de la droite (d4 ), parallèle à (d) passant par A.
12
1. Écrire un algorithme qui détermine si deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ou non à partir
des coordonnées de A, B, C, D.
2. Le programmer.
Vérifier si un point appartient à une droite
13
1. Tracer un repère (O, I, J) du plan, et
– tracer les droites (d1 ) d’équation y = −3x + 5 et (d2 ) d’équation x = 3 ;
– placer les points A(1 ; 2) et B(3 ; −3).
2. (a) Le point A appartient-il à la droite (d1 ) ? Justifier.
(b) Même consigne pour le point B et la droite (d1 ).
3. Même consigne pour les points A et B par rapport à la droite (d2 ).
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 9 – Équations de droites
14
1. Écrire un algorithme qui vérifie si un point appartient à une droite, à partir des coordonnées
de ce point et de l’équation réduite de cette droite.
2. Le programmer.
Points alignés
15
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer :
A(−1 ; 2) B (1 ; 6) C (−2 ; −1) D (−2 ; 0)
E(1 ; 3)
F (1 ; 1)
G (2 ; 5).
2. Les points A, B, C sont-ils alignés ? Justifier. Indication : on peut calculer l’équation de la
droite (AB), puis vérifier si le point C appartient à la droite (AB) ou non.
3. Les points suivants sont-ils alignés ? Justifier.
(a) B, E, F
(b) B, E, G
16
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A(−1 ; 3) B(1 ; −2) C(2 ; −4) D(3 ; −7)
2. Calculer l’équation de la droite (AB).
3. Vérifier si les points suivants sont alignés : (a) A, B, C
(b) A, B, D.
17
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A (−2 ; 2) B (3 ; 5) C (2 ; 4) D (3 ; 1)
2. En justifiant, vérifier si les points suivants sont alignés :
(a) A, B, C ;
(b) B, C, D.
18
1. Écrire un algorithme qui vérifie si trois points sont alignés à partir des coordonnées de ces
points.
2. Le programmer.
Intersections de deux droites
19
1. Dans un repère (O, I, J), tracer les droites (d1 ), (d2 ), (d3 ) d’équations
(d1 ) : y = 3x − 4
(d2 ) : y = −2x + 6
(d3 ) : x = 4
2. (a) Justifier pourquoi les droites (d1 ) et (d2 ) sont sécantes.
(b) Calculer les coordonnées du point M d’intersection des droites (d1 ) et (d2 ).
3. Mêmes consignes que 2a et 2b pour les droites (d1 ) et (d3 ) qui se coupent en N.
20
1. Dans un repère (O, I, J), tracer les droites (d1 ), (d2 ), (d3 ) d’équations
(d1 ) : y = 1, 5x − 3
(d2 ) : x = 3
(d3 ) : y = −0, 5x + 6
2. Calculer les coordonnées du point M d’intersection des droites (d1 ) et (d2 ).
3. Calculer les coordonnées du point N d’intersection des droites (d1 ) et (d3 ).
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I EXERCICES – page I-4
Chapitre 9 – Équations de droites
Sytèmes de deux équations à deux inconnues
21
Résoudre algébriquement ce système :
(
x − 3y = 11
2x + y = 8
22
Résoudre algébriquement ces deux systèmes :
(1)
(
5x + y = −14
−x + 4y = 7
(2)
(
3x + 4y = 21
5x − 2y = 17
23
1. Écrire un algorithme qui résout un système de deux équations à deux inconnues.
2. Le programmer.
24
Résolution graphique d’un système de deux équations à deux inconnues
1. Résoudre algébriquement ce système :
(
2x + y = 5
x + 2y = 4
2. Transformer ces deux équations sous la forme y = mx + p
3. Tracer un repère (O, I, J), et tracer les droites correspondant à ces deux équations.
4. Retrouver graphiquement le couple solution du système de la question 1.
Les étapes 2. 3. 4. ci-dessus constituent la résolution graphique du système de la question 1.
25
Résoudre graphiquement les systèmes suivants :
(1)
(
x +y=4
3x + y = 6
(2)
(
−2x + y = −3
x +y= 6
26
(
2x + 2y = 3
x + y =4
1. Transformer ces deux équations sous la forme y = mx + p
2. Tracer un repère (O, I, J), et tracer les droites correspondant à ces deux équations.
3. Expliquer pourquoi ce système n’a pas de couple solution.
27
Résoudre algébriquement et graphiquement les systèmes suivants :
(1)
(
3x + y = 5
x + 4y = 8
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(2)
(
2x + y = 2
4x + 2y = 7
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II COURS – page II-1
Chapitre 9 – Équations de droites
II
1
Cours
Deux types d’équations de droites
Remarque
On sait qu’une fonction affine est définie sous la forme f (x) = mx + p et que sa représentation
graphique est une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
Propriété
Dans un repère du plan, toute droite a une équation.
– Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = k.
– Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p, que l’on
appelle équation réduite de cette droite.
Remarque : on apprend ultérieurement que toute droite du plan a une équation de la forme
ax + by + c = 0 qui s’appellera équation cartésienne de la droite.
2
Déterminer l’équation d’une droite
Remarques
Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p et représentée par une droite (AB).
On sait que le nombre m est le coefficient directeur et que le nombre p est l’ordonnée à l’origine. On
utilise le même vocabulaire pour les équations de droites.
f (xB ) − f (xA )
. On a donc la propriété ci-dessous.
On sait aussi que m =
xB − xA
Propriété
Soit deux points distincts du plan A(xA , yA ) et B(xB , yB ) et m le coefficient directeur de la droite
yB − yA
(AB), alors m =
xB − xA
Exemple 1 : déterminer l’équation réduite de la droite (AB) pour les points A(2 ; 1) B(3 ; 4) dans
un repère (O, I, J).
Figure voir figure 1 page suivante.
1re méthode : déterminer l’équation réduite par des calculs
• L’équation réduite de la droite (AB), est sous la forme y = mx + p
4−1
3
yB − yA
=
= =3
• Calcul du coefficient directeur m : m =
xB − xA
3−2
1
• L’équation réduite de la droite (AB) est donc : y = 3x + p
• Calcul de l’ordonnée à l’origine p : on remplace x et y par les coordonnées de A(2 ; 1) dans
l’équation y = 3x + b
1= 3×2+b
3×2+b= 1
6+b=1
b = 1 − 6 = −5
• Donc l’équation réduite de la droite (AB) est : y = 3x + (−5) soit
y = 3x − 5
2e méthode : déterminer l’équation réduite graphiquement
• y = mx + p
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II COURS – page II-2
Chapitre 9 – Équations de droites
• Coefficient directeur ; le long des flèches en pointillés qui relient les points A et B, on lit + 3
+3
et + 1, donc : m =
=3
+1
• Ordonnée à l’origine ; à l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées (l’axe vertical),
on lit : p = −5
• Équation réduite : y = 3x + (−5) c’est à dire
y = 3x − 5
Figure 1
Bb
4
3
+3
H
b
2
1
O
−4
−3
−2
A
+J
−1
−1
b
+1
I
+1
2
3
4
−2
−3
−4
b
G
−5
−6
Exemple 2
Soient les points G(−3 ; −5) H(−3 ; 2) dans le repère (O, I, J).
Déterminons l’équation de la droite (GH)
Les deux points G et H ont la même abscisse : −3
Donc la droite (GH) est parallèle à l’axe des ordonnées et une équation de la droite (GH) est x = −3 .
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II COURS – page II-3
Chapitre 9 – Équations de droites
3
Droites parallèles
– Deux droites d’équations x = c et x = c′ sont parallèles
– Deux droites d’équations x = c et y = mx + p sont sécantes
– Deux droites d’équation y = mx + p et y = m′ x + p′ sont parallèles si et seulement si leurs
coefficients directeurs m et m′ sont égaux.
4
Vérifier si un point appartient à une droite
Exemple 1 (corrigé de l’exercice sur fiche no 13)
Les points A(1 ; 2) et B(3 ; −3) appartiennent-ils à la droite (d1 ) d’équation y = −3x + 5 ?
On effectue les calculs pour savoir si les coordonnées de chaque point vérifient l’équation de la droite
ou non.
– Point A
– Point B
−3 × xA + 5 = −3 × 1 + 5 = 2 = yA donc A ∈ (d1 )
−3 × xB + 5 = −3 × 3 + 5 = −4 6= −3 donc B 6∈ (d1 )
Exemple 2
Les points A(1 ; 2) et B(3 ; −3) appartiennent-ils à la droite (d2 ) d’équation x = 3 ?
Dans ce cas, on n’effectue aucun calcul.
– Point A : l’abscisse de A est xA = 1 donc A 6∈ (d2 ).
– Point B : l’abscisse de B est xB = 3 donc B ∈ (d2 ).
5
Points alignés
On considère trois points A, B, C disjoints deux à deux dont on connaît les coordonnées dans un
repère.
Comment démontrer si ils sont alignés ou non ?
– Si les trois points ont la même abscisse, ils sont alignés.
– Si deux points ont la même abscisse et si le troisième a une abscisse différente, alors ils ne sont pas
alignés.
– Si les abscisses des 3 points sont distinctes deux à deux trois méthodes sont possibles
– calculer l’équation de la droite (AB) et vérifier si le point C appartient à la droite (AB) ;
– calculer les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC) et comparer ;
−→ −→
– vérifier si les vecteurs AB et AC sont colinéaires ou non (cela sera traité dans un autre chapitre).
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Chapitre 9 – Équations de droites
6
Intersection de deux droites
Exemple (exercice sur fiche no 19)
Dans un repère (O, I, J), les droites (d1 ), (d2 ), (d3 ) ont pour équations réduites :
(d1 ) : y = 3x − 4
(d2 ) : y = −2x + 6
(d3 ) : x = 4
1. Coordonnées du point M d’intersection des droites (d1 ) et (d2 ).
Les droites (d1 ) et (d2 ) se coupent parce qu’elles n’ont pas le même coefficient directeur.
Le point M a des coordonnées (x ; y) qui vérifient à la fois les deux équations réduites de (d1 )
et (d2 ).
On résout donc l’équation 3x − 4 = −2x + 6.
10
⇐⇒ x = 2
3x − 4 = −2x + 6 ⇐⇒ 3x + 2x = 6 + 4 ⇐⇒ 5x = 10 ⇐⇒ x =
5
Pour calculer y, l’ordonnée de M, on remplace x par sa valeur dans une des deux équations
y = 3x − 4 = 3 × 2 − 4 = 2
Donc les coordonnées du point M sont : M (2 ; 2)
2. Coordonnées du point N d’intersection des droites (d1 ) et (d3 ).
Les droites (d1 ) et (d3 ) se coupent parce que la droite (d3 ) est parallèle à l’axe des ordonnées
alors que la droite (d1 ) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
Le point N a des coordonnées (x ; y) qui vérifient à la fois les deux équations réduites de (d1 )
et (d3 ).
On sait donc que x = 4
Pour calculer y, l’ordonnée de N, on remplace x par sa valeur dans l’équation réduite de (d1 )
y = 3x − 4 = 3 × 4 − 4 = 8
Donc les coordonnées du point N sont : M (4 ; 8)
7
Résolution de systèmes du 1er degré à deux inconnues
Exemple : résolution du système
(
x − 3y = 11
2x + y = 8
Résolution d’un système par combinaison linéaire
On effectue d’abord des calculs pour éliminer une
des deux inconnues, afin de calculer l’autre inconnue.
Ci-dessous, on va éliminer y et calculer x.
(
x − 3y = 11
2x + y = 8 ×3
x − 3y = 11
6x + 3y = 24
7x
= 35
35
x
=
7
x
= 5
On remplace maintenant x dans une des deux
équations et on calcule y.
x − 3y
5 − 3y
− 3y
− 3y
= 11
= 8
= 11 − 5
= 6
6
y =
−3
y = −2
(
2de – Mathématiques
Le couple solution est donc : (5 ; −2)
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II COURS – page II-5
Chapitre 9 – Équations de droites
Résolution d’un système par substitution
(
x − 3y = 11
2x + y = 8
22 + 6y + y = 8
22 + 6y + y = 8
On écrit une inconnue en fonction de l’autre.
7y = 8 − 22
Ici, on va écrire x en fonction de y.
(
x − 3y = 11
x
= 11 + 3y
On remplace maintenant x par 11 + 3y dans la
deuxième équation.
7y = −14
−14
y=
7
y = −2
Or, on sait que x = 11 + 3y, donc
2x + y = 8
x = 11 + 3 × (−2) = 11 − 6 = 5
2 × (11 + 3y) + y = 8
Le couple solution est donc : (5 ; −2)
8
Résolution graphique d’un système de deux équations à deux inconnues
Exemple (exercice sur fiche no 24)
(
2x + y = 5
x + 2y = 4
Transformons ces deux équations sous la forme y = mx + p :
2x + y = 5 ⇐⇒ y = 5 − 2x ⇐⇒ y = −2x + 5
−2x + 5
−2x 5
x + 2y = 4 ⇐⇒ 2y = 4 − x ⇐⇒ y =
⇐⇒ y =
+ ⇐⇒ y = −x + 2, 5
2
2
2
Traçons un repère (O, I, J), et les droites (d1 ) et (d2 ) d’équations réduites :
(d1 ) : y = −2x + 5
(d2 ) : y = −x + 2, 5
4
Graphiquement, le couple solution du système de départ est donné par les
coordonnées du point d’intersection des deux droites : M (2, 5 ; 0)
2de – Mathématiques
TDM
(d1 )
2
M
b
(d2 )
2
4
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