énoncé

TB2 − 2011-2012
Mathématiques
L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
Devoir maison n˚1
Pour le vendredi 14 octobre.
Exercice 1 : Polynômes trigonométriques et calcul d’une aire
Soit f la fonction définie sur R par :
f : R → R ; x 7→ sin2 (x) cos3 (x).
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé du plan. Calculer l’aire du
π
domaine délimité par Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = .
3
Exercice 2 : Étude d’une fonction mettant en jeu la fonction arcsin
Soit f la fonction définie sur R par :
π f : R → R ; x 7→ arcsin cos 3x +
.
4
1. Démontrer que f est continue sur R.
2π
2. Montrer que f est périodique de période
. On réduit alors le domaine d’étude à l’in3
2π
tervalle D = 0,
.
3
3. Déterminer l’ensemble D0 des points x de D où f est dérivable en x.
4. Calculer f 0 (x) pour tout x ∈ D0 .
5. Simplifier l’expression de f sur D.
6. Représenter graphiquement la fonction f sur R.
Problème : Algèbre linéaire et géométrie dans le plan
Partie A : Formule de Cramer pour une matrice 2 × 2 inversible
1. Soit A =
a b
c d
une matrice 2 × 2 à coefficients réels. On lui associe la matrice A0
définie par :
0
A =
(a) Calculer le produit matriciel AA0 .
1
d −b
−c
a
.
(b) En déduire que :
A est inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0
et que si A est inversible, alors :
1
d −b
−1
A =
a
ad − bc −c
(Formule de Cramer).
(c) On suppose ici que A est inversible. Soit α, β ∈ R. Montrer que le système
ax + by = α
(S) :
cx + dy = β
d’inconnue (x, y) possède une unique solution donnée par :
dα − bβ −cα + aβ
,
.
ad − bc ad − bc
2. Appliquer le résultat de la question (b) pour montrer que la matrice B =
3 4
5 7
est
inversible et calculer son inverse.
Partie B : Équations d’une droite dans un repère non nécessairement orthogonal
du plan
Soit R un repère non nécessairement orthogonal du plan. Soient A(a, 0) et soit B 0 (0, b0 ) deux
points distincts du plan. Montrer que pour tout point M du plan, de coordonnées (x, y) dans
R, on a :
M (x, y) ∈ (AB 0 ) ⇐⇒ b0 x + ay = ab0 .
Remarque : Le repère n’étant pas nécessairement orthogonal, on ne peut pas, ici, appliquer la
méthode « usuelle » pour déterminer une équation cartésienne d’une droite passant par deux
points distincts, de coordonnées connues. Le produit scalaire que l’on pourrait définir, via des
coordonnées dans la base sous-jacente à R, ne donnerait pas de critère d’orthogonalité, dans le
cas où R ne serait pas un repère orthogonal. Il faut donc trouver une autre approche...
Partie C : Un théorème de Pappus
Soient D et D0 deux droites sécantes du plan. On note O le point commun à D et D0 . Soient
A, B, C trois points de D et soient A0 , B 0 , C 0 trois points de D0 . On suppose que les points
O, A, B, C, A0 , B 0 , C 0 sont deux à deux distincts.
−→ −−→
On introduit le repère (O; OA, OA0 ). On a donc A de coordonnées (1, 0) et A0 de coordonnées
(0, 1). On note (b, 0), (c, 0), (0, b0 ) et (0, c0 ) les coordonnées respectives de B, C, B 0 , C 0 .
1. Démontrer que si (AB 0 ) est parallèle à (A0 B) et (BC 0 ) est parallèle à (B 0 C), alors (CA0 )
est parallèle à (C 0 A).
2. On suppose maintenant que les droites (AB 0 ) et (A0 B) sont concourantes en un point
noté D, les droites (BC 0 ) et (B 0 C) sont concourantes en un point noté E et les droites
(CA0 ) et (C 0 A) sont concourantes en un point noté F .
(a) Justifier que bb0 − 1 6= 0, cc0 − 1 6= 0 et que bb0 − cc0 6= 0.
(b) Déterminer les coordonnées de D, E, F en fonction de b, b0 , c, c0 .
−−→
−−→
(c) Montrer que : (cc0 − bb0 ) DE = bb0 (cc0 − 1) DF .
(d) Que peut-on en déduire quant aux points D, E et F ? Illustrer ce résultat par une
figure.
2