Chapitre X Applications linéaires Table des mati`eres

TB2 − 2011-2012
Mathématiques
L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
Chapitre X
Applications linéaires
Table des matières
1 Définitions et propriétés élémentaires
2
2 Noyau et image d’une application linéaire
4
3 Matrices versus applications linéaires : un exemple
3.1 Matrice associée à une application linéaire relativement aux bases E et F . . . . . . . . . . . . .
3.2 Application linéaire associée à une matrice relativement aux bases E et F . . . . . . . . . . . . .
3.3 Lien entre les deux constructions précédentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
7
4 Matrices versus applications linéaires : cas général
7
5 Applications linéaires et théorie de la dimension
10
6 Rang d’une application linéaire et rang d’une matrice
10
6.1 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.3 Rang d’une application linéaire versus rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
Notation : Le symbole K désigne R ou C.
1
Définitions et propriétés élémentaires
Définition (application linéaire)
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application ϕ : E → F est dite linéaire si
∀ u1 , u2 ∈ E,
∀ λ1 , λ2 ∈ K,
ϕ(λ1 u1 +λ2 u2 ) = λ1 ϕ(u1 )+λ2 ϕ(u2 )
(ϕ respecte les combinaisons linéaires).
Remarque 1 : On conserve les notations de la définition précédente. On peut démontrer que ϕ : E → F est
linéaire si et seulement si les deux propriétés suivantes sont vérifiées.
∀ u1 , u2 ∈ E,
ϕ(u1 + u2 ) = ϕ(u1 ) + ϕ(u2 )
(ϕ respecte l’addition)
et
∀ u ∈ E,
∀ λ ∈ K,
ϕ(λ u) = λ ϕ(u)
(ϕ respecte la multiplication par un scalaire)
Exemple 1 : Montrer que l’application
 
x
x+y−z
f : R3 → R2 ;  y  7→
x+z
z
est linéaire.
Théorème 1 (application linéaire canoniquement associée à une matrice)
Soient n, p ∈ N∗ . Soit A est une matrice n × p à coefficients dans K (i.e. A ∈ Mn,p (K)). On définit l’application
ϕA canoniquement associée à A par :
 
 
x1
x1
 .. 
p
n  .. 
ϕA : R → R ;  .  7→ A  .  .
xp
xp
L’application ϕA est linéaire.
Preuve du théorème 1
Théorème 2 (image du neutre par une application linéaire)
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application. Alors on a :
ϕ linéaire
=⇒
ϕ(0E ) = 0F .
Preuve du théorème 2
Exemple 2 : Soit ϕ l’application définie par :
 
x
x+y
3
2  
y 7→
ϕ: R → R ;
.
x+z+1
z
Comme ϕ(0R3 ) =
0
6= 0R2 , l’application ϕ n’est pas linéaire.
1
Définition (endomorphisme et isomorphisme)
1. Soit E un K-espace vectoriel.
Un endormorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
2. Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application.
On dit que ϕ est un isomorphisme de E dans F si ϕ est linéaire et bijective.
2
Notations
1. Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On pose
L(E, F ) = ensemble des applications linéaires de E dans F .
2. Soit E un K-espace vectoriel. On pose
L(E) = ensemble des endomorphismes de E.
Théorème 3 (opérations sur les applications linéaires)
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.
1. Soient f, g ∈ L(E, F ). Alors l’application
f + g : E → F ; u 7→ f (u) + g(u)
est linéaire, i.e. f + g ∈ L(E, F ).
2. Soit f ∈ L(E, F ) et soit λ ∈ K. Alors l’application
λ f : E → F ; u 7→ λ f (u)
est linéaire, i.e. λ f ∈ L(E, F ).
3. Soit f ∈ L(E, F ) et soit g ∈ L(F, G). Alors l’application
g ◦ f : E → G ; u 7→ g(f (u))
est linéaire, i.e. g ◦ f ∈ L(E, G).
4. Soit f ∈ L(E, F ) bijective, i.e. f est un isomorphisme de E dans F . Alors l’application
f −1 : F → E ; v 7→ l’unique solution de l’équation f (u) = v d’inconnue u ∈ E
est linéaire, i.e. f −1 ∈ L(F, E).
Preuve de la propriété 3. du théorème 3
Exemple 3 : Soit ϕ l’application définie par :
x
x−y
ϕ: R → R ;
7→
.
y
x+y
2
2
1. Montrer que ϕ est l’application linéaire canoniquement associée à une matrice A ∈ M2 (R).
2. Montrer que ϕ est un isomorphisme de R2 dans R2 .
3. Déterminer l’application ϕ−1 .
4. Montrer que ϕ−1 est l’application linéaire canoniquement associée à une matrice B ∈ M2 (R).
5. Quel lien unit A et B ?
Théorème 4 (structure canonique de K-espace vectoriel sur L(E, F ))
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L’ensemble L(E, F ) muni des deux applications
a : L(E, F ) × L(E, F ) → L(E, F ) ; (f, g) 7→ f + g
et
m : K × L(E, F ) → L(E, F ) ; (λ, f ) 7→ λ f
(qui sont bien définies d’après le théorème 3) est un K-espace vectoriel.
Exemple 4
1. L’ensemble L(R2 , R3 [X]) possède une structure canonique de R-espace vectoriel.
2. Plus généralement, le théorème 4 permet de construire de nouveaux espaces vectoriels à partir de ceux
déjà introduits auparavant (comme Rn , Rn [X], F(I, R), S(N, R)).
3
2
Noyau et image d’une application linéaire
Définition (noyau et image d’une application linéaire)
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application linéaire.
1. Le noyau Ker(ϕ) est le sous-ensemble de E défini par :
Ker(ϕ) = {u ∈ E : ϕ(u) = 0F }.
2. L’image de ϕ est le sous-ensemble de F défini par :
Im(ϕ) = {ϕ(u) : u ∈ E}.
Théorème 5 (noyau et injectivité, image et surjectivité)
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application linéaire.
1. L’application ϕ est injective si et seulement si Ker(ϕ) = {0E }.
2. L’application ϕ est surjective si et seulement si Im(ϕ) = F .
Preuve du théorème 5
Théorème 6 (structures du noyau et de l’image)
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application linéaire.
1. Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel de E.
2. Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel de F .
Preuve du théorème 6

1
Exemple 5 : Soit A =  1
1
2
0
2

1
−1  . Soit
1
 
 
x
x



y
ϕA : R → R ;
7→ A y 
z
z
3
3
l’application linéaire canoniquement associée à A.
1. Déterminer une base du noyau de ϕA . Qu’en déduire quant à l’injectivité de ϕA ?
2. Déterminer une base de l’image de ϕA . Qu’en déduire quant à la surjectivité de ϕA ?
Remarque 2 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F une application linéaire. Déterminer
le noyau de ϕ revient à résoudre l’équation
ϕ(u) = 0F
d’inconnue u ∈ E.
Quand E = Rp et F = Rn (p, n ∈ N∗ ), déterminer le noyau de ϕ revient à résoudre un système linéaire
homogène, comme on l’a vu dans l’exemple 5.
Mais déterminer un noyau, en général, peut conduire à résoudre des équations d’autres natures, comme des
équations différentielles par exemple.
Théorème 7 (famille génératrice de l’image)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit (e1 , e2 . . . , ep ) une famille génératrice finie de E (par
exemple une base de E). Soit F un K-espace vectoriel. Soit ϕ : E → F une application linéaire.
Alors (ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), . . . , ϕ(ep )) est une famille génératrice de Im(ϕ), i.e. :
Im(ϕ) = Vect(ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), . . . , ϕ(ep )).
Preuve du théorème 7
4
♥ Remarque 3 (noyau et image d’une application linéaire canoniquement associée à une matrice)
Soient n, p ∈ N∗ . Soit A ∈ Mn,p . Soit
 
 
x1
x1
 .. 
p
n  .. 
ϕA : R → R ;  .  7→ A  . 
xp
xp
l’application linéaire canoniquement associée à A.


 
x1
x1
 .. 


1. Ker(ϕA ) est l’ensemble solution du système linéaire homogène A  .  = 0Rn d’inconnue  ...  ∈ Rp .
xp
xp
2. On note (e1 , e2 , . . . , ep ) la base canonique de Rp . D’après le théorème 7, on a :
Im(ϕA ) = Vect(ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), . . . , ϕ(ep )).
Comme pour tout i ∈ J1, pK :
ϕ(ei ) = i-ème colonne de A
on voit que :
Im(ϕA ) est le sous-espace vectoriel de Rn engendré par les vecteurs colonnes de la matrice A.


     
1 1 0
1
1
0








0
1
1
0
1
alors Im(ϕA ) = Vect
,
, 1  . On peut en déduire
Par exemple, si A =
1
1
0
1
1
0
   
0
1
que  0  ,  1  est une base de Im(ϕA ), en extrayant une base de la famille génératrice de Im(ϕA )
0
1
précédemment obtenue.
Exemple 6 : Soit ϕ : R2 [X] → R2 [X] ; P 7→ P 0 .
1. Montrer que ϕ est bien définie.
2. Montrer que ϕ est linéaire.
3. Déterminer une base de Ker(ϕ).
4. Déterminer une base de Im(ϕ).
3
Matrices versus applications linéaires : un exemple
Notations : On note E = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et F = (f1 , f2 ) la base canonique de R2 .
3.1
Matrice associée à une application linéaire relativement aux bases E et F
Notation : Dans cette section, on note ϕ l’application linéaire définie par :
 
x
x + 2y + z
3
2  
y 7→
ϕ: R → R ;
.
−x + y + 7z
z
On commence par calculer les coordonnées de ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 ) dans la base F.
1
ϕ(e1 ) =
= 1 f1 + −1 f2
−1
ϕ(e2 )
=
2
1
=
2 f1 + 1 f2
ϕ(e3 )
=
1
7
=
1 f1 + 7 f2 .
5
Définition (matrice de ϕ relativement aux bases E et F)
La matrice de ϕ relativement aux bases E et F, notée Mat(ϕ, E, F), est la matrice 2 × 3 dont la i-ème colonne
est formée des coordonnées de ϕ(ei ) dans la base F (i ∈ J1, 3K). On a donc :
1 2 1
Mat(ϕ, E, F) =
.
−1 1 7
Théorème 8 (la connaissance
de Mat(ϕ, E, F) permet de retrouver ϕ)
 
x
Soit u ∈ R3 et soit  y  ses coordonnées dans la base E. Alors les coordonnées de ϕ(u) dans la base F sont
z
 
x
données par Mat(ϕ, E, F)  y  .
z
Preuve du théorème 8
Exemple 7 : Les coordonnées de ϕ(e1 + 3e2 − e3 ) sont :


1
1 2


3 =
Mat(ϕ, E, F)
−1 1
−1
1
7


1
6
 3 =
.
−5
−1
Par suite, ϕ(e1 + 3e2 − e3 ) = 6 f1 + −5 f2 .
3.2
Application linéaire associée à une matrice relativement aux bases E et F
Notation : Soit la matrice A =
1
4
2
5
3
6
.
Propriété/Définition (application linéaire associée à A relativement aux bases E et F)
L’application
App(A, E, F)
R3
:
 
x
u de coordonnées  y  dans E
z
→
R2
7→
 
x
ϕ(u) de coordonnées A  y  dans F
z
est linéaire. On la nomme application linéaire associée à la matrice A relativement aux bases E et F.
Remarque 4 : En fait, l’application App(A, E, F) introduite ici n’est autre que l’application notée ϕA dans
ce qui précède.
Exemple 8 : 
On sepropose de calculer App(A, E, F)(2e1 + 3e2 − e3 ). Les coordonnées de 2e1 + 3e2 − e3 dans
2
la base E sont  3 . Par définition les coordonnées de App(A, E, F)(2e1 + 3e2 − e3 ) dans la base F sont :
−1


2
1
A  3 =
4
−1
2
5
3
6
On a donc : App(A, E, F)(2e1 + 3e2 − e3 ) = 5 f1 + 17 f2 .
6


2
5
 3 =
.
17
−1
3.3
Lien entre les deux constructions précédentes
La construction
ϕ ∈ L(R3 , R2 ) ; Mat(ϕ, E, F) ∈ M2,3 (R)
se généralise à toutes les applications linéaires de R2 dans R3 .
De même, la construction
A ∈ M2,3 (R) ; App(A, E, F) ∈ L(R3 , R2 )
se généralise à toutes les matrices de M2,3 (R).
Ces généralisations seront expliquées dans la section suivante. Nous verrons aussi que :
∀ ϕ ∈ L(R3 , R2 ),
App(Mat(ϕ, E, F), E, F) = ϕ
et
∀ A ∈ M2,3 (R),
3
Mat(App(A, E, F), E, F) = A.
2
Autrement dit, une fois des bases de R et de R fixées, les applications linéaires de R3 dans R2 correspondent
de façon binuivoque aux matrices 2 × 3.
L’objectif de la section 4 est de généraliser et d’approfondir ce lien ténu entre applications linéaires et matrices,
entrevu dans cette situation particulière.
4
Matrices versus applications linéaires : cas général
Notations
• E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie p ∈ N∗ .
• E = (e1 , . . . , ep ) est une base de E.
• F désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ .
• F = (f1 , . . . , fn ) est une base de F .
Définition (matrice d’une application linéaire relativement à des bases)
Soit ϕ : E → F une application linéaire.
La matrice de ϕ relativement aux bases E et F, notée Mat(ϕ, E, F), est la matrice n × p dont la i-ème colonne
est formée des coordonnées de ϕ(ei ) dans la base F (i ∈ J1, pK).
Schématiquement, on a :
ϕ(e1 ) ϕ(e2 )
ϕ(ep )




Mat(ϕ, E, F) = 






∗
∗
...
∗
∗
∗
...
∗
..
.
..
.
∗
∗
..
.
...
∗

/ f1


 / f2



 ..
 .


/ fn
Exemple 9
1. Soit ϕ l’application linéaire définie par :
 
x
x+y+z
3
2  
y 7→
ϕ: R → R ;
.
x−y−z
z
Calculer Mat(ϕ, CanR3 , CanR2 ).
2. Soit ϕ l’application linéaire (cf. exemple 6) définie par :
ϕ : R2 [X] → R2 [X] ; P 7→ P 0 .
Calculer Mat(ϕ, CanR2 [X] ).
7
3. Soit ϕ l’application linéaire définie par :
ϕ : R2 → R2 ;
x
x + 3y
7→
.
y
2x + 2y
1
1
, f2 =
est une base de R2 et calculer Mat(ϕ, CanR2 , F).
1
0
1
3
(b) Montrer que G = g1 =
, g2 =
est une base de R2 et calculer Mat(ϕ, G).
1
−2
(a) Montrer que F =
f1 =
Théorème 9 (la connaissance de Mat(ϕ, E, F) permet de retrouver ϕ)
Soit ϕ : E → F uneapplication
linéaire.
 

y1
x1
 .. 
 .. 
Soit u ∈ E et soit  .  ses coordonnées dans la base E. Alors les coordonnées  .  de ϕ(u) dans la base
yn
xp
F sont données par :
 
 
y1
x1
 .. 
 .. 
 .  = Mat(ϕ, E, F)  .  .
yn
xp
Preuve du théorème 9 : Analogue à celle du théorème 8.
Propriété/Définition (application linéaire associée à une matrice relativement aux bases E et F)
Soit A ∈ Mn,p (K). L’application
App(A, E, F)
:
→
E


x1
 
u de coordonnées  ...  dans E
F

7→

x1
 
ϕ(u) de coordonnées A  ...  dans F
xp
xp
est linéaire. On la nomme application linéaire associée à la matrice A relativement aux bases E et F.
Preuve du caractère linéaire de App(A, E, F)
Exemple 10 : Soit A =
1
0
1
1
0
2
. Expliciter l’application linéaire
App(A, CanR2 [X] , CanR2 ) : R2 [X] → R2 .
Théorème 10 (Mat( · , E, F) et App( · , E, F) sont des bijections réciproques l’une de l’autre)
Les applications
Mat( · , E, F) : L(E, F ) → Mn,p (K) ; ϕ 7→ Mat(ϕ, E, F)
et
App( · , E, F) : Mn,p (K) → L(E, F ) ; A 7→ App(A, E, F)
sont des bijections réciproques l’une de l’autre, i.e. :
∀ ϕ ∈ L(E, F ),
App(Mat(ϕ, E, F), E, F) = ϕ
et
∀ A ∈ Mn,p (K),
Mat(App(A, E, F), E, F) = A.
Remarque 5 : D’après le théorème 10, on peut identifier application linéaires de E dans F et matrices de
taille n × p, une fois que l’on a choisi une base de E et une base de F .
8
♥ Théorème 11 (applications linéaires, matrices et opérations sur icelles)
1. Addition
(a) ∀ ϕ, ψ ∈ L(E, F ),
Mat(ϕ + ψ, E, F) = Mat(ϕ, E, F) + Mat(ψ, E, F).
(b) ∀ A, B ∈ Mn,p (K),
App(A + B, E, F) = App(A, E, F) + App(B, E, F).
2. Multiplication par un scalaire
(a) ∀ ϕ ∈ L(E, F ),
∀ λ ∈ K,
Mat(λ ϕ, E, F) = λ Mat(ϕ, E, F).
(b) ∀ A ∈ Mn,p (K),
∀ λ ∈ K,
App(λ A, E, F) = λ App(A, E, F).
3. Composée d’applications linéaires et produit matriciel
Soit G un K-espace vectoriel de dimension m ∈ N∗ et soit G = (g1 , . . . , gm ) une base de G.
(a) ∀ ϕ ∈ L(E, F ),
(b) ∀ A ∈ Mn,p (K),
∀ ψ ∈ L(F, G),
Mat(ψ ◦ ϕ, E, G) = Mat(ψ, F, G) × Mat(ϕ, E, F).
∀ B ∈ Mm,n (K),
App(B × A, E, G) = App(B, F, G) ◦ App(A, E, F).
4. Isomorphisme et application inversible
On suppose ici que p = n, i.e. que E et F ont même dimension. La matrice Mat(ϕ, E, F) est donc carrée.
(a) Soit ϕ ∈ L(E, F ). On a :
ϕ isomorphisme
⇐⇒
Mat(ϕ, E, F) inversible.
De plus, si ϕ est un isomorphisme, on a :
Mat(ϕ−1 , F, E) = (Mat(ϕ, E, F))−1 .
(b) Soit A ∈ Mn,p (K). On a :
A inversible
⇐⇒
App(A, E, F) isomorphisme.
De plus, si A est inversible, on a :
App(A−1 , F, E) = (App(A, E, F))−1 .
Remarque 6
1. Grâce aux propriétés 1. et 2., on peut préciser la conclusion du théorème 10 : les applications Mat( · , E, F)
et App( · , E, F) sont des isomorphismes réciproques l’un de l’autre.
2. La propriété 3. est fondamentale. Elle motive la définition du produit matriciel précédemment introduite.
Exemple 11
1. Soient les applications linéaires
 
x
x+y+z
ϕ : R3 → R2 ;  y  7→
2x − 3y − z
z
et
ψ : R2 → R2 ;
x
x−y
7→
.
y
x + 2y
Calculer Mat(ψ ◦ ϕ, CanR3 , CanR2 ).
2. Soit ϕ l’application linéaire définie par :
x
2x − 3y
ϕ: R → R ;
7→
.
y
x + 2y
2
2
(a) Prouver que Mat(ϕ, CanR2 , CanR2 ) est inversible et calculer son inverse.
(b) En déduire que ϕ est un isomorphisme.
(c) Identifier Mat(ϕ−1 , CanR2 , CanR2 ), puis expliciter ϕ−1 .
9
5
Applications linéaires et théorie de la dimension
Théorème 12 (théorème du rang)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit F un K-espace vectoriel. Soit ϕ : E → F une application
linéaire.
On la relation fondamentale :
dim(Ker(ϕ)) + dim(Im(ϕ)) = dim(E).
Exemple 12 : Soit ϕ : R2 [X] → R3 l’application définie par :


P (−1)
ϕ : R2 [X] → R ; P 7→  P (0)  .
P (1)
3
1. Montrer que ϕ est linéaire.
2. Montrer que Ker(ϕ) = {0R2 [X] }.
3. En déduire que Im(ϕ) = R3 , grâce au théorème du rang.
4. Que peut-on alors dire de ϕ ?
Théorème 13 (critère d’isomorphie en dimension finie)
Soient E et F deux K-espace vectoriels de dimension finie, tels que :
dim(E) = dim(F ).
Alors pour toute application linéaire ϕ : E → F , on a :
ϕ injectif ⇐⇒
⇐⇒
ϕ surjectif
ϕ bijectif.
♥ Preuve du théorème 13
Exemple 13 : Soit ϕ : R2 [X] → R3 l’application définie par :


P (0)
ϕ : R2 [X] → R3 ; P 7→  P 0 (0)  .
P 00 (0)
1. Montrer que ϕ est linéaire.
2. Déterminer Im(ϕ).
3. En déduire que ϕ est un isomorphisme.
6
6.1
Rang d’une application linéaire et rang d’une matrice
Rang d’une application linéaire
Définition (rang d’une application linéaire) : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ : E → F
une application linéaire.
On suppose que Im(ϕ) est de dimension finie (hypothèse qui est vérifiée si E ou F est de dimension finie).
On définit le rang de ϕ, noté rg(ϕ), par :
rg(ϕ) = dim(Im(ϕ)).
Remarque 7 : On se replace dans le contexte de l’énoncé du théorème du rang. Ce théorème se reformule
comme suit :
dim(Ker(ϕ)) + rg(ϕ) = dim(E)
d’où le nom attribué à ce théorème.
10
6.2
Rang d’une matrice
Définition (rang d’un matrice) : Soient n, p ∈ N∗ . Soit A ∈ Mn,p (K).
Le rang de la matrice A, noté rg(A), est défini comme étant le rang du système linéaire :
 
x1
 
A  ...  = 0Rn .
xp
Remarque 8 : On rappelle que le rang d’un système linéaire se calcule en l’échelonnant, à l’aide de l’algorithme
du pivot de Gauß.

1
Exemple 14 : Montrer que le rang de la matrice A =  2
3

0
1  vaut 2.
2
1
1
1
Théorème 14 (propriétés du rang d’une matrice)
1. Soient n, p ∈ N∗ . Soit A ∈ Mn,p (K).
(a) On a les deux inégalités suivantes :
rg(A) ≤ n
rg(A) ≤ p.
et
(b) On a :
rg(A) = rg( t A)
où t A désigne la transposée de A.
2. Soit n ∈ N∗ . Soit A une matrice carrée de taille n × n. Alors on a le critère d’inversibilité suivant :
⇐⇒
A inversible
rg(A) = n.
Remarque 9 : La propriété 1.(b) du précédent théorème a la conséquence suivante. Pour calculer le rang
d’une matrice, on peut aussi effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes.



Exemple 15 : Calculer le rang de la matrice 


6.3
1
2
3
4
5
2
1
0
1
3
1
1
1
1
1
0
2
4
4
3



.


Rang d’une application linéaire versus rang d’une matrice
Théorème 15 (lien entre rang d’application linéaire et rang de matrice)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension p ∈ N∗ et soit E = (e1 , . . . , ep ) une base de E. Soit F un K-espace
vectoriel de dimension n ∈ N∗ et soit F = (f1 , . . . , fn ) une base de F . Soit ϕ : E → F une application linéaire.
Alors on a :
rg(ϕ) = rg(Mat(ϕ, E, F)).
Exemple 16 : Déterminer le rang de l’application

x
 2x

ϕ : R4 → R5 ; 
 3x
 4x
5x
linéaire
+
+
2y
y
+
+
y
3y
11
+
+
+
+
+
z
z
z
z
z

+
+
+
+
2t
4t
4t
3t


.

