1 Polynômes de matrices, d`endomorphismes 2 Déterminant

MATHÉMATIQUES PSI-P2B
Année 2016/17
TD n°4
De l’Algèbre linéaire (2)
1 Polynômes de matrices, d’endomorphismes
Exercice 1 Donner un polynôme annulateur pour une projection, une
symétrie, une homothétie et pour l’application nulle.
Exercice 2 1. Rappeler l’argument qui permet de prouver qu’en di-
mension finie, tout endomorphisme admet un polynôme annulateur.
2. Montrer que la dérivation formelle de K[X]n’admet pas de polynôme
annulateur.
3. Montrer que si M∈M2(R), un polynôme annulateur de Mest
X2−Tr(M)X+ det(M).
Exercice 3 Soit A∈Mn(K). On suppose qu’il existe une suite (ak)∈
KNtelle que la série PakAkconverge. Montrer que la somme de cette
série est un polynôme en A.
Exercice 4 (∗)(l’idéal annulateur d’un endomorphisme). Soit Eun K-
espace vectoriel, et u∈L(E). On note Iul’ensemble des polynômes
P∈K[X]tels que P(u) = 0L(E).
1. Montrer que Iuest un idéal de K[X], c’est-à-dire un sev de K[X]
tel que pour tout A∈K[X]et tout P∈Iu,AP ∈Iu.
2. On suppose que Iu6={0}. Montrer qu’il existe un unique polynôme
unitaire Πutel que Iusoit l’ensemble des multiples de Πu.
Indication : faire une division euclidienne.
Exercice 5 (∗)(le lemme de décomposition des noyaux) Soit Eun K-
espace vectoriel et u∈L(E). Si P, Q sont deux polynômes premiers entre
eux, montrer que Ker(P Q)(u) = KerP(u)⊕KerQ(u).
Indication : on utilisera le théorème de Bézout.
2 Déterminant
Exercice 6 Calculer le déterminant de l’endomorphisme suivant :
R3[X]−→ R3[X]
P7−→ XP 0(X+ 1) + P(0)(X3+ 1).
Que peut-on en déduire ?
Exercice 7 Soit a∈Cun nombre complexe donné. On considère l’en-
domorphisme
C−→ C
z7−→ az.
où Cest vu comme R-espace vectoriel. Déterminer sa trace et son déter-
minant.
Exercice 8 Soit A∈M2(R)une matrice donnée. On considère l’endo-
morphisme
M2(R)−→ M2(R)
X7−→ AX.
Déterminer sa trace et son déterminant.
Exercice 9 Soit n∈N∗. Calculer le déterminant de l’endomorphisme
Mn(K)−→ Mn(K)
M7−→ t M.
Indication : trouver sa matrice dans une base bien choisie.
1 V. Rohart

Exercice 10 Soient a, b, c des réels, avec b6=c. On souhaite calculer le
déterminant n×nsuivant :
D(a, b, c) =
a(c)
...
(b)a
.
1. Montrer que D(a+X, b +X, c +X)est un polynôme affine.
2. En déduire la valeur de D(a, b, c).
3. Étudier le cas où b=cpar un astucieux passage à la limite.
Exercice 11 (un déterminant sans calcul). Trouver la valeur de
D=
1323· · · 53
2333· · · 63
.
.
..
.
..
.
..
.
.
5363· · · 93
.
Indication : que peut-on dire d’une famille de 5 polynômes de R3[X]?
3 Formes linéaires et hyperplans
Exercice 12 Soit Hun hyperplan d’un K-espace vectoriel E. Montrer
que tout a∈E\Hengendre un supplémentaire de H.
Exercice 13 Soit Hl’hyperplan de R4défini par l’équation x+ 2y−z+
3t= 0.
1. Donner une base de H.
2. Exhiber un supplémentaire de H.
3. Plus généralement, si Hest un hyperplan de Rndéfini par l’équa-
tion a1x1+. . . +anxn= 0, montrer que Vect((a1, . . . , an)) est un
supplémentaire de H.
Exercice 14 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n∈N∗. Montrer
que tout sous-espace vectoriel de dimension p∈[[0, n−1]] est l’intersection
de n−phyperplans.
Exercice 15 (Détermination du dual de Mn(R)).
1. Soit A∈Mn(R). Vérifier que ΦA:M7→ Tr(AM)est une forme
linéaire sur Mn(R).
2. Réciproquement, montrer que toute forme linéaire sur Mn(R)est de
cette forme.
Indication : on pourra considérer A7→ ΦA.
Exercice 16 Soit ϕune forme linéaire sur Mn(K)qui vérifie la propriété
fondamentale de la trace :
∀A, B ∈Mn(K), ϕ(AB) = ϕ(BA).
Montrer que ϕest proportionnelle à la trace.
Indication : utiliser les matrices élémentaires Ei,j et l’exercice précédent.
Exercice 17 (Espace dual).
1. Rappeler pourquoi Eet E∗sont isomorphes quand Eest de dimen-
sion finie.
2. Si Eest de dimension n, on considère B= (e1, . . . , en)une base de
E. Pour chaque i, on note e∗
ila forme linéaire qui à chaque x∈E
associe sa composante sur ei. Montrer que B∗= (e∗
1, . . . , e∗
n)est une
base de E∗.
3. Déterminer B∗quand Best la base canonique de Rn[X].
4. On note B= (Xn)n∈Nla base canonique de R[X]. Montrer que la
famille B∗est libre, mais pas génératrice de R[X]∗.
Le dual de R[X]est donc « plus gros » que R[X], et a fortiori il ne lui
est pas isomorphe. On démontre que c’est toujours le cas des espaces de
dimension infinie.
2 V. Rohart