1 - Raisonnement sur Z

Révisions pour la 1ére . Planche 1 — Raisonnement sur les entiers
Exercice 1
On considère deux nombres impaires a et b.
1. Montrer que ab est un nombre impair.
2. Montrer que a + b est un nombre pair.
Exercice 2
Soit n un entier naturel non nul, et l’entier a définie par a = (n + 4)(n + 2).
Montrer que a n’est pas un nombre premier.
Exercice 3
Soit r un nombre rationnel.
1. Rappeler la définition d’un nombre rationnel.
2. En raisonnant par l’absurde, montrer que l’inverse d’un nombre irrationnel est irrationnel.
Exercice 4
Soit x un réel.
1. Représenter sur un axe, l’ensemble des solutions de |x| < 1.
2. Représenter sur un axe, l’ensemble des solutions de |x − 1| < 2.
3. Représenter sur un axe, l’ensemble des solutions de |x + 1| 6 3.
Exercice 5
Un nombre N est dit parfait si c’est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même. Par exemple, 28 est un nombre parfait puisque la somme de ses
diviseurs positifs autres que lui-même est 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
1. Les entiers 6, 120 et 496 sont-ils parfaits ?
2. Admettons le fait qu’un entier N est parfait, si et seulement si, il est de la forme N =
2n (2n+1 − 1), avec n ∈ N∗ tel que 2n+1 − 1 soit premier.
(a) Déterminer la valeur de N pour les valeurs de n comprises entre 1 et 4.
(b) Déterminer alors le plus petit nombre parfait supérieur à 496.
3. Considérons maintenant la fonction perfect dont le code partiel est donnée ci-dessous.
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def perfect (n) :
c=0
f o r k i n range ( 1 , n ) :
r =...
if ... :
c=c+k
return . . .
Compléter et tester cette fonction pour que dans le cas où n est parfait, elle renvoie la
somme des inverse des diviseurs de n.
1|1