Chapitre X Applications linéaires Table des mati`eres

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 −2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Chapitre X
Applications lin´eaires
Table des mati`eres
1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires 2
2 Noyau et image d’une application lin´eaire 4
3 Matrices versus applications lin´eaires : un exemple 5
3.1 Matrice associ´ee `a une application lin´eaire relativement aux bases Eet F............. 5
3.2 Application lin´eaire associ´ee `a une matrice relativement aux bases Eet F............. 6
3.3 Lien entre les deux constructions pr´ec´edentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Matrices versus applications lin´eaires : cas g´en´eral 7
5 Applications lin´eaires et th´eorie de la dimension 10
6 Rang d’une application lin´eaire et rang d’une matrice 10
6.1 Rang d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2 Rangd’unematrice............................................ 11
6.3 Rang d’une application lin´eaire versus rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1

Notation : Le symbole Kd´esigne Rou C.
1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires
D´efinition (application lin´eaire)
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. Une application ϕ:E→Fest dite lin´eaire si
∀u1, u2∈E, ∀λ1, λ2∈K, ϕ(λ1u1+λ2u2) = λ1ϕ(u1)+λ2ϕ(u2) (ϕrespecte les combinaisons lin´eaires).
Remarque 1 : On conserve les notations de la d´efinition pr´ec´edente. On peut d´emontrer que ϕ:E→Fest
lin´eaire si et seulement si les deux propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees.
∀u1, u2∈E, ϕ(u1+u2) = ϕ(u1) + ϕ(u2) (ϕrespecte l’addition)
et
∀u∈E, ∀λ∈K, ϕ(λ u) = λ ϕ(u) (ϕrespecte la multiplication par un scalaire)
Exemple 1 : Montrer que l’application
f:R3→R2;
x
y
z
7→ x+y−z
x+z
est lin´eaire.
Th´eor`eme 1 (application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice)
Soient n, p ∈N∗. Soit Aest une matrice n×p`a coefficients dans K(i.e. A∈ Mn,p(K)). On d´efinit l’application
ϕAcanoniquement associ´ee `a Apar :
ϕA:Rp→Rn;
x1
.
.
.
xp
7→ A
x1
.
.
.
xp
.
L’application ϕAest lin´eaire.
Preuve du th´eor`eme 1
Th´eor`eme 2 (image du neutre par une application lin´eaire)
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. Soit ϕ:E→Fune application. Alors on a :
ϕlin´eaire =⇒ϕ(0E) = 0F.
Preuve du th´eor`eme 2
Exemple 2 : Soit ϕl’application d´efinie par :
ϕ:R3→R2;
x
y
z
7→ x+y
x+z+ 1 .
Comme ϕ(0R3) = 0
16= 0R2, l’application ϕn’est pas lin´eaire.
D´efinition (endomorphisme et isomorphisme)
1. Soit Eun K-espace vectoriel.
Un endormorphisme de Eest une application lin´eaire de Edans E.
2. Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. Soit ϕ:E→Fune application.
On dit que ϕest un isomorphisme de Edans Fsi ϕest lin´eaire et bijective.
2

Notations
1. Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. On pose
L(E, F ) = ensemble des applications lin´eaires de Edans F .
2. Soit Eun K-espace vectoriel. On pose
L(E) = ensemble des endomorphismes de E.
Th´eor`eme 3 (op´erations sur les applications lin´eaires)
Soient E,Fet Gtrois K-espaces vectoriels.
1. Soient f, g ∈ L(E, F ). Alors l’application
f+g:E→F;u7→ f(u) + g(u)
est lin´eaire, i.e. f+g∈ L(E, F ).
2. Soit f∈ L(E, F ) et soit λ∈K. Alors l’application
λ f :E→F;u7→ λ f(u)
est lin´eaire, i.e. λ f ∈ L(E, F ).
3. Soit f∈ L(E, F ) et soit g∈ L(F, G). Alors l’application
g◦f:E→G;u7→ g(f(u))
est lin´eaire, i.e. g◦f∈ L(E, G).
4. Soit f∈ L(E, F ) bijective, i.e. fest un isomorphisme de Edans F. Alors l’application
f−1:F→E;v7→ l’unique solution de l’´equation f(u) = vd’inconnue u∈E
est lin´eaire, i.e. f−1∈ L(F, E).
Preuve de la propri´et´e 3. du th´eor`eme 3
Exemple 3 : Soit ϕl’application d´efinie par :
ϕ:R2→R2;x
y7→ x−y x+y.
1. Montrer que ϕest l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice A∈ M2(R).
2. Montrer que ϕest un isomorphisme de R2dans R2.
3. D´eterminer l’application ϕ−1.
4. Montrer que ϕ−1est l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice B∈ M2(R).
5. Quel lien unit Aet B?
Th´eor`eme 4 (structure canonique de K-espace vectoriel sur L(E, F ))
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. L’ensemble L(E, F ) muni des deux applications
a:L(E, F )× L(E, F )→ L(E, F ) ; (f, g)7→ f+g
et
m:K× L(E, F )→ L(E, F ) ; (λ, f)7→ λ f
(qui sont bien d´efinies d’apr`es le th´eor`eme 3) est un K-espace vectoriel.
Exemple 4
1. L’ensemble L(R2, R3[X]) poss`ede une structure canonique de R-espace vectoriel.
2. Plus g´en´eralement, le th´eor`eme 4 permet de construire de nouveaux espaces vectoriels `a partir de ceux
d´ej`a introduits auparavant (comme Rn,Rn[X], F(I, R), S(N,R)).
3

2 Noyau et image d’une application lin´eaire
D´efinition (noyau et image d’une application lin´eaire)
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire.
1. Le noyau Ker(ϕ) est le sous-ensemble de Ed´efini par :
Ker(ϕ) = {u∈E:ϕ(u)=0F}.
2. L’image de ϕest le sous-ensemble de Fd´efini par :
Im(ϕ) = {ϕ(u) : u∈E}.
Th´eor`eme 5 (noyau et injectivit´e, image et surjectivit´e)
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire.
1. L’application ϕest injective si et seulement si Ker(ϕ) = {0E}.
2. L’application ϕest surjective si et seulement si Im(ϕ) = F.
Preuve du th´eor`eme 5
Th´eor`eme 6 (structures du noyau et de l’image)
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire.
1. Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel de E.
2. Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel de F.
Preuve du th´eor`eme 6
Exemple 5 : Soit A=
1 2 1
1 0 −1
1 2 1
.Soit
ϕA:R3→R3;
x
y
z
7→ A
x
y
z
l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a A.
1. D´eterminer une base du noyau de ϕA. Qu’en d´eduire quant `a l’injectivit´e de ϕA?
2. D´eterminer une base de l’image de ϕA. Qu’en d´eduire quant `a la surjectivit´e de ϕA?
Remarque 2 : Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels. Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire. D´eterminer
le noyau de ϕrevient `a r´esoudre l’´equation
ϕ(u)=0F
d’inconnue u∈E.
Quand E=Rpet F=Rn(p, n ∈N∗), d´eterminer le noyau de ϕrevient `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire
homog`ene, comme on l’a vu dans l’exemple 5.
Mais d´eterminer un noyau, en g´en´eral, peut conduire `a r´esoudre des ´equations d’autres natures, comme des
´equations diff´erentielles par exemple.
Th´eor`eme 7 (famille g´en´eratrice de l’image)
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie. Soit (e1, e2...,ep) une famille g´en´eratrice finie de E(par
exemple une base de E). Soit Fun K-espace vectoriel. Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire.
Alors (ϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(ep)) est une famille g´en´eratrice de Im(ϕ), i.e. :
Im(ϕ) = Vect(ϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(ep)).
Preuve du th´eor`eme 7
4

♥Remarque 3 (noyau et image d’une application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice)
Soient n, p ∈N∗. Soit A∈ Mn,p. Soit
ϕA:Rp→Rn;
x1
.
.
.
xp
7→ A
x1
.
.
.
xp
l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a A.
1. Ker(ϕA) est l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire homog`ene A
x1
.
.
.
xp
= 0Rnd’inconnue 
x1
.
.
.
xp
∈Rp.
2. On note (e1, e2, . . . , ep) la base canonique de Rp. D’apr`es le th´eor`eme 7, on a :
Im(ϕA) = Vect(ϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(ep)).
Comme pour tout i∈J1, pK:
ϕ(ei) = i-`eme colonne de A
on voit que :
Im(ϕA) est le sous-espace vectoriel de Rnengendr´e par les vecteurs colonnes de la matrice A.
Par exemple, si A=
110
011
110
alors Im(ϕA) = Vect 
1
0
1
,
1
1
1
,
0
1
0
.On peut en d´eduire
que 
1
0
1
,
0
1
0
est une base de Im(ϕA), en extrayant une base de la famille g´en´eratrice de Im(ϕA)
pr´ec´edemment obtenue.
Exemple 6 : Soit ϕ:R2[X]→R2[X] ; P7→ P0.
1. Montrer que ϕest bien d´efinie.
2. Montrer que ϕest lin´eaire.
3. D´eterminer une base de Ker(ϕ).
4. D´eterminer une base de Im(ϕ).
3 Matrices versus applications lin´eaires : un exemple
Notations : On note E= (e1, e2, e3) la base canonique de R3et F= (f1, f2) la base canonique de R2.
3.1 Matrice associ´ee `a une application lin´eaire relativement aux bases Eet F
Notation : Dans cette section, on note ϕl’application lin´eaire d´efinie par :
ϕ:R3→R2;
x
y
z
7→ x+ 2y+z
−x+y+ 7z.
On commence par calculer les coordonn´ees de ϕ(e1), ϕ(e2), ϕ(e3) dans la base F.
ϕ(e1) = 1
−1= 1 f1+−1f2
ϕ(e2) = 2
1= 2 f1+ 1 f2
ϕ(e3) = 1
7= 1 f1+ 7 f2.
5