Rappels d`algèbre linéaire

UFR SFA, Licence 2eannée, MATH426
Rappels d’algèbre linéaire
•Dans toute la suite Kdésigne Rou C.
1. Définitions.
Définition. On dit que F⊂Eest un sous-espace vectoriel de Esi
1. 0E∈F;
2. pour tout u∈F, pour tout x∈K,x·u∈F;
3. pour tous u∈Fet v∈F,u+v∈F.
•Soient u1, . . . , updes vecteurs de E.
Définition. On appelle combinaison linéaire de u1, . . . , uptout vecteur vde Ede la forme
v=x1·u1+. . . +xp·up,où x1∈K, . . . , xp∈K.
•L’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs u1, . . . , upest un sous-espace vectoriel de Enoté
vect(u1, . . . , up): c’est le plus petit (pour l’inclusion) sous-espace vectoriel de Econtenant les vecteurs
u1, . . . , up.
Définition. 1. La famille (u1, . . . , up)est libre si, pour tous scalaires x1∈K, . . . , xp∈K,
x1·u1+. . . +xp·up= 0E=⇒x1= 0, . . . , xp= 0.
2. La famille (u1, . . . , up)est liée lorsqu’elle n’est pas libre c’est à dire lorsqu’il existe des scalaires x1,
. . . , xpnon tous nuls tels que x1·u1+. . . +xp·up= 0E.
3. La famille (u1, . . . , up)est génératrice de E si, pour tout vecteur v∈E, il existe des scalaires x1,
. . . , xptels que v=x1·u1+. . . +xp·up. Autrement dit E=vect(u1, . . . , up).
4. (u1, . . . , up)est une base de Esi c’est une famille libre et génératrice de E.
•Si (u1, . . . , up)est une base de E, pour tout vecteur u∈E, il existe un unique p-uplet de scalaires
(x1, . . . , xp)tels que v=x1·u1+. . . +xp·up.
?L’existence vient de « génératrice », l’unicité de « libre ».
•Cet unique p-uplet de scalaires (x1, . . . , xp)tels que v=x1·u1+. . . +xp·ups’appelle les coordonnées
de vdans la base (u1, . . . , up).
Définition. Un espace vectoriel Eest de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie.
Proposition. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Toutes les bases de Eont le même cardinal
c’est à dire le même nombre de vecteurs.
Définition. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Le cardinal des bases de Es’appelle la
dimension de Enotée dim E.
Exemple(s). •La base canonique de R3est formée des trois vecteurs e1= (1,0,0),e2= (0,1,0),
e3= (0,0,1).
1Ph. Briand, O. Le Gal, G. Comte, 2012/2013

•Les coordonnées du vecteur v= (x1, x2, x3)dans la base canonique sont (x1, x2, x3)puisque
(x1, x2, x3) = x1(1,0,0) + x2(0,1,0) + x3(0,0,1),soit v=x1·e1+x2·e2+x3·e3.
•Les coordonnées de ce même vecteur v= (x1, x2, x3)dans la base formée des trois vecteurs u1=
(1,1,1),u2= (0,1,1),u3= (0,0,1) sont (x1, x2−x1, x3−x2)puisque
(x1, x2, x3) = x1(1,1,1) + (x2−x1) (0,1,1) + (x3−x2) (0,0,1),
c’est à dire v=x1·u1+ (x2−x1)·u2+ (x3−x2)·u3.
Exercice(s) 1. 1. Soit B= (1, X, X2)la base canonique de R2[X]. Quelles sont les coordonnées de
P=a0+a1X+a2X2dans B?
2. Montrer que C= (1,(X−1),(X−1)2)est une base de R2[X]puis déterminer les coordonnées de
P=a0+a1X+a2X2dans C.
3. Les vecteurs u1= (1,−1,1),u2= (1,2,−1) et u3= (3,0,1) forment-ils une base de R3? Donner
une équation du sous-espace F=vect(u1, u2, u3).
Théorème (de la base incomplète).Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Soient Lune famille
libre de Eet Gune famille génératrice. Il existe une base Bde Etelle que L ⊂ B ⊂ G.
Corollaire. Soient Eun espace vectoriel de dimension p,u1, . . ., uppvecteurs de E.
1. Si (u1, . . . , up)est une famille libre, alors p≤n. Si de plus p=n, alors c’est une base de E.
2. Si (u1, . . . , up)est une famille génératrice, alors p≥n. Si de plus p=n, alors c’est une base de E.
Définition. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E. On dit que Fet Gsont supplémentaires
ou encore que Fet Gsont en somme directe si, tout vecteur ude Ese décompose de manière unique
u=v+w, avec v∈Fet w∈G.
•Ceci signifie que F∩G={0E}et E=F+G.
•Plus généralement, des sous-espaces F1, . . . , Fpde Esont en somme directe si tout vecteur ude E
s’écrit de manière unique
u=v1+. . . +vpavec v1∈F1, . . . , vp∈Fp.
2. Applications linéaires.
2.1. Généralités.
•Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur K,fune application de Edans F.
Définition. Une application linéaire est une application fde Edans Fvérifiant :
1. pour tout vecteur ude Eet tout scalaire x,f(x·u) = x·f(u);
2. pour tous vecteurs uet vde E,f(u+v) = f(u) + f(v).
•L’ensemble des applications linéaire de Edans Fest noté L(E;F).
•L’ensemble des endomorphismes de E— les applications linéaires de Edans E— est noté L(E).
•Lorsque F=K, on dit que fest une forme linéaire.
Exemple(s). 1. f:R3−→ Roù f(x1, x2, x3)=2x1−x2+ 4x3est une forme linéaire.
2. f:R2−→ R2où f(x1, x2)=(x1−x2,2x1−3x3)est un endomorphisme de R3.
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3. f:R[X]−→ R[X]où f(P) = P−XP 0est un endomorphisme de R[X].
Définition. Soit f∈ L(E, F ).
1. Le noyau de fest le sous-espace vectoriel de E,ker f, défini par
ker f={u∈E:f(u)=0F}.
2. L’image de fest le sous-espace vectoriel de F,Im f, défini par
Im f={f(u) : u∈E}.
Le rang de f,rg(f), est la dimension de Im f
•Lorsque (e1, . . . , en)est une famille génératrice de E– en particulier si c’est une base de E–,
(f(e1), . . . , f(en)) est une famille génératrice de Im f.
Théorème (Théorème du rang).Soit fune application linéaire de Edans Foù Eest de dimension
finie. Alors
dim E= dim ker f+ dim Im f= dim ker f+ rg(f).
2.2. Matrice d’une application linéaire.
•Dans ce paragraphe, Eet Fsont des espaces vectoriels de dimension finie, dim E=n,dim F=p.
• B = (e1, . . . , en)est une base de E,(f1, . . . , fp)une base de F.
Coordonnées d’un vecteur. Dire que B= (e1, . . . , en)est une base de Esignifie que, pour tout
vecteur u∈E, il existe un unique n-uplet de scalaires, x1∈K, . . . , xn∈K, tel que : u=x1·e1+. . .+xn·en.
Ce n-uplet de scalaires, x1, . . . , x1est appelé coordonnées du vecteur udans la base B. On représente les
coordonnées du vecteur udans la base Ben colonne et on note MB(u)soit
MB(u) = 
x1
x2
.
.
.
xn
.
Matrice de fdans les bases Bet C.C’est la matrice de taille p×n, notée MC←B (f), dont la je
colonne est formée par les coordonnées dans la base Cde f(ej), l’image du jevecteur de la base B.
Les coordonnées dans la base Cdu vecteur f(u)s’obtiennent à partir des coordonnées de udans la base
Bet de la matrice de fdans les bases Bet Cà l’aide de la relation :
MC(f(u)) = MC←B (f)MB(u).
Formule du changement de base. Soient fun endomorphisme de E,Bet B0deux bases de E. On
note M=MB←B (f)et M0=MB0←B0(f).
Définition. La matrice de passage de la base Bà la base B0est la matrice P=MB←B0(IdE). La je
colonne de Pest formée des coordonnées dans la base Bde e0
j, le jevecteur de la base B0.
Proposition. M0=P−1MP
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2.3. Déterminant.
Définition. Le déterminant d’une matrice carrée Aest l’unique forme alternée des colonnes de Aégale
à 1 lorsque A=I.
•À retenir en dimension 2
det a b
c d=
a b
c d
=ad −bc
•et en dimension 3
det 
a b c
d e f
g h i
=
a b c
d e f
g h i
=a
e f
h i 
−d
b c
h i
+g
b c
e f
=a
e f
h i 
−b
d f
g i 
+c
d e
g h
.
Remarque(s). •Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des termes diagonaux.
•Aest inversible si et seulement si det A6= 0.
•det(AB) = det Adet B.
Définition. Soient fun endomorphisme de E,Bune base de Eet M=MB←B (f).
Le déterminant de fest det f= det M.
•Cette définition a bien un sens : en effet, si M0est la matrice de fdans une autre base B0alors
det M= det M0.
Théorème. Soit fun endomorphisme de Ede dimension finie. On a équivalence entre
1. fest un isomorphisme (fest bijective) ;
2. ker f={0E}(fest injective) ;
3. rg f= dim E(fest surjective) ;
4. det f6= 0.
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Réduction des endomorphismes
1. Définitions.
•Soit fun endomorphisme de E.
Définition. 1. Un scalaire λest valeur propre de fs’il existe un vecteur ude E,non nul, vérifiant
f(u) = λ·u.
2. Si u6= 0 vérifie la relation f(u) = λ·u,uest un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
Remarque(s). •L’ensemble des valeurs propres de fs’appelle le spectre de fet est noté Sp(f).
•Si λ∈Sp(f), le sous-espace propre associée à λ, noté Eλest l’ensemble des vecteurs vérifiant la relation
f(u) = λ·uc’est à dire
Eλ= ker(f−λIdE).
•On utilise le même vocabulaire, valeur propre, vecteur propre, pour les matrices carrées.
•Si Mest la matrice de fdans une base donnée, Met font les mêmes éléments propres.
Définition. On appelle polynôme caractéristique de fnoté Cfle polynôme
Cf(λ) = det(f−λIdE)
Proposition. Un scalaire λest valeur propre de fsi et seulement si c’est une racine du polynôme
caractéristique.
2. Diagonalisation.
Définition. Un endomorphisme fest diagonalisable s’il existe une base Bformée de vecteurs propres
de f.
Remarque(s). Si fest diagonalisable, la matrice de fdans la base formée des vecteurs propres est une
matrice diagonale et les termes diagonaux sont les valeurs propres.
•Soit Mla matrice représentant l’endomorphisme fdans une certaine base. Alors fest diagonalisable
si et seulement si il existe une matrice inversible Ptelle que
P−1MP =D, avec Dune matrice diagonale.
Proposition. Soient λ1, . . . , λpdes valeurs propres distinctes de f,u1, . . . , updes vecteurs propres
associés respectivement à λ1, . . . , λp. Alors la famille (u1, . . . , up)est libre.
Théorème. Les conditions suivantes sont équivalentes :
1. fest diagonalisable ;
2. E=⊕λ∈Sp(f)Eλ;
3. dim E=Pλ∈Sp(f) dim Eλ.
1Ph. Briand, O. Le Gal, G. Comte, 2012/2013