1 Polynômes de matrices, d`endomorphismes 2 Déterminant

MATHÉMATIQUES
TD n°4
De l’Algèbre linéaire (2)
Exercice 5 (∗) (le lemme de décomposition des noyaux) Soit E un KPSI-P2B espace vectoriel et u ∈ L (E). Si P, Q sont deux polynômes premiers entre
Année 2016/17 eux, montrer que Ker(P Q)(u) = KerP (u) ⊕ KerQ(u).
Indication : on utilisera le théorème de Bézout.
2
1
Déterminant
Exercice 6 Calculer le déterminant de l’endomorphisme suivant :
Polynômes de matrices, d’endomorphismes
R3 [X] −→ R3 [X]
P 7−→ XP 0 (X + 1) + P (0)(X 3 + 1).
Exercice 1 Donner un polynôme annulateur pour une projection, une
symétrie, une homothétie et pour l’application nulle.
Que peut-on en déduire ?
Exercice 2 1. Rappeler l’argument qui permet de prouver qu’en dimension finie, tout endomorphisme admet un polynôme annulateur. Exercice 7 Soit a ∈ C un nombre complexe donné. On considère l’en2. Montrer que la dérivation formelle de K[X] n’admet pas de polynôme domorphisme
C −→ C
annulateur.
z 7−→ az.
3. Montrer que si M ∈ M (R), un polynôme annulateur de M est
2
X 2 − Tr(M )X + det(M ).
où C est vu comme R-espace vectoriel. Déterminer sa trace et son déterminant.
Exercice 3 Soit A ∈ Mn (K). On suppose qu’il existe une suite (ak ) ∈
P
KN telle que la série
ak Ak converge. Montrer que la somme de cette Exercice 8 Soit A ∈ M2 (R) une matrice donnée. On considère l’endomorphisme
série est un polynôme en A.
M2 (R) −→ M2 (R)
X 7−→ AX.
Exercice 4 (∗) (l’idéal annulateur d’un endomorphisme). Soit E un Kespace vectoriel, et u ∈ L (E). On note Iu l’ensemble des polynômes Déterminer sa trace et son déterminant.
P ∈ K[X] tels que P (u) = 0L (E) .
1. Montrer que Iu est un idéal de K[X], c’est-à-dire un sev de K[X] Exercice 9 Soit n ∈ N∗ . Calculer le déterminant de l’endomorphisme
tel que pour tout A ∈ K[X] et tout P ∈ Iu , AP ∈ Iu .
Mn (K) −→ Mn (K)
2. On suppose que Iu 6= {0}. Montrer qu’il existe un unique polynôme
M 7−→ tM.
unitaire Πu tel que Iu soit l’ensemble des multiples de Πu .
Indication : faire une division euclidienne.
Indication : trouver sa matrice dans une base bien choisie.
1
V. Rohart
Exercice 10 Soient a, b, c des réels, avec b 6= c. On souhaite calculer le Exercice 14 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ . Montrer
déterminant n × n suivant :
que tout sous-espace vectoriel de dimension p ∈ [[0, n−1]] est l’intersection
de n − p hyperplans.
a
(c) ..
.
Exercice 15 (Détermination du dual de Mn (R)).
D(a, b, c) = .
(b)
1. Soit A ∈ Mn (R). Vérifier que ΦA : M 7→ Tr(AM ) est une forme
linéaire sur Mn (R).
a 1. Montrer que D(a + X, b + X, c + X) est un polynôme affine.
2. Réciproquement, montrer que toute forme linéaire sur Mn (R) est de
cette forme.
2. En déduire la valeur de D(a, b, c).
3. Étudier le cas où b = c par un astucieux passage à la limite.
Indication : on pourra considérer A 7→ ΦA .
Exercice 11 (un déterminant sans calcul). Trouver la valeur de
D = 13 23 · · ·
23 33 · · ·
..
..
..
.
.
.
53 63 · · ·
Exercice 16 Soit ϕ une forme linéaire sur Mn (K) qui vérifie la propriété
fondamentale de la trace :
53
63
..
.
.
93 ∀A, B ∈ Mn (K),
Montrer que ϕ est proportionnelle à la trace.
Indication : utiliser les matrices élémentaires Ei,j et l’exercice précédent.
Indication : que peut-on dire d’une famille de 5 polynômes de R3 [X] ?
3
ϕ(AB) = ϕ(BA).
Exercice 17 (Espace dual).
1. Rappeler pourquoi E et E ∗ sont isomorphes quand E est de dimension finie.
Formes linéaires et hyperplans
2. Si E est de dimension n, on considère B = (e1 , . . . , en ) une base de
E. Pour chaque i, on note e∗i la forme linéaire qui à chaque x ∈ E
associe sa composante sur ei . Montrer que B ∗ = (e∗1 , . . . , e∗n ) est une
base de E ∗ .
Exercice 12 Soit H un hyperplan d’un K-espace vectoriel E. Montrer
que tout a ∈ E \ H engendre un supplémentaire de H.
Exercice 13 Soit H l’hyperplan de R4 défini par l’équation x + 2y − z +
3t = 0.
3. Déterminer B ∗ quand B est la base canonique de Rn [X].
4. On note B = (X n )n∈N la base canonique de R[X]. Montrer que la
famille B ∗ est libre, mais pas génératrice de R[X]∗ .
1. Donner une base de H.
2. Exhiber un supplémentaire de H.
Le dual de R[X] est donc « plus gros » que R[X], et a fortiori il ne lui
3. Plus généralement, si H est un hyperplan de Rn défini par l’équaest pas isomorphe. On démontre que c’est toujours le cas des espaces de
tion a1 x1 + . . . + an xn = 0, montrer que Vect((a1 , . . . , an )) est un
dimension infinie.
supplémentaire de H.
2
V. Rohart