énoncé

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 −2011-2012
D. Blottière Mathématiques
Devoir maison n˚1
Pour le vendredi 14 octobre.
Exercice 1 : Polynômes trigonométriques et calcul d’une aire
Soit fla fonction définie sur Rpar :
f:R→R;x7→ sin2(x) cos3(x).
Soit Cfla courbe représentative de fdans un repère orthonormé du plan. Calculer l’aire du
domaine délimité par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x= 0 et x=π
3.
Exercice 2 : Étude d’une fonction mettant en jeu la fonction arcsin
Soit fla fonction définie sur Rpar :
f:R→R;x7→ arcsin cos 3x+π
4.
1. Démontrer que fest continue sur R.
2. Montrer que fest périodique de période 2π
3. On réduit alors le domaine d’étude à l’in-
tervalle D=0,2π
3.
3. Déterminer l’ensemble D0des points xde Doù fest dérivable en x.
4. Calculer f0(x)pour tout x∈ D0.
5. Simplifier l’expression de fsur D.
6. Représenter graphiquement la fonction fsur R.
Problème : Algèbre linéaire et géométrie dans le plan
Partie A : Formule de Cramer pour une matrice 2×2inversible
1. Soit A=a b
c d une matrice 2×2à coefficients réels. On lui associe la matrice A0
définie par :
A0=d−b
−c a .
(a) Calculer le produit matriciel AA0.
1

(b) En déduire que :
Aest inversible ⇐⇒ det(A)6= 0
et que si Aest inversible, alors :
A−1=1
ad −bc d−b
−c a (Formule de Cramer).
(c) On suppose ici que Aest inversible. Soit α, β ∈R. Montrer que le système
(S) : ax +by =α
cx +dy =β
d’inconnue (x, y)possède une unique solution donnée par :
dα −bβ
ad −bc ,−cα +aβ ad −bc .
2. Appliquer le résultat de la question (b) pour montrer que la matrice B=3 4
5 7 est
inversible et calculer son inverse.
Partie B : Équations d’une droite dans un repère non nécessairement orthogonal
du plan
Soit Run repère non nécessairement orthogonal du plan. Soient A(a, 0) et soit B0(0, b0)deux
points distincts du plan. Montrer que pour tout point Mdu plan, de coordonnées (x, y)dans
R, on a :
M(x, y)∈(AB0)⇐⇒ b0x+ay =ab0.
Remarque : Le repère n’étant pas nécessairement orthogonal, on ne peut pas, ici, appliquer la
méthode « usuelle » pour déterminer une équation cartésienne d’une droite passant par deux
points distincts, de coordonnées connues. Le produit scalaire que l’on pourrait définir, via des
coordonnées dans la base sous-jacente à R, ne donnerait pas de critère d’orthogonalité, dans le
cas où Rne serait pas un repère orthogonal. Il faut donc trouver une autre approche...
Partie C : Un théorème de Pappus
Soient Det D0deux droites sécantes du plan. On note Ole point commun à Det D0. Soient
A, B, C trois points de Det soient A0, B0, C0trois points de D0. On suppose que les points
O, A, B, C, A0, B0, C0sont deux à deux distincts.
On introduit le repère (O;−→ OA, −−→ OA0). On a donc Ade coordonnées (1,0) et A0de coordonnées
(0,1). On note (b, 0),(c, 0),(0, b0)et (0, c0)les coordonnées respectives de B, C, B0, C0.
1. Démontrer que si (AB0)est parallèle à (A0B)et (BC0)est parallèle à (B0C), alors (CA0)
est parallèle à (C0A).
2. On suppose maintenant que les droites (AB0)et (A0B)sont concourantes en un point
noté D, les droites (BC0)et (B0C)sont concourantes en un point noté Eet les droites
(CA0)et (C0A)sont concourantes en un point noté F.
(a) Justifier que bb0−16= 0,cc0−16= 0 et que bb0−cc06= 0.
(b) Déterminer les coordonnées de D, E, F en fonction de b, b0, c, c0.
(c) Montrer que : (cc0−bb0)−−→ DE =bb0(cc0−1) −−→ DF .
(d) Que peut-on en déduire quant aux points D,Eet F? Illustrer ce résultat par une
figure.
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