Ch3: Espaces topologiques, cas des espaces métrisables - IMJ-PRG

Chapitre3
Espaces topologiques, cas des
espaces m´etrisables
3.1Ouvertset voisinages dans un espace m´etrique
D´efinition3.1.1. Soit (X,d)un espace m´etrique. Un sous-ensemble U⊂Xest ouvert
si et seulementsi tout pointxde Uest centred’une boule ouverte B(x, r)enti`erement
contenue dans U:x∈B(x, r)⊂U.
Remarque 3.1.2.Une boule ouverte estun ouvert.
Proposition 3.1.3. Soit (X,d)un espacem´etrique :
a) Xet ∅sont des ouverts ;
b) L’intersection de deux ouverts est un ouvert;
c) Toute r´eunion d’ouverts est un ouvert.
Proposition 3.1.4. Les ouverts d’un espacem´etrique sont les r´eunions de boules ou-
vertes.
D´efinition3.1.5.Dans un espace m´etrique (X,d), onappelle voisinaged’un point
x∈Xtout sous-ensemble de Xqui contientun ouvert contenantx.
Proposition3.1.6. Une partie d’un espacem´etrique est ouverte si et seulement si elle
est voisinage de chacun de ses points.
Ouverts etvoisinages permettentde reformuler la continuit´e.
Proposition3.1.7(Continuit´elocale).Une application fentredeux espaces m´etriques
(X,d)et (Y,δ)est continue en a∈Xsi et seulement si l’image inverse de tout voisinage
de f(b)est un voisinage de f(a).
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Proposition 3.1.8(Continuit´eglobale).Une application fentredeux espaces
m´etriques (X,d)et (Y,δ)est continue (sur X)si et seulement si l’image inverse de
tout ouvert de Yest une ouvert de X.
Proposition 3.1.9.Deux distances sur Xsont topologiquement ´equivalentes si et seule-
ment si elles d´efinissent les mˆemes ouverts.
3.2 Structure topologique
D´efinition3.2.1.Soit Xun ensemble. Une structure topologique sur Xest un ensemble
Tde parties de Xtel que :
a) Xet ∅sontdans T;
b) l’intersection de deux ´el´ements de Test dans T;
c) touter´eunion d’´el´ements de Test dans T.
(X,T)est appel´eun espace topologique. Les´elements deTsontappel´es les ouverts de
X.
Exemple 3.2.2.Les ouvertsd’un espace m´etrique formentune structuretopologique. Les
structurestopologiques qui proviennentd’une m´etrique sontdites m´etrisables.
Exemple 3.2.3 (Topologie grossi`ere).Sur un ensemble X,T={∅,X}d´efinit une struc-
ture topologique. Si Xcontientau moins deux ´el´ements, cette structure topologique
n’est pasm´etrisable.
Exemple 3.2.4 (Topologie discr`ete).Sur un ensemble X,l’ensemble P(X)de toutes les
parties de Xd´efinit une structure topologique. Elle est associ´ee `a la m´etrique discr`ete.
Soit (X,T)un espace topologique.
D´efinition3.2.5.Une partie de Xest ferm´ee siet seulementsisoncompl´ementaire
est ouvert.
Proposition 3.2.6. Toute r´eunion finie et toute intersection de ferm´es sont ferm´es.
Proposition 3.2.7. Pour A⊂X,il existe un plus grand ouvert inclus dans Aet un
plus petit ferm´e contenant A.
D´efinition3.2.8.Le plus grand ouvert contenudans As’appelle l’int´erieur ;il est not´e
˚
A.Le plus petit ferm´econtenantAs’appelle l’adh´erence de A;il est not´eA.
Proposition 3.2.9.Dans un espacem´etrique X,l’adh´erencede Aest form´ede tous
les points qui sont limites de suites de points de A.
Remarque 3.2.10.Un sous-ensemble d’un espace topologique est ferm´esi et seulement
s’il est ´egal`a son adh´erence.
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Remarque 3.2.11.Le compl´ementaire de l’adh´erence est l’int´erieur du compl´ementaire.
D´efinition3.2.12. Soient (X,T)un espace topologique, et x∈X.un voisinage de x
est un sous-ensemble de Xqui contientun ouvert contenantx.
Proposition 3.2.13.Dans un espacetopologique, un sous-ensemble est ouvert si et
seulement s’il est voisinage de chacun de ses points.
Proposition 3.2.14.Soient (X,T)un espacetopologique, et A∈X.
a) Un point x∈Xest dans ˚ Asi et seulement si Aest voisinage de x.
b) Un point x∈Xest dans Asi et seulement si tout voisinage de xrencontreA.
D´efinition3.2.15.Un sous-ensemble Ad’un espace topologique Xest dense si et
seulementsi A=X.
Exemple 3.2.16.L’ensemble Qdes rationnels, et l’ensemble Ddes d´ecimaux sontdenses
dans R.
3.3Topologieinduite
Proposition 3.3.1.Soient (X,T)un espacetopologique, et Aune partie de X.L’en-
semble TA={U∩A, U∈T}d´efinit une structuretopologique sur A.
La structure TApr´ec´edente est appel´ee topologie induite.Ilconvientde pr´eciser :
ouverts de A,ferm´esde A(`adistinguer des ouverts et ferm´es de X). Dansle caso`uX
est une espace m´etrique, la topologie induite est associ´ee `a la m´etrique induite.
Exercice3.3.2.D´ecrire les ouverts de l’intervalle [0,1] muni de la topologie induite par
R.
Exercice3.3.3.Soit Aun sous-ensemble d’un espace topologique (X,T)muni de la
topologie induite.
1. Montrer si Aest ouvert de X,alors les ouverts de Asontles ouvertsde Xcontenus
dans A.
2. Montrer si Aest ferm´ede X,alors les ferm´es de Asontles ferm´esde Xcontenus
dans A.
3.4Continuit´e
D´efinition3.4.1 (Continuit´eglobale).Soit f:X→Yune applicationentreles espaces
topologiques (X,TX)et (Y,TY). L’application fest continue si et seulementsil’image
inversede tout ouvert de Yest un ouvert de X:
∀V∈TY,f−1(V)∈TX.
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Proposition 3.4.2. L’application fde (X,TX)vers (Y,TY)est continue si et seulement
si l’image inverse de tout ferm´eest un ferm´e.
Proposition3.4.3. L’application fde (X,TX)vers (Y,TY)est continue si et seulement
si, pour tout x∈X,l’image inverse de tout voisinage de f(x)est un voisinage de x.
D´efinition3.4.4(Continuit´elocale).L’applicationfde (X,TX)vers(Y,TY)est conti-
nue en x∈Xsi et seulementsi l’image inverse de tout voisinage de f(x)est un voisinage
de x.
Proposition 3.4.5(Restriction d’applications continues).Soient f:X→Yune
application continue, A⊂X,B⊂Y;Aet Bsont munis de la topologie induite.
a) Larestriction f|AA→Yest continue.
b) Si B⊂Ycontient l’image de f,alors la restriction f|BX→Best continue.
D´efinition3.4.6. L’applicationfde (X,TX)vers (Y,TY)est un hom´eomorphisme si
et seulementsi elle est continue, bijective, et si son applicationr´eciproque est continue.
Deux espacestopologiquessonthom´eomorphes si etseulements’il existeun
hom´eomorphisme de l’un sur l’autre.
L’un desprobl`emes de la topologie estde classifier les espaces `a hom´eomorphisme
pr`es.
D´efinition3.4.7.L’applicationfde (X,TX)vers (Y,TY)estouverte (resp.ferm´ee) si
et seulementsi l’image(directe) de tout ouvertestun ouvert (resp. de tout ferm´eest
un ferm´e).
Proposition3.4.8. Une bijection continue est un hom´eomorphisme si et seulement si
c’est une application ouverte (resp. ferm´ee).
Exercice3.4.9.On noteS1le cercle unit´ede C.Est-ce que l’application f:[0,1[→S1,
qui `a tassocie e2iπtest un hom´eomorphisme ?
Exercice3.4.10 (Projection st´er´eographique).
1. D´emontrer que S1\ {i}est hom´eomorphe `a R.On pourra utiliser l’application qui `a 1.
trait´ez∈S1\ {i}associe x∈Rtel que :z−i
x−i∈R(interpr´eter g´eom´etriquement).
2. Onnote S2la sph`ere unit´ede R3,et n=(0,0,1).D´emontrerque S2\ {n}est
hom´eomorphe `a R2.
3.5 Limites,propri´et´ede s´eparation
Dans un espace m´etrique (X,d), on peut formulerla convergence de suitesavec les
voisinages:
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Proposition 3.5.1. Soit (X,d)un espacem´etrique. Lasuite (xn)n≥0de Xconverge
vers l∈Xsi et seulement si, pour tout voisinage Vde l,il existe N∈Ntel que :
∀n≥N,xn∈V.
On amaintenantune d´efinition naturelle de la convergence des suites dans un espace
topologique g´en´eral.
D´efinition3.5.2.Soit (X,T)un espace topologique.La suite(xn)n≥0de Xconverge
vers l∈Xsi et seulementsi, pour tout voisinageVde l,il exite N∈Ntel que :
∀n≥N,xn∈V.
L’unicite de la limiten’est pasgaranti en g´en´eral.
D´efinition3.5.3 (S´eparation).Un espace topologique (X,T)est s´epar´esietseulement
si deux points distincts quelconques ontdes voisinages disjoints.
Remarque 3.5.4.Un espace m´etrique est s´epar´e.
Proposition 3.5.5. Dans un espacetopologique s´epar´e, il yaunicit´ede la limite des
suites.
3.6Base d’ouvertset de voisinages
D´efinition3.6.1.Soit (X,T)un espace topologique. Une base d’ouverts estun en-
semble B⊂Ttel que tout ouvert est r´euniond’´el´ements de B.
Exemple 3.6.2.Dans un espace m´etrique, les boulesouvertes formentune base d’ouverts.
Proposition 3.6.3.Soit (X,T)un espacetopologique ;B⊂Test une base d’ouvertsi
et seulement si pour tout ouvertUet tout x∈U,il existe V∈Btel que :x∈V⊂U.
D´efinition3.6.4.Soient (X,T)un espace topologique, etx∈X.Une base de voisi-
nages de xest un ensemble Bxde voisinages de xtel que pout tout voisinage Vde x,il
existe W∈Bxtel que :W⊂V.
On peutreformuler la continuit´eglobale en utilisantune base d’ouverts. On peut
reformuler la continuit´elocale ainsi que la convergence des suitesen utilisantune base
de voisinages.
Exercice3.6.5 (Topologie produit).1. Soit (Y,d)le produit des espaces m´etriques 1.
trait´e(Xk,dk)1≤k≤n.D´emontrer que les produits V1×· · · ×Vkd’ouverts formentune
base d’ouverts.
2. Soit (Xk,Tk)1≤k≤ndes espaces topologiques.
(a)D´emontrer que les produits V1×· · · ×Vkd’ouverts formentune base de
structuretopologique sur le produit Y=X1×· · · ×Xk.
(b) D´emontrer que pour la structure topologique pr´ec´edente(topologie produit),
une applicationf:Z→Yest continue si et seulementsi ses composantesle
sont.
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