TD d`Analyse Spectrale 1 Spectre 2 La topologie d

FIMFA, Avril 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Spectrale
-I-
Par défaut, les algèbres sont supposées unifères et complexes.
1 Spectre
1. Soit xun élément d’une algèbre de Banach unifère Atel que SpAx={1}. A-t-on x= 1 ?
2. Tout compact (non vide) de Cest-il le spectre d’un élément d’une algèbre de Banach
unifère ?
2 La topologie d’un espace compact est codée dans l’algèbre
des fonctions continues
Soient X,Ydes espaces topologiques compacts. On suppose qu’il existe un isomorphisme
(continu) d’algèbres entre les espaces de fonctions complexes (C(X),k.k∞)et (C(Y),k.k∞).
Montrer que Xet Ysont homéomorphes. Donner une condition simple sur l’algèbre C(X)
pour que Xsoit connexe.
3 Calcul de spectre
Soit Al’algèbre des fonctions de classe C1sur l’intervalle [0,1]. On munit Ade la norme
donnée par kfk= sup{|f(t)|, t ∈[0,1]}+ sup{|f0(t)|, t ∈[0,1]}. Montrer que Aest une
algèbre de Banach (commutative). Indiquer le spectre et la transformation de Gel’fand de A.
4 Calcul de spectre
Soit A=`1(Z)l’espace de Banach des suites (an)n∈Zde nombres complexes telles que
X
n∈Z|an|<+∞, muni de la norme k.k1définie par k(an)n∈Zk1=X n∈Z|an|.
1. Soient aet bdeux éléments de A. Montrer que a∗b∈Aet ka∗bk1≤ kak1kbk1,
où pour a= (an)n∈Zet b= (bn)n∈Zon a posé a∗b= (cn)n∈Zavec cn=X
k∈Z
akbn−k.
Montrer que Amunie de la multiplication (a,b)7→ a∗best une algèbre de Banach
commutative et unifère.
2. Soit Ble sous-espace de Aformé des suites (an)n∈Ztelles que an= 0 si n < 0. Montrer
que Best une sous-algèbre fermée de A. Soit u= (un)n∈Zla suite définie par u1= 1 et
un= 0 si n6= 1. Calculer le spectre de udans Aet dans B.
3. En déduire les spectres des algèbres de Banach commutatives Aet B.
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5 Une propriété du calcul fonctionnel holomorphe
Soient Aune algèbre de Banach et a, b ∈A. Montrer que pour toute fonction holomorphe au
voisinage de Sp ab ∪ {0}, on a af (ba) = f(ab)a.
6 Groupe topologique des inversibles d’une algèbre de Banach
et exponentielle
Soit Aune algèbre de Banach unifère. On note G=A×le groupe des éléments inversibles
de Aet G1la composante connexe de 1dans G. On rappelle que sur une algèbre de Banach,
l’exponentielle est définie par le calcul fonctionnel holomorphe ou avec sa formule en série, de
façon équivalente (car la convergence de la série est uniforme sur tout compact).
1. (a) Montrer que si Hest un groupe topologique d’unité e, alors la composante connexe
Hede edans Hest un sous-groupe distingué. Montrer que si H0est un sous-groupe
de Hqui contient un voisinage ouvert Vde e, alors H0contient He.
(b) Montrer que G1est le sous-groupe de Gengendré par {exp(a), a ∈A}. (On pourra
utiliser le théorème d’inversion locale pour les applications C1sur les ouverts d’es-
paces de Banach, qui se formule de la même façon que dans les espaces de dimension
finie).
2. Soit x∈G. On va montrer que xest de la forme exp(a)si et seulement s’il existe un
sous-groupe connexe commutatif de Gcontenant x.
(a) Montrer le sens facile.
(b) Montrer qu’il existe un voisinage Ude 0dans A, un voisinage Vde 1dans A
contenu dans la boule B(1,1), tels que exp : U→Vest un difféomorphisme de
réciproque
ln : x∈V7→ X
n≥1
(−1)n+1
n(x−1)n.
(c) Soit Hun sous-groupe commutatif connexe de Gcontenant x. Montrer qu’il existe
n≥0,y1,...,yn∈H∩V,ε1,...,εn∈ {1,−1}tels que
x=yε1
1···yεn
n.
(d) Conclure.
3. Pour Cpartie de A, on note C0le commutant de C,i.e. l’ensemble des éléments de A
qui commutent avec tous les éléments de C. On note donc C00 le bicommutant de C,i.e.
le commutant de C0. Montrer que C0est une sous algèbre unifère fermée de A, et que
pour C1⊂C2, on a C0
2⊂C0 1et C00 1⊂C00 2. Montrer que C⊂C00. Montrer que pour tout
n≥0,
C(2n+1) =C0et C(2n+2) =C00.
Montrer que le bicommutant d’une partie commutative est commutatif.
4. Montrer que si 0est dans la composante connexe non bornée de C−SpA(x), alors xest
de la forme exp(a).
5. On suppose Acommutative. Montrer que tout élément de G/G1est d’ordre infini.
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7 Les extensions de corps de R
Soit A une algèbre de Banach unifère réelle.
1. Montrer qu’il existe une algèbre de Banach complexe ACdans laquelle As’injecte comme
algèbre réelle.
2. Montrer que pour tout x∈A, il existe deux nombres réels aet btels que (x−a)2+b2
ne soit pas inversible dans A.
On suppose maintenant que A est un corps. Pour une algèbre de Banach Asur
C, cela implique que A'C. Nous allons donner un analogue de ce résultat pour une
algèbre réelle.
3. Montrer que si l’application a7→ a1n’est pas surjective de Rsur Aalors il existe un
élément i∈Atel que i2=−1. Montrer que si x∈Asatisfait ix =xi alors il existe
a, b ∈Rtels que x=a+ib .
4. Notons α:A→Al’application x7→ −ixi. Montrer que αest un automorphisme de
l’algèbre Aet que α◦αest l’identité de A.
Posons C={x∈A, ix =xi}et D={x∈A, ix =−xi}. Montrer que C⊕D=A.
Soit y∈D− {0}. Montrer que D=yC.
5. Montrer que Aest isomorphe (en tant qu’algèbre de Banach) à R,Cou au corps des
quaternions H.
Rappel : le corps des quaternions est l’algèbre H=R4munie de sa structure d’espace
vectoriel classique et d’un produit défini par les formules suivantes (où 1, i, j, k désignent
les vecteurs de la base canonique)
11 = 1,1i=i=i1,1j=j=j1,1k=k=k1,
i2=j2=k2=−1, ij =−ji =k, jk =−kj =i, ki =−ik =j.
Pour q=x01 + x1i+x2j+x3k∈H, on pose ¯q=x01−x1i−x2j−x3k. On a alors
q¯q= ¯qq =x2
0+...+x2 3.
On définit alors kqk=√q¯q. Notons que pq = ¯p¯q, d’où l’on déduit que k.kest une norme
d’algèbre sur H. De plus, tout élément non nul q=x01 + x1i+x2j+x3kadmet
¯q
q¯q=1
px2
0+...+x2
3
.(x01−x1i−x2j−x3k)
pour inverse. On a donc un corps (non commutatif). Dans ce corps, l’équation x2=−1
a une infinité de solutions.
6. Montrer que tout sur-corps de Rqui est de dimension finie est isomorphe (en tant que
R-algèbre) à R,Cou au corps des quaternions H.
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