ALGÈBRE COMMUTATIVE
ALGÈBRE COMMUTATIVE
Cours à l’Université de Rennes 1 (2005–2006)
Antoine Chambert-Loir
Antoine Chambert-Loir
IRMAR, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.
E-mail : [email protected]
Url : http://name.math.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Version du 27 décembre 2005
La version la plus à jour est disponible sur le Web à l’adresse http://name.math.
univ-rennes.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/g1/
Mais je ne m’arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que
je vous ôterais le plaisir de l’apprendre par vous-même, et l’utilité de
cultiver votre esprit en vous exerçant...
René Descartes (1596-1659)
TABLE DES MATIÈRES
1. Anneaux, idéaux, algèbres ................................................ 1
Premières définitions, 1 ; Éléments inversibles, etc., 6 ; Idéaux, 10 ;
Algèbres ; polynômes, 16 ; Anneaux quotients, 21 ; Anneaux de fractions (cas
commutatif), 27 ; Idéaux maximaux, 36.
2. Modules ................................................................ 43
Premiers pas, 43 ; Opérations sur les modules, 48 ; Générateurs, bases,
modules libres, 53 ; Quotients de modules, 56 ; Espaces vectoriels, 60 ;
Localisation des modules (cas d’un anneau commutatif), 64 ;
Longueur, 67.
3. Produit tensoriel ........................................................ 75
Produit tensoriel de deux modules, 75 ; Produit tensoriel de modules sur un
anneau commutatif, 80 ; Algèbres tensorielle, symétrique, extérieure, 83 ;
Algèbre extérieure et déterminant, 88.
4. Modules de type fini sur un anneau principal .............................. 95
Anneaux principaux, anneaux euclidiens, 95 ; Opérations élémentaires sur les
matrices, 100 ; Matrices à coefficients dans un anneau principal, 103 ;
Modules de type fini sur un anneau principal, 106 ; Application : Groupes
abéliens de type fini, 112 ; Application : Endomorphismes d’un espace vectoriel
de dimension finie, 114.
Appendice ..................................................................119
Le théorème de Cantor-Bernstein, 119 ; Le lemme de Zorn, 119 ;
Le langage des catégories, 121.
Index ......................................................................123
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