101. Compléments sur les e.v., les endomorphismes et les matrices

2017
PSI* Programme de colle 7. Du 14 au 18 novembre 2016
101. Compléments sur les e.v., les endomorphismes et les matrices
Déterminants Rappels sur les propriétés du déterminant d’une matrice carrée, définition, règles de
calcul, développement par rapport à une colone. Déterminant diagonal ou triangulaire, déterminant
triangulaire par blocs, déterminant tridiagonal, déterminant de Vandermonde, matrice compagnon.
Calcul du déterminant avec Python.
Formes linéaires et hyperplans en dimension finie Hyperplans, définition, caractérisation comme
noyaux des formes linéaires non nulles. Cas des dimensions 2 et 3.
102. Valeurs propres, vecteurs propres
Éléments propres d’un endomorphisme Valeurs propres, vecteurs propres. Sous-espaces propres.
Propriétés.
Éléments propres en dimension finie Éléments propres d’un endomorphisme en dimension finie,
spectre. Éléments propres d’une matrice carrée.
Polynôme caractéristique. Il est unitaire et de degré n. Coecients connus a priori.
Polynôme caractéristique et valeurs propres. Multiplicité des valeurs propres.
Polynôme caractéristique et sous-espaces stables. Comparaison de la dimension d’un espace propre et
de la multiplicité de la valeur propre correspondante.
Utilisation de Python et numpy.
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Questions de cours
• Pour θ/∈πZ, calcul de : Dn(θ) =
2cos θ1 0 ··· 0
1 2 cos θ.......
.
.
0.........0
.
.
.......2cos θ1
0··· 0 1 2 cos θ
• Déterminant de Vandermonde, avec preuve.
• Matrice compagnon, avec preuve.
• Si des valeurs propres sont deux à deux distinctes, la somme des sous-espaces propres corres-
pondants est directe, avec preuve.
• Encadrement de dim Eλ(A), avec preuve.
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