Somme de carrés

1
I) Sujet
Les sommes de carrés :
On peut exprimer chaque entier comme la somme de quatre (et pas moins) carrés (Lagrange) et
on peut caractériser ceux qui sont la somme de trois (Gauss) ou de deux (Fermat) carrés. On
étudiera leurs preuves.
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II) Somme de deux carrés
1) Rappels
1.1Définitions et notations concernant les anneaux
1) i ! "a # ib, a et b & '
2) On définit sur i la norme d’un nombre complexe : Na # ib ! a) # b) * 0
3) Soit A un ensemble non vide, muni de deux opérations appelées addition et
multiplication et notées « + » et « . ».
On dit que (A, +, .) est un anneau si
a) -L’addition est :
interne dans A : ,x, y & A, x # y & A
associative : ,x, y, z & A, x # y # z ! x # y # z
commutative : ,x, y & A, x # y ! y # x
-Il existe un élément e & A qui vérifie : ,x & A, x # e ! x.
Remarque : si un tel élément e existe, il est unique, on l’appelle l’élément neutre pour
l’addition de A et on le note 0.
-tout élément de A admet un inverse pour l’addition : ,x & A, 4 x 5 & A, x # x 5 ! 0
Remarque : si un tel élément x 5 existe, il est unique, on l’appelle l’inverse de x,
x et on le
note –x.
On dit que (A, +) groupe commutatif.
b) -La multiplication est :
interne dans A : ,x, y & A, x. y & A
associative : ,x, y, z & A, x. y. z ! x. y. z
distributive par rapport à l’addition : ,x, y, z & A, x. y # z ! x. y # x. z et
y # z. x ! y. x # z. x
-Il existe un élément e & A qui vérifie : ,x & A, x. e ! e. x ! x.
Remarque : si un tel élément e existe, il est unique, on l’appelle l’élément neutre pour
la multiplication de A et on le note 1.
c Si en plus la multiplication est commutative, on dit que A est un anneau
commutatif.
4) Soit A un anneau non nul.
On dit que A est un anneau intègre si , x, y & A, x. y ! 0 8 x ! 0 ou y ! 0
3
5) Soit A un anneau commutatif et x un élément de A, x est inversible pour la
multiplication s’il existe un élément x’ de A tel que x.x’ = 1. Dans ce cas un tel élément x’
est unique et appelé l’inverse de x. On note A9 l’ensemble des éléments inversible de A.
6) Un élément x de A un anneau intègre, est irréductible si
a) x ∉ A9
b) ,a, b & A, (x ! ab 8 a & A9 ou b & A9 On dira que y & A– A9 est réductible s’il n’est pas irréductible. C'est-à-dire s’il existe
c et d & A–A9 tels que y = cd.
7) Soit A un anneau, on dit qu’un nombre p ≠ 0 est un nombre premier dans A
si p ∉ A9 et ,a, b & A, p divise ab 8 p divise a ou p divise b
8) Soit A un anneau commutatif intègre. On dit que A est euclidien s’il existe une fonction
ϕ : A\{0} < ℕ vérifiant les conditions suivantes :
a)
si b divise a, a > 0, alors ϕ(b) ≤ ϕ(a)
b)
si b & A\{0}, alors pour tout a & A, ∃ q & A et r & A, tels que a = bq + r, avec r = 0
ou ϕ(r <ϕ(b
9) Soit A un anneau commutatif intègre.
On dit que A est factoriel si la propriété suivante est vérifiée :
tout a > 0 de A s’écrit a = upB … pD , n * 0, u & AE , pF irréductible de A pour i = 1, … , n,
et, si l5 on a deux décompositions analogues a = upB … pD = vqB … qG , n, m * 0, u, v & AE ,
pF , qH irréductibles de A, alors m = n et ∃ une permutation σ de "1, … , n' telle que
qF et pJ(F soient associés, pour i = 1, … , n.
10) Soit A un anneau intègre et a et b des éléments de A. On dit que a et b sont associés et on
note a~b, s’il existe u & A9 tel que a = ub.
11) Soit (A, +, .) un anneau et I une partie de A. I est un idéal de A si :
a) (I, +) est un sous-groupe de A,
b) ,a L A, ,x L I, a. x L I, on dit que I est une partie absorbante de A pour la multiplication.
Ce qui revient à dire : 0 L I, ,x, y L I, x + y L I et ,a L A, ,x L I, a. x L I.
12) Soit A un anneau et B une partie de A. L’idéal engendré par B est le plus petit (au sens
de l’inclusion) idéal de A contenant B. On note (B) cet idéal. (B) est l’intersection des
idéaux de A contenant B.
4
13) Soit A un anneau et I un idéal de A. I est un idéal principal, s’il est engendré par un
élément de A, i.e. s’il existe a & A tel que I = (a).
14) Soit A un anneau non nul et I un idéal propre de A. I est un idéal maximal de A si dès
qu’un idéal J contient I, alors J = I ou J = A.
1.2Propriétés concernant les nombres premiers, inversibles, irréductibles et N
En posant z ! a # ib, on a zO ! a P ib les propriétés suivantes :
Propriétés :
1) Nz ! zzO
2) Nzz 5 ! NzNz 5 3) z inversible dans i Q Nz ! 1
preuves :
1) zzO ! a) # b)
2) zz 5 ! a # iba5 # ib5 ! aa5 P bb5 # iab5 # ba5 Nzz 5 ! aa5 P bb5 ) # ab5 # ba5 )
! a) a5) # b) b5) P 2aa5 bb5 # a) b5) # b) a5) # 2aaSbbS
! a) # b) a5) # b5) ! NzNz 5 3) z inversible dans i Q 4z 5 tel que zz 5 ! 1 8 4z 5 tel que Nzz 5 ! 1
Q 4z 5 tel que NzNz 5 ! 1
Q Nzest inversible
Réciproquement, si Nzest inversible Q 4z 5 tel que NzNz 5 ! 1
8 Nz ! 1 car N est une norme sur i
8 a) # b) ! 1, z ! a # ib
)
)
8 Ta) ! 1 U ou Ta ) ! 0 U , z ! a # ib
b !0
b !1
8z !1
5
8 z est inversible dans i z 5 ! 1
Remarques :
4) soit p un nombre premier de =, on a p et –p qui sont deux nombres premiers de .
5) i est un anneau commutatif intègre
Propriété 6:
Soient p un nombre premier de = et z ⋲ i , si p divise z alors p divise zO
Preuve :
Si p divise z alors 4u ⋲ [i] tel que z = pu 8 4u ⋲ [i] tel que zO= puO car p ⋲ et donc p = p
O
Propriété 7:
Soit p un nombre premier dans [i] alors p divise x Q p divise Nx
Preuve :
Si p divise x 8 p divise xO d’après la propriété 6 8p divise xxO ! Nx d’après la propriété 1
p divise x
ou
Réciproquement, si p divise N(x) = xxO 8
car p est nombre premier dans [i]
p divise xO
8 p divise x d’après la propriété 6 car xO ! x
Propriété 8:
Soit p un nombre premier de =, p réductible dans [i] Q p est égal à la norme d’un élément
irréductible de [i]
Preuve :
Si p = N(u) = uuO, où u est un irréductible donc un élément non inversible
8 p réductible car u et uO non inversibles
Réciproquement, si p est réductible dans [i] alors 4 u et v non inversibles dans [i] tels que
p = uv.
Or on a p) ! Np ! Nuv ! NuNv (cf. propriété 2)
Donc comme p est un nombre premier de = , on obtient p = N(u) = N(v) = vOv d’où u = vO.
propriété 9:
si N(u) = q, q premier dans = alors u est irréductible.
6
Preuve :
En effet, par l’absurde, u ! uB u) où uB et u) sont des éléments non inversibles
8 q ! NuB Nu) NuB ! qU
NuB ! 1U
8 1 T
ou 2 T
car q premier dans ℕ
Nu) ! 1
Nu) ! q
8 pour 1 u) inversible et pour 2 uB inversible, contradiction, d’où le résultat.
Remarques15:Les éléments p premiers dans ℕ irréductibles de ℤ[i] sont les p premiers qui ne
sont pas égaux à la norme d’aucun irréductible de ℤ[i]. Donc les p premiers de ℕ réductibles de
ℤ[i] sont ceux qui s’écrivent sous la forme p ! a) # b) , a et b ⋲ ℕ.
Propriété 11 :
Soit A un anneau euclidien, alors A est principal.
Preuve :
Soit A, ϕ un anneau euclidien.
D’après la définition d’un anneau euclidien, on sait que A est intègre.
Soit I un idéal non nul de A, on considère l’ensemble E ! "
vide de ℕ.
Soit m ! min E et α L I P "0' tel que ϕα ! m.
Z[
[
⋲ I P "0'', E étant une partie non
On va montrer que I ! α.
I étant un idéal et α ⋲ I, α⊂I.
Soit a ⋲ I, A, ϕ étant euclidien, ∃ q, r ⋲ A tels que a ! αq#r, avec r ! 0 ou ϕr < ϕα.
Comme a, α ⋲ I et I est un idéal, r ⋲ I.
De la minimalité de ϕα, on déduit que r ! 0 et donc que a ⋲ α.
Par conséquent on a bien montré par double inclusion que I ! α.
Propriété 12 :
Un élément п de A un anneau intègre.
п est irréductible si est seulement si l’idéal п est maximal parmi les idéaux principaux de A,
i.e. si un idéal principal a contient п, alors a ! п ou a ! A.
En particulier, si A est principal, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
a п est irréductible
b п est maximal
c A/п est un corps
7
Preuve :
On suppose que п est un irréductible de A.
Soit a ⋲ A tel que (п) ⊂ (a), donc a divise п.
п étant réductible,a~1 ou a~п, donc (a) = A ou (a) = (п).
On suppose que (п) est maximal parmi les idéaux principaux de A.
Soit a un diviseur de п, alors (п) ⊂ (a). Donc (a) = (п) ou (a) = A.
On déduit que a~1 ou a~п, et donc que п est irréductible.
Propriété 13 :
Si p est premier, alors p est irréductible.
La réciproque est fausse en général.
Si A est un anneau principal, il y a équivalence entre les éléments premiers et les irréductibles.
Preuve :
Soit p un élément premier de A.
Soit a, b ⋲ A tels que p = ab, donc p divise ab. p étant premier, p divise a ou b.
On suppose que p divise a, donc il existe a’ ⋲ A tel que a = pa’ et donc p = pa’b.
A étant intègre, on en déduit que b ⋲ A9 .
De même si p divise b, on déduit que a ⋲ A9 .
Par conséquent, p est irréductible.
On suppose que A est principal.
Montrons que si p est irréductible, p est premier (on utilise la propriété 12).
Soit p un élément irréductible, alors (p) est maximal parmi les idéaux principaux de A.
Or A est principal, donc (p) est maximal.
Par conséquent, A/(p) est un corps, donc un anneau intègre et donc p est premier.
Propriété 14 :
Soit A un anneau principal, alors A est factoriel.
Preuve :
Existence d’une factorisation :
On suppose qu’il existe un élément non nul a0 de A qui n’admet pas de factorisation en
irréductibles. En particulier, a0 n’est pas inversible et n’est pas irréductible.
Alors, il existe un élément a1 qui n’admet pas de factorisation en irréductibles tel que (a0) ⊊ (a1).
En effet, comme a0 n’est pas inversible et n’est pas irréductible, il existe des éléments d1 et d2 de
A non inversibles tels que a0 = d1 d2. Comme a0 n’admet pas de factorisation en irréductibles, d1
ou d2 n’admet pas de factorisation.
En répétant ce procédé, on construit une suite d’idéaux strictement croissante :
(ag ) ⊊ (aB ) ⊊ h ⊊ (aD ) ⊊ (aDiB ) ⊊ h
8
Soit I ! jDkg(aD , alors I est un idéal.
A étant principal, il existe a ⋲ A tel que I = (a). I étant la réunion des idéaux (aD )Dkg , il existe un
entier n* 0, tel que (aD ) = (a) et donc pour tout i * n, (aF ) = (a), ce qui contredit le fait que la
suite d’idéaux (aF )Fkg est strictement croissante.
Unicité de la factorisation :
Supposons qu’on a : upB … pD = vqB … qG , où u, v ⋲ A9 , n * 0, m * 0, pB , … , pD , qB , … , qG des
éléments irréductibles.
Montrons que n = m et que chaque pi est associé à un qFm .
On suppose que n < m.
Soit i = 1,…, n, pi divise qB … qG .
Comme pi est irréductible, il est premier (propriété 13).
Donc il existe ij = 1,…, m tel que pi divise qFm et comme pi et q Fm sont irréductibles, ils sont
associés.
Ainsi, il existe q5B , … , q5GoD parmi qB , … , qG tels que q5B … q5GoD est inversible, ce qui est absurde.
Donc n = m et chaque pi est associé à un qFm .
Remarque15 : on a démontré qu’un anneau euclidien est principal et qu’un anneau principal est
factoriel et donc on a démontré qu’un anneau euclidien est factoriel.
Propriété 16 :
ℤ[i] est un anneau euclidien.
Preuve :
ℤ[i] = "a # ib, a et b ⋲ ℤ'
ℤ[i] est un anneau intègre (ℤ[i] ⊂ ℂ et tout sous-anneau d’un anneau intègre est intègre)
On considère l’application N: ℤ[i] < =
z = a # ib s |z|) = a) # b)
Montrons que ℤ[i] est un anneau euclidien.
Soient x ⋲ ℤ[i], y ⋲ ℤ[i]P"0'.
Montrons qu’il existe q, r, ⋲ ℤ[i] tel que x = yq#r, avec r = 0 ou N(r) < N(y).
u
On pose v = α # iβ, α, β L x.
Soient a, b ⋲ ℤ les entiers les plus proches de α et de β respectivement,
alors |α P a| y
B
)
B
et |β P b| y ).
On pose q = a # ib ⋲ ℤ[i] et r = x P yq, r L ℤ[i].
)
x
N(r) = |r|) = |y|) z P qz = |y|) |(α P a) # i(β P b)|) = |y|) ((α P a)) # (β P b)) )
y
9
N(r y |y|) { # } ? |y|) ! Ny.
B
|
B
|
Remarques :
17) Dans i on a l’équivalence entre les éléments irréductibles et premiers.
(Cela vient du fait que i est euclidien donc principal, voir la propriété 13)
18) A est un anneau factoriel si et seulement si il y a existence d’une décomposition en
irréductibles et les irréductibles sont des nombres premiers
9
19) {€p} ! "aO & €p tel que pgcd(a, p) ! 1'
9
 2,
 …,p
OOOOOOO
De plus si p est un nombre premier dans ℕ, on a : {€p} ! "1,
P 1'
Propriété 20 :
Si n premier, alors €n est un corps
Preuve :
Par l’absurde, on suppose que n n’est pas un nombre premier, alors n s’écrit n = ab avec a > 1 et
b >1. On a aObO ! 0O.
9
Montrons que a n’est pas inversible. Cela contredira le fait que ‚€nƒ ! €n P "0' (voir la
remarque 19).
Par l’absurde, supposons qu’il existe aOoB L €n tel que aOaOoB ! 1O, alors aOoB aObO ! aOoB 0O ! 0O.
Donc on obtient que bO ! 0O, ce qui est absurde puisque 1< b < n.
Définition 21 :
Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux si pgcd(a, b) = 1.
Cela équivaut à dire que l’idéal engendré par a et b est tout entier :
pgcd(a, b) ! 1 Q a # b ! .
Théorème de Bezout :
Deux entiers a et b sont premier entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers x et y tels que
ax +bx = 1.
10
Preuve :
En effet, si a # b ! , alors 1 ⋲ montre qu’il existe deux entiers x et y tels que ax # bx ! 1.
Réciproquement, s’il existe de tels entiers x et y, alors 1 & a # b et cet idéal, qui contient 1,
coïncide avec ℤ.
Théorème de Wilson :
Soit p un nombre premier de ℕ, alors p P 1! † P1p .
Preuve :
Soit p un nombre premier de ℕ, on a ℤ€pℤ qui est un corps d’après la propriété 14 et donc tout
OOOOOOOOOO
p P 1 a aussi son inverse dans OOOOOOOOOO
p P 1!.
facteur k de p
P 1! ! 1O. 2O … OOOOOOOOOO
De plus les facteurs xO égaux à leurs inverses vérifient T
QT
OOOOOOOOO
OOOOOOOOO
x P 1x
# 1 ! 0OU
x ⋲ "1, … , p P 1'
QT
xO ! 1O ou OOOO
P1 U
x ⋲ "1, … , p P 1'
xO ) ! 1O
U
x ⋲ "1, … , p P 1'
OOOO ! p
OOOOOOO
Q xO ! 1O ou xO ! P1
P1
D’où on obtient après simplification (i.e. après l’élimination des facteurs k ayant un inverse
OOOOOOO
OOOOOOO
OOOO † P1p .
différent d’eux même) p
P 1! ! 1Op
P 1 ! P1
Théorème de Gauss :
Soient a, b et c des entiers tels que a divise ab et pgcd(a, b) = 1, alors a divise c.
Preuve :
Soient a, b et c des entiers, pgcd(a, b) = 18 4α et β ⋲ ℤ tels que αa # βb ! 1 d5 après Bezout
8 4α et β ⋲ ℤ tels que αac # βbc ! c
Si a divise bc 8 4k ⋲ ℤ tel que bc ! ka 8 aαc # βk ! c 8 a divise c.
Petit théorème de Fermat :
Soit p un nombre premier dans ℕ, alors ,x ⋲ ℤE x ‰ † xp .
Dit autrement, soit p un nombre premier dans ℕ, alors ,x ⋲ ℤE x ‰oB † 1p .
11
Preuve :
x ) † 02 † x2 si x † 0p
Cela est vérifié pour p = 2, car x † 0 ou 1 p 8
ou
)
x † 12 † x2 si x † 1p
Regardons pour p ≠ 2 :
On remarque que C‰Š !
‰!
Š!‰oŠ!
!p
‰oB!
Š!‰oŠ!
Comme k! p P k! C‰Š ! pp P 1!.
p ne divisant pas k! U
k > 0U
Pour T
on a T
, car p premier avec tous les entiers k tels que
k>p
p ne divisant pas p P k!
0 < k < p.
Donc d’après le théorème de Gauss p divise C‰Š.
Par récurrence sur x⋲ =E , montrons que x ‰ † xp .
Pour x = 1 et p ≠ 2, on a 1‰ ! 1 † 1p .
‰oB
Supposons que x ‰ † xp , on a x # 1‰ ! x ‰ # ∑ŠŒB C‰Š x Š # 1 † x ‰ # 0 # 1p † x # 1p
D’où on a bien , x ⋲ =E x ‰ † xp
Reste à montrer que pour x ⋲ oE :
Si x ⋲ oE , on a Px‰ ! P1‰ x ‰ † Px ‰ p † Pxp car p est impair
Donc ,x ⋲ E , x ‰ † xp .
2) somme de deux carrés
Théorème de Fermat :
Tout nombre premier p † 14 est somme de deux carrés (i.e. est de la forme p ! a) # b) ,
a, b ⋲ ℕ)
preuve :
Remarque : p ! 2 ! 1) # 1) , il s’écrit bien sous le forme de deux carrés.
Pour les autres nombres premiers p, qui sont impairs, on a p † 14 ou p † 34 .
Si p † 34 , p n’est pas une somme de deux carrés.
En effet, , a ⋲ €4 ! "0O, 1O, 2O, 3O', a2 = 0O ou 1O. Donc a) # b) ! 0O ou 1O ou 2O > 3O .
Reste à voir ce qui se passe pour p † 14 .
)
OOOOOOOOO
‰oB
OOOO ! {
Pour p † 14 on a P1
}
!
.
Ž
)
12
Explications :
‰oB
Comme p est un entier naturel impair, on a
qui est un entier naturel.
)
OOOOOOO
OOOOOOO
‰oB
‰oB
‰oB
OOOOOOO
On a aussi €p ! "0O, 1O, … , p
P 1' ! P { ) } , … , P1O, 0O, 1O, … , { ) } car p P 1 ! 2 ) # 1.
‘’“
)
OOOOOOOOOOOO
‰oB
p P 1! ! { } !Ž P1 ” .
Donc OOOO
P1 ! OOOOOOOOOO
)
Or p † 14 Q 4h ⋲ = tel que p ! 1 # 4h 8 4h ⋲ = tel que
‰oB
)
‰oB
OOOO
OOOO 8 α) # 1 ! βp , α, β ⋲ =.
Posons α ! { } ! on a donc α) † P1
)
)
OOOOOOOOO
‰oB
! 2h 8 OOOO
P1 ! { ) } !Ž
D’où p divise α) # 1 ! 1 # αi1 P αi.
Or [i] est euclidien donc factoriel pour Nz ! zzO ! a) # b) , où z ! a # ib.
Donc p est premier dans ℤ[i] Q p est irréductible dans ℤ[i].
Si p était premier dans ℤ[i] on aurait p divise 1 # αi ou 1 P αi.
Donc p divise 1 # αi et 1 P αi d’après la propriété 6 8 p divise 1 # αi # 1 P αi ! 2,
contradiction puisque p est un nombre impair.
D’où p est réductible dans [i] et p ! uv 8 Np ! p) ! NuNv
8 Nu ! Nv ! p car Nu et Nv ⋲ =
8 Nu ! uuO ! p, et avec u ! a # ib, a et b ⋲ on a p ! a) # b) ! |a|) # |b|) .
Donc p est une somme de deux carrés.
Remarque1 : Si P1 est un carré dans €p c.-à-d. α) † P1p , alors p † 14 .
En effet α) † P1p 8 1p † α‰oB † α) expliquée par le petit théorème de Fermat.
Donc
‰oB
)
est pair 8 4h⋲ tel que
‰oB
)
‘’“
”
† P1
‘’“
”
p où la première congruence est
! 2h 8 p ! 4h # 1.
D’où P1 est un carré dans ℤ€pℤ Q p † 14 .
Théorème 1:
—
Soient n un entier naturel non nul et n ! ∏ pŠ ˜ sa décomposition en facteurs premiers. Pour
que n soit somme de deux carrés, il faut et il suffit que, pour tout pŠ † 34 , l’exposant አsoit
pair.
Preuve :
On va d’abord montrer que le produit de deux facteurs premiers qui s’écrivent sous la forme
d’une somme de deux carrés s’écrit sous la forme d’une somme de deux carrés.
On a Na # ib ! a) # b) posons S ! "a) # b) , a # ib ⋲ ℤi '.
Soient a) # b) et aS) # bS) ⋲ S, a) # b) a5) # b5) ! Nzz 5 ! NzNz 5 où z ! a # ib
et z 5 ! a5 # ibS.
On a zz 5 ! aa5 P bb5 # iab5 # ba5 ⋲ ℤi .
13
Donc S stable pour la multiplication, de plus 2 ! 1) # 1) & S et ,x & , x ) ! x ) # 0)
donc x ) & S.
Maintenant on peut s’occuper des entiers :
—
Soient n un entier naturel non nul et n ! ∏ pŠ ˜ sa décomposition en facteurs premiers.
On va montrer que pour tout pŠ † 34 si l’exposant አest pair alors n est une somme de deux
carrés.
Soient n⋲ℕ* et sa décomposition en facteurs premiers :
p † 14 donc d5 après le théorème de Fermat pF ! a)F # b)F U
)›
—
n ! 2— ∏ pF š ∏ qH m où œ F
.
qH † 34 † P14
Donc n ⋲ S car 2, les pF et les q)H ⋲ S.
Réciproquement, montrons que si n est une somme de deux carrés alors pour tout pŠ † 34 si
l’exposant አest pair.
Soient n ! a) # b) ⋲ S et la décomposition de n en produit de facteurs premiers :
p † 14 donc d5 après le théorème de Fermat pF ! a)F # b)F U

—
n ! 2— ∏ pF š ∏ qH m où œ F
.
qH † 34 † P14
Il faut montrer que n ⋲ S 8 γH pair.
D
[ )
¡ )
Posons d ! pgcda, b, n est divisible par d) Ÿ ! { } # { } ! a5) # b5) ! nB ,
avec pgcda5 , b5 ! 1.
¢
m
nB ⋲ ℕ soit sa décomposition en produit de facteurs premier nB ! 2— ∏ pF —š ∏ qH ! a5) # b5) .
¢
¢
On a γ5H qui est pair .
Par l’absurde, supposons que γ5H est impair, il est au moins égal à un. Donc il y a au moins un q H .
D
Celui-ci divise nB ! ! a5) # b5) . On remarque que qH ne peut pas diviser a5) et donc a5
sans diviser b5) et donc b5 suposons que qH divise a5) et donc a5 , b5) ! nB P a5)
et comme qH divise nB , on a que q H divise b5) et donc b5 .
Si qH divise a5) et donc a5 il divise b5) et donc b5 et alors il divise le pgcda5 , b5 ! 1 et d’où on
obtient q H ! 1. Ce qui est absurde puisque qH est un nombre premier !
Donc qH ne divise ni a5 , ni b58 pgcd‚a5 , qH ƒ ! pgcd‚b5 , qH ƒ ! 1.
Donc d’après Bezout 4α et β ⋲ tels que αaS # βq H ! 1
8 4α et β ⋲ tels que bS ! αaSbS # βbq H 8 4α et β ⋲ tels que bS † αaSbS£qH ¤
8 0£qH ¤ † nB ! aS) # bS) † aS) 1 # α) b5) £qH ¤.
Or qH ne divise pas a5) 8 1 # α) b5) † 0£qH ¤ 8 P1 † αbS) £qH ¤ 8 qH † 14 d5 après la remarque 1
Contradiction puisque qH † 34 † P14 .
14
III) Somme de quatre carrés
1) Rappels
Propriété 1 :
α Pβ
H= T¦ O
§ tels que α, β L r¨ est un sous anneau de M) r.
⠁
α
Preuve :
On montre que H est un sous groupe additif de M) r :
0 0
{
}LH
0 0
α Pβ
c Pd
Soient ¦ O
§ , {O
} L H,
⠁
α
d cO
α # c Pβ P d
α # c Pβ # d
α Pβ
c Pd
¦O
§ # {O
} ! ¦O O
§LH
§ ! ¦OOOOOOO
OOOOOOO
⠁
α
d cO
α#c
β#d

α # cO
β#d
α Pβ
Soit ¦ O
§ L H,
⠁
α
α Pβ
Pα #β
Pα #β
P ¦O
§!¦ O
§ ! ¦OOOO
§LH
⠁
α
Pβ Pα

Pβ Pα
OOOO
On montre que H est stable par produit :
α Pβ
c Pd
Soient ¦ O
§ , {O
} L H,
⠁
α
d cO
αc P βdO Pαd # βcO
α Pβ
αc P βdO Pαd P βcO
c Pd
¦O
§ . {O
}!©
!©
ª
ªLH
OOOOOOOOOO
Oc # 
O Pβ
Od # 
OOOOOOOOOO
⠁
α
d cO
β
αd
αcO
αd # βcO
αc P βdO
1 0 5
{
} l élément neutre pour le produit dans M) r, appartient à H.
0 1
Définition 2 :
Les éléments de H sont appelés quaternions
quaternions.
nions
1 0
i
Notation 3: 1 ! {
},I ! {
0 1
0
0
0 1
0 i
},J ! {
},K ! {
}LH
Pi
P1 0
i 0
15
Propriété 4 :
a) I ) ! J ) ! K ) ! P1
b) IJ ! PJI ! K
c) JK ! PKJ ! I
d) KI ! PIK ! J
Remarque 5 : Tout élément de H s’écrit sous la forme d1 # bI # cJ # dK, avec a, b, c, d L ­.
α Pβ
En effet, soit ¦ O
§ L H. Si on note a ! Reα), b ! Imα), c ! PReβ), d ! PImβ),
⠁
α
α Pβ
a # ib c # id
1 0
i 0
0 1
0 i
alors ¦ O
§!{
} ! a{
} # b{
} # c{
} # d{
}
Pc # id a P ib
0 1
0 Pi
P1 0
i 0
⠁
α
α Pβ
¦O
§ ! a1 # bI # cJ # dK .
⠁
α
De plus cette écriture est unique.
Définition 6 :
Le conjugué d’un quaternion z ! a1 # bI # cJ # dK est défini par zO ! a1 # bI # cJ # dK
Remarque 7 : la norme de z est Nz) ! zzO.
Propriété 8 :
 zO
1) ,z, z 5 L H, OOOO
zzS ! zS
2) si z ! a1 # bI # cJ # dK L H, Nz) ! a) # b) # c ) # d) )1
3),z, z 5 L H, Nzz 5 ) ! Nz)Nz 5 )
Preuve :
1) Soient z ! a1 # bI # cJ # dK, z 5 ! e1 # fI # gJ # hK L H
zz 5 ! a1 # bI # cJ # dK)e1 # fI # gJ # hK)
! ae1 # afI # agJ # ahK # beI # bfI ) # bgIJ # bhIK # ceJ # cfJI # cgJ ) # chJK #
deK # dfKI # dgKJ # dhK )
! ae1 # afI # agJ # ahK # beI P bf1 # bgK P bhJ # ceJ P cfK P cg1 # chI # deK #
dfJ P dgI P dh1
! ae P bf P cg P dh)1 # af # be # ch P dg)I # ag P bh # df # ce)J # ah # bg P
cf # de)K
Donc OOOO
zzS ! ae P bf P cg P dh)1 # dg P af P be P ch)I # bh P ag P df P ce)J #
cf P ah P bg P de)K
16
 zO ! e1 P fI P gJ P hKa1 P bI P cJ P dK
Or zS
! ea1 P ebI P ecJ P edK P faI # ®bI ) # fcIJ # fdIK P gaJ # gbJI # gcJ ) # gdJK P
hdK # hbKI # hcKJ # hdK )
! ea1 P ebI P ecJ P edK P faI P ®b1 # fcK P fdJ P gaJ P gbK P gc1 # gdI P haK #
hbJ # hcI P hd1
! ae P ®b P gc P hd1 # gd P eb P fa # hcI # hb P ec¯ P gaJ # fc P ed P
gb P haK
 zO
zzS ! zS
Donc ,z, z 5 L H, OOOO
2) Soit z ! a1 # bI # cJ # dK L H
NzO) ! a1 # bI # cJ # dK)a1 P bI P cJ P dK)
! a) 1 P abI P acJ P adK # baI P b) I ) P bcIJ P bdIK # caJ P cbJI P c ) J ) P cdJK #
daK P dbKI P dcKJ P d) K )
! a) 1 # b) 1 P bcIJ P bjIK # bcIJ # c ) 1 P cdJK # bdIJ # dcJK # d)
! a) # b) # c ) # d) )1
3) Soient z, z’⋲ H
zz 5 ! zz 5 z5 zO par 1) ! zNz 5 )zO ! zzONz 5 ) ! Nz)Nz 5 )
Nzz 5 ) ! zz 5 OOOO
Définition 9:
Bi±i²i³
}. Les
)
On note A ! 1 # I # J # K # {
d’Hurwitz.
d’Hurwitz
éléments de A sont appelés quaternions
Remarque 10 : A est un sous anneau de H
Propriété 11 : Si z ⋲ A, alors Nz) ⋲ ℕ.1.
Preuve :
Bi±i²i³
}
)
Soit z ⋲ A. Alors 4a, b, c, d, e L tels que z ! a1 # bI # cJ # dK # e {
Bi±i²i³
}§
)
Q z ! ¦a1 # bI # cJ # dK # e {
µ )
µ )
µ )
µ )
8 Nz) ! ¦{a # )} # {b # )} # {c # )} # {d # )} § 1 d5 après propriété 8 2)
! {a) # ae #
µ”
#
|
)
b) # be #
µ”
|
# c ) # ce #
µ”
|
# d) # de #
! a) # ae # b # be # c ) # ce # d) # de # e) )1 L ℕ1
µ”
}1
|
Lemme 12 :
Dans A, un élément est inversible si et seulement si sa norme vaut 1.
17
Preuve :
Si α ⋲ A est inversible, alors ∃ α’ ⋲ A tel que αα’ = α’α = 1.
Ainsi 1= N(1) = N(αα’) = N(α) N(α’).
Et comme N(α), N(α’) ⋲ ℕ1 (car α, α’ ⋲ A), on a nécessairement, N(α) = N(α’) = 1.
Réciproquement, si N(α) = 1, alors αα
=
αα = 1.
Or α ⋲ A 8 ∃a, b, c, d, e L tels que α = a1 # bI # cJ # dK # e {
µ
)
µ
)
µ
)
Bi±i²i³
e{
}
)
Bi±i²i³
}
)
µ
)
8
α = {a # } 1 P {b # } I P {c # } J P {d # } K
= (a # e)1 P bI P cJ P dK P
⋲A

α ⋲ A et αα
 = 1 8 α est inversible.
Lemme 13:
13
Si α =
u“ Biu” ±iu¶ ²iu· ³
)
L A avec xB , x) , x¸ , x| L impairs, alors ∃ε L A de la forme
tel que εα L 1 # I # J # K et N(α) = N(εα).
Preuve :
ºBº±º²º³
)
xB , x) , x¸ , x| impairs 8 xB , x) , x¸ , x| † 1ou34
On pose xB = 4yB # εB , x) = 4y) # ε) , x¸ = 4y¸ # ε¸ , x| = 4y| # ε| , avec yB , y) , y_3, y| L ε = P1 si xF = 14 U
et ,i = ¼1,4½, T F
.
εF = 1 si xF = 34
On pose ε =
B
N(ε) = {| #
¾“ Bo¾” ±o¾¶ ²o¾·³
.
)
B
B
B
# | # |} 1 = 1
|
Donc N(αε) = N(α)N(ε) = N(α).
v“ Biv” ±iv¶ ²iv· ³
¾ Bo¾ ±o¾ ²o¾ ³
}ε # { “ ” ) ¶ · }ε
)
v Biv ±iv ²iv ³
4 { “ ” ¶ · } ε # N(ε)
)
αε = 4 {
=
= (yB 1 # y) I # y¸ J # y| K)(2ε) # 1
= (yB 1 # y) I # y¸ J # y| K)(εB 1 P ε) I P ε¸ J P ε| K) # 1 L 1 # I # J # K .
Propriété 14 :
A est euclidien à gauche.
Preuve :
Soit α ⋲ A, β ⋲ A\{0}. Notons αβoB = x1 # yI # zJ # tK L H.
G
B
∃m L tel que Àx P ) À y |
B
B
{on prend m L 2x P ) , 2x # )Ž , cet intervalle contient bien un entier} .
D
Á
Â
B
On choisit m, n, h, l, entiers de même parité tel que Ày P )À , Àz P )À , Àt P )À y )
18
si on prend n L 2y P 1,2y # 1 , on a bien Ày P À y .
)
)
D
B
On a n # 1 ou n P 1 qui appartient aussi à cet intervalle et donc véri®ie l5 inégalité,
ce qui explique que l5 on peut choisir la parité. De même pour l et h.)
On pose q !
GBiD±iÁ²i³
.
)
Comme m, n, h, l sont de même parité, q L A.
G )
)
D )
)
Á )
)
 )
)
On obtient alors N(αβoB P q) ! {x P } # {y P } # {z P } # {t P } y
B
BÃ
B
|
B
|
B
|
# # # ? 1.
Ainsi N(α P qβ) ! N(αβoB P q)N(β) ? Ä(β), et donc on a A qui est euclidien (à gauche).
Remarque 15 : Conséquence de la propriété 14, A est principal (à gauche).
2)somme de quatre carrés
Théorème de Lagrange:
Tout entier naturel est la somme de quatre carrés.
Preuve 1 :
Remarquons tout d’abord que le produit de deux entiers naturels qui s’écrivent comme la
somme de quatre carrés donne un entier naturel qui s’écrit aussi comme la somme de quatre
carrés. En effet, (xB) # x)) # x¸) # x|) )(yB) # y)) # y¸) # y|) ) ! zB) # z)) # z¸) # z|) , où
zB ! xB yB # x) y) # x¸ y¸ # x| y| ,
z) ! xB y) P x) yB P x¸ y| # x| y¸ ,
z¸ ! xB y¸ P x¸ yB # x) y| P x| y) ,
z| ! xB y| P x| yB P x) y¸ # x¸ y) .
Ainsi, comme tout entier naturel admet une décomposition en produit de facteurs premiers,
pour démontrer le théorème il suffit de prouver que tout nombre premier s’écrit comme la
somme de quatre carrés.
Pour 2, c’est le cas : 2 ! 1) # 1) # 0) # 0) .
Montrons-le alors pour tout nombre premier impair.
Soient p un nombre premier impair
et Å ! "h & =E Æhp s 5 écrit comme la somme de quatre carrés'.
Notre but est de montrer que Å est non vide, et possède donc un plus petit élément et que ce
plus petit élément est 1, car alors on a que p s’écrit comme la somme de quatre carrés.
Pour montrer que Å > Ç, posons A ! a) Àa ! 0, 1, … ,
‰oB
,B
)
! "Pb) P 1Æb ! 0, 1, … ,
‰oB
'.
)
19
A et B représentent chacun (p+1)/2 classes distinctes de congruence modulo p.
En effet, a) † a5) p Q (a P a5 )(a + a5 ) † 0p
Q p divise a P a5 ou p divise a + a5 (car p est premier)
8 a ! a5 ou |a P aS| * p.
Si en plus, a et a’ & 0, … ,
(‰oB)
)
, alors a=a’.
Donc a, b & A, a > b 8 a È bp .
De même avec B, car – b) P 1 † Pb5) P 1p Q b) † b5) p , et on est ramené au cas précédent.
Par conséquent, ∃ a, b & {0, 1, …, (p⎯1)/2} tels que a) † Pb) P 1p , car sinon A⋃B représente
‰iB
‰iB
+ )
)
! p + 1 classes distinctes de congruence modulo p, ce qui est absurde car
card {€p} ! p.
Donc ∃ a, b & {0, 1, …, (p⎯1)/2} tels que a) + b) + 1 † 0p .
Donc ∃ n & ℕ* tel que np ! a) + b) + 1 ! a) + b) + 1) + 0) .
Donc n & Å, et Å>∅.
Å est un sous-ensemble de ℕ*, non vide, il possède donc un plus petit élément. Notons-le m.
Alors mp s’écrit : mp ! xB) + x)) + x¸) + x|) , et 1 y m y n.
‰oB )
}
)
D’autre part, p y np ! a) + b) + 1 y 2 {
simplifiant par p.
Donc 1 y m y n ? p.
Montrons par l’absurde que m!1.
‰ )
+ 1 y 2 {) } + 1 !
‰”
)
+ 1 ? p) 8 1 y n ? p, en
m > 1 8 1 ? m ? p.
G G
On choisit yF & ŽP , Ž tel que yF † xF m pour i ! 1, 2, 3, 4.
) )
L’intervalle étant de longueur m, semi-ouvert, il contient m entiers, et donc le choix de yF est
toujours possible. De plus, ce choix est unique.
Alors œ
yB) + y)) + y¸) + y|) † xB) + x)) + x¸) + x|) m U
xB) + x)) + x¸) + x|) ! mp † 0m
8 yB) + y)) + y¸) + y|) † 0m .
Donc ∃ r & ℕ tel que yB) + y)) + y¸) + y|) ! rm.
Si r ! 0, alors ,i & {1, 2, 3, 4}, yF ! 0, et donc xF † 0m
8 m divise xB , x) , x¸ , x|
8 m) divise xB) , x)) , x¸) , x|)
8 m) divise xB) + x)) + x¸) + x|) ! mp
8 m divise p 8 m ! 1 ou p car p est premier.
20
Contradiction avec 1 < m < p. Donc r ≥ 1.
G )
D’autre part, rm ! yB) # y)) # y¸) # y|) y 4 { } ! m) , car yB , y) , y¸ , y| ⋲ ŽP , Ž
)
) )
G )
)
avec égalité si et seulement si yF) ! { } ,i ! 1, 2, 3, 4
Q yF !
Ainsi, r y m et r ! m Q yF !
Si yF !
G
)
8 xF) †
G
)
, i ! 1, 2, 3, 4.
,i ! 1, 2, 3, 4.
,i ! 1, 2, 3, 4, alors xF †
m) )
m , i ! 1, 2, 3, 4
4
G
)
8 mp ! xB) # x)) # x¸) # x|) † 4 9
G
m
)
, i ! 1, 2, 3, 4
m) )
m
4
8 mp † 0m) 8 m) divise mp 8 m divise p
8 m ! 1 ou p car p est premier.
Contradiction avec 1 ? m ? p. Donc r ? m.
On a alors 1 y r ? m.
m) rp ! mrmp ! yB) # y)) # y¸) # y|) xB) # x)) # x¸) # x|) )
! zB) # z)) # z¸) # z|) ,
où zB ! xB yB # x) y) # x¸ y¸ # x| y| ,
z) ! xB y) P x) yB P x¸ y| # x| y¸ ,
z¸ ! xB y¸ P x¸ yB # x) y| P x| y) ,
z| ! xB y¸ P x¸ yB # x) y| P x| y) .
Alors zB ! xB yB # x) y) # x¸ y¸ # x| y| † xB) # x)) # x¸) # x|) m
8 zB † 0m ,
z) ! xB y) P x) yB P x¸ y| # x| y¸ † xB x) P x) xB P x¸ x| # x| x¸ m
8 z) † 0m ,
z¸ ! xB y¸ P x¸ yB # x) y| P x| y) † xB x¸ P x¸ xB # x) x| P x| x) m
8 z¸ † 0m ,
z| ! xB y¸ P x¸ yB # x) y| P x| y) † xB x¸ P x¸ xB # x) x| P x| x) m
8 z| † 0m .
G G
21
Donc m divise zB , z) , z¸ , z| .
Ë
On pose ,i=1, 2, 3, 4, wF ! Gš & =.
Alors m) rp ! zB) # z)) # z¸) # z|) ! m) wB) # m) w)) # m) w¸) # m) w|)
! m) wB) # w)) # w¸) # w|) .
Donc rp ! wB) # w)) # w¸) # w|) .
Ainsi r ⋲ Å. Par minimalité de m, m ≤ r.
Mais on a vu que 1≤r<m. Contradiction.
En conclusion, m=1, et donc p s’écrit comme la somme de quatre carrés.
Preuve 2 :
Il suffit de montrer que quelque soit le nombre premier p, p1 est la norme d’un quaternion
d’Hurwitz.
En effet, si n ⋲ ℕ*, n > 1 pour 1 ! 1) # 0) # 0) # 0) , le théorème est véri®ié, on écrit sa
—
—
décomposition en produit de facteurs premiers :n ! pB “ … pŠ ˜ , avec les pF premiers, les αF L ℕE ,
k ⋲ ℕ*.
,i L "1, … k', pF 1 ! NzF , avec zF L A.
—
—
—
—
La norme étant multiplicative, on a n1 ! pB “ … pŠ ˜ 1 ! NzB —“ … NzŠ —˜ ! N‚zB “ … zŠ ˜ ƒ,
—
—
avec zB “ … zŠ ˜ L A.
Donc 4z 5 L Atel que n1 ! Nz 5 .
Si z 5 : 1 # I # J # K, comme z ⋲ A, on a z 5 !
u“ Biu” ±iu¶ ²iu· ³
, avec xB , x) , x¸ , x|
)
⋲ impairs.
Donc d’après le lemme 1.13, 4z" L 1 # I # J # K, tel que NzS ! Nz".
Donc n1 ! Nz", avec z" L 1 # I # J # K.
Posons z" ! a1 # bI # cJ # dK, a, b, c, d L .
Alors Nz" ! a) # b) # c ) # d) 1.
Donc n ! a) # b) # c ) # d) , avec a, b, c, d L , et ainsi n est la somme de quatre carrés.
Par conséquent, montrons que pour tout p premier, p1 est la norme d’un quaternion d’Hurwitz.
En fait , comme 2.1 ! 1) # 1) 1 ! N1 # I, avec 1 # I L A, il suf®it de le montrer pour tout
nombre premier impair.
Soit p un nombre premier impair. Il y a
‰iB
carrés dans ‰.
)
En effet, a) † b) p Q a # ba P b † 0p
Q a # b † 0p ou a P b † 0p
aO ! bO ou P bO
OOOOOOOOO)
OOO) , 1
OOO) , … , {‰oB} Í, il y en a ‰iB.
Donc les carrés distincts dans €p sont A ! œ0
)
)
Q a † bp ou a † Pbp
OOOOOOOOOOOOOOOO
‰oB )
OOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOO
De même, B ! ÎP1
P a) , a L Ï ! œP1
P 0) , P1
P 1) , … , P1 P { ) } Í, son cardinal est
Comme le cardinal de €p est p, il y a forcément un élément commun à A et B.
) P 1, c. Pà P d. a) # b) # 1 ⋲ p.
OOOOOOOOOOO
Donc il existe a, b ⋲ tels que aOOO) ! Pb
Donc a) # b) # 11 ⋲ p1 ] pA.
a) # b) # 11 ! 1 # aI # bJ1 P aI P bJ
‰iB
.
)
22
8 1 # aI # bJ)1 P aI P bJ) ⋲ pA.
Considérons alors l’idéal à gauche W engendré par p1 et 1 # aI # bJ.
Comme A est principal à gauche, il existe β ⋲ A tel que W=Aβ.
p1 ⋲ W = Aβ 8 il existe α ⋲ A tel que p1 = αβ.
Montrons que α et β ne sont pas inversibles.
Par l’absurde : Supposons que l’un des deux est inversible :
1) supposons que α est inversible, on a β = αoB p1) 8 W = p1).
1 # aI # bJ ⋲ W 8 4q L A tel que 1 # aI # bJ = qp1)
uBiv±i˲iѳ
} p1
)
8 4x, y, z, t L tel que 1 # aI # bJ = {
8
‰u
)
=1
8 px = 2.
Contradiction, puisque p>2.
2) Si β est inversible, on a W = A, donc 1 L W.
W étant engendré par p1 et 1 # aI # bJ, 4q, q5 L Atels que 1 = q1 # aI # bJ) # q5 p1)
8 en multipliant à droite par 1 # aI # bJ) 1 # aI # bJ = q1 # a) # b) )1 # q5 p1)
= q # q5 )p1)
= q"p1), où q" L A
De même que précédemment, ceci implique qu’il existe x ⋲ tel que px = 2. Ce qui est absurde.
On en conclut donc que p) 1 = Np) = Nαβ) = Nα)Nβ), avec Nα), Nβ) > 1, car α, β ne sont
pas inversibles.
Donc Nα) = Nβ) = p1 et p1 est la norme d’un élément de A.
23
IV) Somme de trois carrés
1) Formes quadratiques
Ici, on ne considère que des matrices à coefficients entiers.
Définitions:
1) A chaque matrice A=‚aFH ƒ
BÒF,HÒD
⋲ MD symétrique, on associe la forme quadratique
D < FÓ : Tx , x , … , x Ô ∑D a x x U .
B )
D
F,HŒB FH F H
xB
Si on note x=Õ Ö × , alors FÓ xB , … , xD ! x Ø Ax.
xD
Le discriminant de FÓ est le déterminant de A.
2) Deux formes quadratiques FÓ et FÙ : D < sont équivalentes si les matrices associées
A et B sont équivalentes, c'est-à-dire si 4 U ⋲SLD tel que A ! U Ø BU,
où SLD ! "C ⋲ MD , detC ! 1'.
Remarque3 : Notons qu’alors FÓ et FÙ ont même discriminant. En effet,
)
det(A)=det(U Ø)det(B)det(U)=‚detUƒ det(B)=det(B).
Définition 4 :
On dit que la forme quadratique FÓ : D < représente l’entier N
si 4 xB , x) , … , xD ⋲ tels que FÓ xB , x) , … , xD ! N.
Propriété 5:
xB
Si A, B ⋲ MD symétriques, U ⋲SLD telles que A ! U Ø BU, alors si x=Õ Ö ×,
xD
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
FÓ xB , … , xD ! x Ax ! x U BUx ! Ux BUx ! FÙ ‚Ux ƒ.
Deux formes équivalentes représentent les mêmes entiers :
Définition 6 :
La forme quadratique FÓ : D < est définie positive si
FÓ xB , … , xD Ú 0 ,xB , … , xD ⋲ tels que xB , … , xD > 0, … ,0.
24
Propriété 7 :
Si FÙ est équivalente à FÓ , alors FÙ est aussi dé®inie positive Ÿ
en effet, si B=U Ø AU, avec U ⋲SLD et si xB , … , xD ⋲ D \"0, … ,0',
xB
xB
0
Ö
alors FÙ xB , … , xD ! FÓ ÛÜU Õ ×Ý Þ Ú 0 car FÓ dé®inie positive et U Õ Ö × > Õ Ö ×
xD
xD
0
xB
0
U ⋲SLD ] GLD et Õ Ö × > Õ Ö × .
xD
0
Ø
Définitions :
8) Si A & M) () symétrique, FÓ est une ßàáâã äåæçáæèéäåã êéëæéáã.
9 Si A ⋲ M¸ symétrique, FÓ est une ßàáâã äåæçáæèéäåã èãáëæéáã.
Lemme 10 :
Toute forme quadratique binaire définie positive de discriminant d est équivalente à une forme
) < U
quadratique définie positive FÓ : T
xB , x) Ô aB xB) # 2aB a) xB x) # a) x))
telle que 2|aB) | y aBB y
)
√¸
√d.
Preuve :
) < U forme quadratique définie positive de
Soit FÙ : T
xB , x) ) Ô bB xB) # 2bB b) xB x) # b) x))
b
bB)
§ sa matrice associée.
discriminant d, et soit B=¦ BB
bB) b))
Soit aBB le plus petit entier Ú 0 représenté par FÙ .
Alors 4 rB , r) ⋲ tels que FÙ rB , r) ! aBB .
Soit h ! pgcdrB , r) .
aBB Ú 0 8 FÙ rB , r) Ú 0 8 rB , r) > 0,0 car FÙ dé®inie positive
rB r)
rB r)
8 { , } > 0,0 8 FÙ , Ú 0 car FÙ dé®inie positive .
h h
h h
í
í
Donc par minimalité de aBB , aBB y FÙ { Á“ , Á” }.
í
í
B
Or FÙ { Á“ , Á” } ! Á” FÙ rB , r) !
Donc
[““
Á”
! aBB , et donc h ! 1.
[““
Á”
y aBB .
25
Donc pgcdrB , r) ! 1.
Ainsi, d’après Bezout, 4sB , s) & tels que 1 ! rB s) P r) sB
! rB s) # r) t P r) sB # rB t ,t ⋲ .
rB sB # rB t
Alors U={
} a pour déterminant 1 ,t & .
r) s) # r) t
On pose A=U Ø BU et FÓ la forme quadratique associée à A.
aBB aB)
Alors A={a
} , avec aBB = FÙ rB , r) ,
B) a ))
aB) = a5B) # aBB t, où a5B) = bBB rB sB # bB) rB s) # r) sB # b)) r) s),
a)) = FÙ sB # rB t, s) # r) t.
A=U Ø BU, avec U & SL) 8 FÓ et FÙ sont équivalentes ¦8 FÓ dé®inie positive§.
,t & , sB # rB t, s) # r) t > 0,0 car sinon T
absurde car 1 = rB s) P r) sB.
r) sB # rB r) t = 0U
8 r) sB P rB s) = 0, ce qui est
rB s) # rB r) t = 0
Donc sB # rB t, s) # r) t > 0,0 8 FÙ sB # rB t, s) # r) t Ú 0 car FÙ est dé®inie positive.
Et donc par minimalité de aBB , a)) = FÙ sB # rB t, s) # r) t * aBB .
D’autre part, comme {a5B) # aBB t, t & ' est une classe de congruence modulo aBB , on peut
trouver t & tel que a5B) # aBB t & P
[““ [““
, ) Ž , c 5 est à dire
)
Prenons ce t pour les définitions de A et U.
Alors 2|aB) | y aBB y a)) .
tel que |aB) | = |a5B) # aBB t| y
[““
.
)
De plus, aBB y a)) 8 a)BB y aBB a)) = detî # a)B) = d # a)B) detA=detB car A et B sont
équivalentes
yd#
¸
Donc | a)BB y d 8 aBB y
Donc 2|aB) | y aBB y
)
[”““
.
|
√d.
√¸
)
√d
√¸
.
Théorème 11:
Toute forme quadratique binaire définie positive de discriminant 1 est équivalente à la forme
) < U .
T
xB , x) Ô xB) # x))
26
Preuve :
Soit F forme quadratique binaire définie positive de discriminant 1.
Par le lemme 10, F est équivalente à la forme quadratique
FÓ : T
) < U telle que 2|aB) | y aBB y ) ? 2.
)
)
√¸
xB , x) Ô aB xB # 2aB a) xB x) # a) x)
aBB * 1 car sinon aBB ! 0 et donc aB) ! 0, et ainsi le discriminant de FÓ ! aBB a)) P a)B) ! 0 > 1.
Contradiction.
Donc aBB * 1 et comme aBB ? 2, aBB ! 1. De plus, 2|aB) | y aBB ! 1 8 aB) ! 0.
Le discriminant de F valant 1, on a : 1 ! aBB a)) P a)B) ! a)) .
) < U .
Donc FÓ : T
xB , x) Ô xB) # x))
Lemme 12:
Soient uBB , u)B , u¸B ⋲ tel que pgcduBB , u)B , u¸B ! 1.
Alors 4 six entiers uB) , uB¸ , u)) , u)¸ , u¸) , u¸¸ tels que U ! ‚uFH ƒ
BÒF,HÒ¸
⋲ SL¸ .
Preuve :
Soit a =pgcd(uBB , u)B .
Alors par Bezout, ∃uB) , u)) ⋲ tels que uBB u)) P uB) u)B ! 0.
On a 1=pgcd(uBB , u)B , u¸B ! pgcda, u¸B .
Donc par Bezout , ∃ u¸¸ , b ⋲ ℤ tel que au¸¸ P bu¸B ! 1.
ï
On pose uB¸ ! [““ b ⋲ ℤ car a divise uBB ,
u)¸ !

[
u¸) ! 0.
b ⋲ ℤ car a divise u)B ,
On pose alors U=‚uFH ƒ
BÒF,HÒ¸
uBB
ñ
u
!
)B
det (U)=PuB) {u)B u¸¸ P u¸B {
! {u¸¸ P
ﶓ ¡
} u)) uBB
[
Donc U ⋲ SL¸ .
ð u¸B

} b}
[
uB)
u))
0
{

}b
[
ï
ó
{ [”“ } b .
u¸¸ ò
# u)) uBB u¸¸ P u¸B {
P uB) u)B ! {u¸¸ P
ﶓ ¡
}a
[

} b
[
! u¸¸ a P u¸B b=1.
Lemme 13 :
Toute forme quadratique ternaire définie positive de discriminant d est équivalente à la forme
quadratique œ
¸ < U telle que 2max |aB) |, |aB¸ | y aBB y | ¶√d.
¸
¸
xB , x) , x¸ Ô ∑F,HŒB aFH xF xH
27
Preuve :
Soient F forme quadratique ternaire définie positive de discriminant d et C sa matrice associée.
Soit a le plus petit entier Ú 0 représenté par F.
Alors 4 uBB , u)B , u¸B ⋲ tels que FuBB , u)B , u¸B ! a.
Soit h=pgcduBB , u)B , u¸B .
a Ú 0 8 FuBB , u)B , u¸B Ú 0 8 uBB , u)B , u¸B > 0,0,0 car F est dé®inie positive
uBB u)B u¸B
uBB u)B u¸B
,
,
} > 0,0,0 8 F {
,
,
} Ú 0 car F est dé®inie positive.
8{
h h h
h h h
  ﶓ
, Á , Á }.
Á
ô , ,ﶓ )
[
! Á¶ y a.
Á¶
Donc par minimalité de a, a y F {
  ﶓ
, Á , Á}!
Á
[
Donc Á¶ ! a, et donc h
Or F {
! 1.
Donc pgcduBB , u)B , u¸B ! 1.
⋲ SL¸ .
Ainsi, par le lemme 12, 4 u)B , u)) , u)¸ , u¸B , u¸) , u¸¸ ⋲ tels que U ! ‚uFH ƒ
On pose B ! U Ø CU. Soit FÙ sa forme quadratique associée.
Donc F et FÙ sont équivalentes, et ainsi FÙ est définie positive.
Remarquons, de plus, que si on pose B=‚bFH ƒ
, alors on a :
BÒF,HÒ¸
BÒF,HÒ¸
bBB ! FÙ 1,0,0 ! FuBB , u)B , u¸B ! a.
D’autre part, on a ,xB , x) , x¸ ⋲ Ÿ bBB FÙ xB , x) , x¸ ) ! bBB xB # bB) x) # bB¸ x¸ )) # GÙE x) , x¸ ),
où GÙE est la forme quadratique associée à la matrice B E ! ©
)
bBB b)) P bB)
bBB b)¸ P bB) bB¸
bBB b)¸ P bB) bB¸
ª.
)
bBB b¸¸ P bB¸
GÙE est dé®inie positive Ÿ
En effet, soit x) , x¸ ⋲ ) \"0,0', posons xB ! PbB) x) # bB¸ x¸ .
Alors bBB xB # bBB bB) x) # bBB bB¸ x¸ ! 0,
et donc bBB FÙ xB , bBB x) , bBB x¸ ) ! bBB xB # bB) bBB x) # bB¸ bBB x¸ )) # GÙE bBB x) , bBB x¸ )
)
! bBB
GÙE x) , x¸ ) Ú 0,
car bBB ! a Ú 0 õö FÙ xB , bBB x) , bBB x¸ Ú 0
‚FÙ dé®inie positive et xB , bBB x) , bBB x¸ > 0,0,0ƒ.
Et donc GÙE x) , x¸ Ú 0.
) )b
)
detB E ! bBB b)) P bB)
BB b¸¸ P bB¸ ) P bBB b)¸ P bB) bB¸ )bBB b)¸ P bB) bB¸ )
)
)
! bBB bBB b)) b¸¸ P b)) bB¸
P bB)
b¸¸ P bBB b))¸ # b)¸ bB) bB¸ # bB) bB¸ b)¸ )
! bBB det÷ ! bBB d (d=det(B) car B et C sont équivalentes)
! ad.
GÙE est dé®inie positive de discriminant ad, donc d5 après le lemme 13 GÙE est équivalente à
28
GÓE : œ
) < U , avec aEBB y ) √ad.
xB , x) Ô ∑¸F,HŒB aEFH xF xH
√¸
⋲ SL) telle que AE ! V E )Ø B E V E .
Soit V E ! ‚vFHE ƒ
BÒF,HÒ¸
1 r
E
On définit V ! Õ0 vBB
E
0 v)B
|aB) | et |aB¸ | y
[““
.
)
s
E
vB)
× et A ! V Ø BV ! ‚aFH ƒ
, avec r et s & tels que
BÒF,HÒ¸
E
v))
Le choix de r et s est toujours possible.
E
E
E
E
# bB¸ v)B
et aB¸ ! aBB s # bB) vB)
# bB¸ v))
.
En effet, A=V Ø BV 8 aB) ! aBB r # bB) vBB
E
E
E
E
Or "aBB r # bB) vBB # bB¸ v)B , r ⋲ ' et "aBB s # bB) vB) # bB¸ v)) , s & ' sont des classes de
congruence modulo aBB, donc on peut trouver r, s & tels que
[
E
E |
E
E |
|aBB r # bB) vBB
# bB¸ v)B
et |aBB s # bB) vB)
# bB¸ v))
y )““ .
Donc pour ce choix de r et s, on a |aB) | et |aB¸ | y
[““
,
)
c'est-à-dire 2 max|aB) |, |aB¸ | y aBB .
On a det(V)=det(V E ! 1 8 V ⋲ SL¸ .
Donc FÓ , la forme quadratique associée à A, est équivalente à FÙ , et donc à F.
On a : aBB ! ∑¸ŠŒB ∑¸FŒB vŠ,B bŠ,F vF,B ! ∑¸FŒB bB,F vF,B ! bBB vBB ! bBB car vBB ! 1, v)B ! v¸B ! 0
! a.
yB
xB
Alors , xB , x) , x¸ ⋲ , en posant Õy) × ! V Õx) × , on a Ÿ
y¸
x¸
aBB FÓ xB , x) , x¸ ) ! aFÙ yB , y) , y¸ ) ! bBB FÙ yB , y) , y¸ )
! bBB yB # bB) y) # bB¸ y¸ )) # GÙE y) , y¸ )
)
! ∑¸FŒB bB,F ∑¸HŒB vFH xH # GÓE x) , x¸ )
! ∑¸HŒB∑¸FŒB bB,F vFH xH # GÓE x) , x¸ )
! ∑¸FŒB aB,H xH ) # GÓE x) , x¸ ).
Donc en particulier, en prenant xB , x) , x¸ ) ! 0,1,0, on a Ÿ aBB FÓ 0,1,0 ! a)B) # GÓE 1,0
8 aBB a)) ! a)B) # aEBB 8 aEBB ! aBB a)) P a)B) .
Et puisque aBB ! a y FÓ 0,1,0 ! a)) par minimalité de a (comme F et FÓ sont équivalentes,
elles représentent les mêmes entiers, et donc a est aussi le plus petit entier Ú 0 représenté par
FÓ , on a :
a)BB y aBB a)) ! aBB a)) P a)B) # a)B) ! aEBB # a)B) y
¸
8 | a)BB y
)
ùaBB d
√¸
)
¸
¶
)
[”““
#
√ad
|
√¸
)
¸
!
)
[”““
d
#
ùa
BB
|
√¸
|¶
8 a)BB { ¸} ùaBB d 8 aBB ” y { ¸} √d 8 aBB y ¸ √d.
√
√
29
En résumé, F est équivalente à FÓ : œ
¸ < U,
xB , x) , x¸ Ô ∑¸F,HŒB aFH xF xH
où 2max |aB) |, |aB¸ | y aBB y √d.
¸
|¶
Théorème 14:
Toute forme quadratique ternaire définie positive de discriminant 1 est équivalente à la forme
œ
¸ < .U
xB , x) , x¸ Ô xB) # x)) # x¸)
Preuve :
Soit F une forme quadratique ternaire définie positive de discriminant 1.
¸ < U , telle que
Par le lemme 13, F est équivalente à FÓ : œ
xB , x) , x¸ Ô ∑¸F,HŒB aFH xF xH
2 max|aB) |, |aB¸ | y aBB y .
¸
0 y max|aB) |, |aB¸ | y
|
2
? 1 8 aB) ! aB¸ ! 0.
3
Comme det(A) =1> 0, alors aBB > 0 et donc aBB ! 1.
0
1 0
Donc la matrice associée à FÓ est A ! Õ0 a)) a)¸ ×.
0 a)¸ a¸¸
a
a
))
)¸
On pose AE ! {a
}.
)¸ a ¸¸
Alors det(AE ! detA ! 1.
u)) u)¸
Donc par le théorème 11, 4 U E ! {u
} & SL) telle que U E Ø AE UE ! I) .
)¸ u¸¸
0
1 0
Soit U!Õ0 u)) u)¸ ×. Alors U& SL¸ et U Ø AU ! I¸ .
0 u)¸ u¸¸
¸ < Donc FÓ est équivalente à G: œ
.U
xB , x) , x¸ Ô xB) # x)) # x¸)
F étant équivalente à FÓ , on a donc que F est équivalente à G.
30
2) Résidus quadratiques
Définition 1:
Soient a& et p un nombre premier impair.
On dit que a est un résidu quadratique modulo p si p ne divise pas a et si x ) † ap possède une
solution.
On dit que a est un nonnon-résidu quadratique modulo p si x ) † ap ne possède pas de solution.
Notation 2 : Symbole de Legendre .
1 si a est un résidu quadratique mod p
[
U
0 si p divise a
Si a⋲ℤ et p premier impair, {‰} = ú
P1 si a est un non P résidu quadratique mod p.
Théorème 3 :
Soient a, b ⋲ℤ et p un nombre premier impair. Alors :
1 a † bp 8 { } ! { }.
‰
‰
[
¡
[
2) (Critère d’Euler) Si p ne divise pas a, {‰} † a
[¡
[
¡
3) { ‰ } = {‰} {‰}.
Preuve :
‘’“
”
p .
[
¡
1 Comme a † bp , p divise a si et seulement si p divise b. Donc {‰} = 0 Q {‰} ! 0.
[
D’autre part, {‰} = 1 Q p ne divise pas a et 4c & tel que c ) † ap
Q p ne divise pas b et 4c & tel que c ) † bp (puisque a † bp )
Q {‰} ! 1.
¡
¡
Donc {‰} ! 1 Q {‰} ! 1.
[
[
¡
Ainsi, dans tous les cas, {‰} = {‰}.
9
9
ℤ
ℤ
U morphisme de groupes.
2) Soit f: ú{ €pℤ} < { €pℤ} un
)
bsb
 OOOO
Ker f ={1,
P1 } (car si x& \p, alors Ÿ xO ) ! 1O Q x ) P 1 † 0p Q (x + 1)(x P 1) † 0p
Q x † 1p ou x † P1p car p est premier
Q x ! 1O ou P 1O).
31
9
9
{€p}
z{€‰} z
‰oB
û
Comme
ker f ü Im f, on a alors |Im f|= |Šµí ¯| = ) .
9
D’autre part, on considère g(x)⋲ {€p} x tel que g(x) = x
Soit G={racines de g(x)}.
‘’“
”
Alors Im f ]G car si x⋲ \p, (x ) )
‘’“
”
(pgcd(x,p)=1) et donc (xO ) )
Or comme g(x) est un polynôme de degré
Donc si p ne divise pas a, a
‘’“
”
‰oB
,
)
P 1O.
= x ‰oB † 1p par le petit théorème de Fermat
P 1O = 0 et xO ) ⋲ G.
Et puisque Im f ]G avec |Im f |=
‘’“
”
‰oB
, card(G)
)
y
‰oB
.
)
on en déduit que Im f=G.
† 1p Q 4 x ⋲ \p tel que a † x ) p
Q 4 x ⋲ tel que a † x ) p .
[
Donc si p ne divise pas a, {‰} = 1 si et seulement si a
‘’“
”
‘’“
”
‘’“
”
† 1p .
† 1 ou P 1p car (a )) = a‰oB † 1p (par le petit théorème de Fermat)
‘’“
OOOOO
 P1
OOOO } .
et donc si p ne divise pas a, a ” ⋲ ker f = {1,
Or a
[
Ainsi, {‰} † a
‘’“
”
p .
[
¡
[
¡
3) Si p divise a ou b, alors {‰} = 0 ou {‰} = 0, et donc {‰} {‰} = 0.
[¡
‰
De plus, p divise a ou b8 p divise ab 8 { } = 0.
[¡
[
¡
Donc { ‰ } = {‰} {‰}.
Supposons à présent que p ne divise ni a ni b. Alors, comme p est premier, p ne divise pas
‘’“
”
[¡
ab. Ainsi, par 2), { ‰ } † (ab)
[
¡
Par conséquent, {‰} {‰} † a
[
¡
[¡
‘’“
”
[
p , { } † a
‰
b
‘’“
”
‘’“
”
¡
p et { } † b
‰
[
¡
‘’“
”
p .
‘’“
”
p , c 5 està dire { } { } † (ab)
‰
‰
[
¡
[¡
p .
[
¡
[¡
Donc {‰} {‰} † { ‰ }p . Mais comme {‰} , {‰} , { ‰ } ⋲ {P1, 1}, on a {‰} {‰} = { ‰ }.
[¡
[
¡
Donc, dans tous les cas, { ‰ } = {‰} {‰} .
Définition 4 :
Soient a ⋲, m⋲ℕ*.
G G
Le plus petit résidu de a modulo m est l’unique entier n de l’intervalle P ) ; ) tel que a † nm .
Lemme de Gauss :
Soient a ⋲, p premier impair tels que pgcd(a,p)=1.
Soit µ le nombre d’entiers de l’ensemble Q={a, 2a, … ,
[
négatif. Alors {‰} = (P1)µ .
‰oB
a},
)
dont le plus petit résidu mod p est
32
Preuve :
Soient rB , r) , … les plus petits résidus mod p des éléments de Q qui sont positifs, et soient
PsB , P s) , … les plus petits résidus mod p des éléments de Q qui sont négatifs.
Soit R={ rB , r) , … , PsB , P s) , … '. Il n’existe pas deux éléments de R qui soient égaux :
si ∃i, j tels que rF = rH , alors ∃mF , mH ⋲{1,…,
‰oB
'
)
distincts tels que amF † amH p
8 a‚mF P mH ƒ † 0p 8 mF P mH † 0p car pgqda, p = 1 8 mF = mH
car mF , mH ⋲{1,…,
‰oB
', contradiction.
)
De même si ∃i, j tels que sF = sH .
Si ∃i, j tels que rF = sH , alors ∃mF , mH ⋲{1,…,
‰oB
' distincts
)
tels que amF † PamH p
8 a‚mF # mH ƒ † 0p 8 mF # mH † 0p car pgcda, p = 1, ce qui est impossible car
mF , mH ⋲{1,…,
‰oB
'
)
8 2 y mF # mH y p P 1.
Donc les éléments de R sont tous distincts. Or ils appartiennent à {1,…,
‰oB
de ) Q a même cardinal que
‰oB
Donc Q = {1,…,
'.
)
R.
‰oB
',
)
et sont au nombre
Ainsi, comme les éléments de R sont soit congru à un élément de Q modulo p, soit congru à
l’opposé d’un élément de Q modulo p , on a : 1 9 … 9
Donc a
‘’“
”
‘’“
”
‰oB
}!
)
9{
† P1µ {
‰oB
} ! p
)
† P1µ p car pgcdp, {
‰oB
} !=1.
)
‘’“
[
Et comme d’après le critère d’Euler, {‰} † a ” p
[
[
{‰} † P1µ p , c'est-à-dire {‰} = P1µ p car
8a
Théorème 5 :
Soit p premier impair. Alors :
oB
‰
‘’“
”
1{ } = P1
)
‘” ’“
2 {‰} = P1
si p † 3 ou 58 .
‰oB
9
)
P1µ † a 9 2a 9 … 9
‰oB
ap
)
.
, on a :
{‰} , P1µ ⋲ {1, P1'.
[
oB
‰
oB
‰
ou de manière équivalente : { } = 1 si p † 14 et { } = P1 si p † 34 .
)
)
ou de manière équivalente : {‰} = 1 si p † 1 ou 78 et {‰} = P1
Preuve :
‘’“
”
oB
1 Par le critère d’Euler, { ‰ } † P1
oB
‘’“
”
p , c'est-à-dire { } = P1
‰
.
2 Par le lemme de Gauss, {‰} = P1µ , où µ est le nombre d’éléments de R={2,4,…,pP1' dont le
)
plus petit résidu mod p est négatif.
Or tout entier ⋲ 1,
‰iB
entier ⋲ ) , p P
‰oB
)
a un plus petit résidu mod p positif car c’est lui-même, et tout
1 a un plus petit résidu mod p négatif :
‰iB
,p
)
en effet, si n est un entier ⋲ P 1 , alors ∃ a ⋲ {1, … , p P 2' tel que n=
‰i[
.
)
33
On a n † n P pp , c'est-à-dire n †
Donc
[o‰
est le
)
‰
[o‰
p
)
, et P ) ?
[o‰
)
? 0 (car a & "1, … , p P 2'.
plus petit résidu mod p de n, et il est négatif.
Par conséquent, les éléments de R dont le plus petit résidu mod p est négatif sont les entiers
pairs de l’intervalle 
‰iB
,p
)
P 1Ž.
Si p † 18 , 4 k & tel que p ! 8k # 1, et alors 
pairs de cet intervalle est
Šo|Š
)
! 2k.
Si p † 38 , 4 k & tel que p ! 8k # 3, et alors 
d’entiers pairs de cet intervalle est 2k # 1.
‰iB
,p
)
P 1Ž ! 4k # 1,8k et le nombre d’entiers
‰iB
,p
)
P 1Ž ! 4k # 2,8k # 2 et le nombre
‰iB
, p P 1Ž
)
Ši|o(|Ši¸iB
! 2k # 1.
d’entiers pairs de cet intervalle est
)
‰iB
Si p † 78 , 4 k & tel que p ! 8k # 7, et alors  ) , p P 1Ž
Si p † 58 , 4 k & tel que p ! 8k # 5, et alors 
! 4k # 3,8k # 4 et le nombre
! 4k # 4,8k # 6 et le nombre
d’entiers pairs de cet intervalle est 2k # 2.
Ainsi, si p † 1 ou 78 , µ est pair et donc {‰} ! 1 ; si p † 3 ou 58 , µ est impair et donc
)
)
{‰} ! P1.
Théorème (Loi de réciprocité quadratique :
Soient p et q deux nombres premiers impairs distincts.
‰
(‘’“(’“
·
Alors {} {‰} ! (P1
p † q † 34 .
‰
(ou de manière équivalente : {} > {‰} si et seulement si
Preuve :
Soit µB le nombre d’éléments de RB ! q, 2q, … ,
Soit µ) le nombre d’éléments de R ) ! p, 2p, … ,
‰oB
q
)
dont le plus petit résidu mod p est négatif.
oB
p dont le
)
plus petit résidu mod q est négatif.
Par le lemme de Gauss, on a : {} ! (P1µ” , {‰} ! (P1µ“ .
‰
Comme {} , {} ! 1 ou P 1, on a {} ! {‰} Q {} {‰} ! 1 Q (P1µ“ iµ” ! 1.
‰
‰
‰
‰
Montrons alors que µB # µ) est impair si et seulement si p † q † 34 .
Pour cela, nous allons utiliser un argument géométrique. Il s’agit de compter de deux manières
différentes le nombre de points (de ­) dont les coordonnées sont des entiers, qui se trouvent à
l’intérieur d’un certain hexagone. La première manière montrera qu’il y en a un nombre impair
si et seulement si p † q † 34 et la seconde qu’il y en a µB # µ) . On obtiendra alors que µB # µ)
est impair si et seulement si p † q † 34 et le théorème sera prouvé.
On considère l’hexagone ABCDEF, comme montré ci-dessous :
34
y!
J
q
2
E
p q
DŸ( , )
2 2
C
p#1 q#1
PŸ(
,
)
4
4
(m,n)
x!
p
2
p#1
q#1
(
P m,
P n)
2
2
0,1
FŸ( )
2
1
B Ÿ ( , 0)
2
A Ÿ (0,0)
G
Notons H l’intérieur de cet hexagone.
La droite (EF) a pour équation y = x # ).
B
‰
B
La droite (BC) a pour équation x ! y # ).
La diagonale du rectangle AGDJ, (AD) a pour équation y = ‰ x.
0?x?)
0?y?
)
‰
Ainsi, le point (x,y) appartient à H si et seulement si il vérifie
Soit (m,n) un point de H tel que m,n⋲ℕ.
‰iB
P
)
Alors {
m,
iB
P
)
m,
iB
)
qui est le cas (m ?
‰iB
)
n}appartient aussi à H (et
‰iB
P
)
U
B.
y ? ‰x #)
y Ú ‰ x P )‰
P n ⋲ ℕ).
En effet :
a) 0 ?
‰iB
)
‰
B
Pm ? ) Q) ? m ?
car m⋲ℕ*).
‰iB
, ce
)
b) De même que pour a), on a 0 ?
c)
iB
P
)
‰iB
P
)
n ? ‰{
appartient à H.
B
iB
P
)
n ? ).
m} # ) Q ) P n ? ) # )‰ P
G
G
Q ‰ P )‰
‰
B
car (m, n) ⋲ H et m Ú )
? , ce qui est le cas car (m,n)
35
D’autre part, pour m, n, m’, n’⋲ℕ :
{(m,n), {
‰iB
P
)
m,
iB
)
P n}' (m5 , n5 ), {
‰iB
P
)
m5 ,
iB
)
P n5 } ! Ç ou {(m, n), {
‰iB
P
)
m,
iB
)
P n}'.
Donc l’ensemble A des points de H dont les coordonnées sont des entiers peut s’écrire comme
‰iB
P
)
une réunion disjointe d’ensembles {(m, n), {
‰iB
)
Donc si (m,n)> {
‰iB
(*) (m,n)! {
)
P m,
iB
P
)
iB
P m, ) P
m,
iB
)
P n}'.
n} ,(m, n) ⋲ A, alors le cardinal de A est pair.
m!
| U
n} Q iB .
n!
‰iB
|
Dans ce cas, (m,n) ⋲ A Q 4 divise p # 1 et 4 divise q # 1 Q p † q † 34 .
Un seul point vérifie (*) et ce point appartient à A si et seulement si p † q † 34 .
Donc A possède un nombre impair d’éléments si et seulement si p † q † 34 .
A présent, nous allons montrer que µB # µ) est le nombre de points de H dont les coordonnées
sont des entiers.
Tout d’abord, remarquons qu’il n’y a pas de tels points sur la diagonale y = ‰ x, car si y = ‰ x
‰
avec x, y ⋲ℕ, alors p divise qx, donc p divise x (car p, q premiers) mais x? ), contradiction.
D’autre part, si (m,n) est un point de H, en-dessous de la diagonale (AD) tel que m, n⋲ℕ, alors :
G
G
P )‰ ? ? ‰ , c 5 est à dire P ‰ ? np P qm ? 0.
‰
Ainsi np a son plus petit résidu mod q négatif (npPqm).
Inversement, si np a son plus petit résidu mod q négatif, on peut trouver m tel que
P ? np P qm ? 0, et alors (m,n) appartient à H et est en-dessous de la diagonale.
)
Ainsi, comme µ) est le nombre d’éléments de R ) = p, 2p, … ,
oB
p
)
avec un plus petit résidu
mod q négatif, il y a µ) points de H à coordonnées entières sous la diagonale (AD).
De la même façon, on montre qu’il y a µB points de H à coordonnées entières au-dessus de la
diagonale (AD) .
Par conséquent, il y a µB #µ) points de H à coordonnées entières.
En conclusion, µB #µ) est impair si et seulement si p † q † 34 et ceci achève la preuve.
36
3) Somme de trois carrés
Théorème de Dirichlet :
Si a et b entiers naturels premiers entre eux, alors il existe une infinité de nombres premiers de
la forme a+nb n & =.
Lemme 1 :
Soit n* 2. Si ∃ d ⋲ ℕE tel que P d est un résidu quadratique modulo dn P 1, alors n est la somme
de trois carré
Preuve :
Si Pd est un résidu quadratique modulo dn P 1, alors ∃ aB) ⋲ tel que P d † a)B) dn P 1 .
Donc ∃ aBB ⋲ tel que d # a)B) ! aBB dn P 1 ! aBB a)) , en posant a)) ! dn P 1 * 1.
aBB aB)
On pose A!©aB) a))
1 0
1
0ª.
n
Soit FÓ sa forme quadratique associée.
Soit xB , x) , x¸ ⋲ .
Alors FÓ xB , x) , x¸ ! aBB xB) # 2aB) xB x) # 2xB x¸ # a)) x)) # nx¸)
! n {x¸ #
! n {x¸ #
! n {x¸ #
! n {x¸ #
u“ )
}
D
u“ )
}
D
u“ )
}
D
u“ )
}
D
P
u”“
D
# aBB xB) # 2aB) xB x) # a)) x))
B
# {aBB P D} xB) # 2 aB) xB x) # a)) x))
[
)
[”
B
# a)) {x) # [“” xB } P [“” xB) # {aBB P D} xB)
[
””
)
””
[”
B
# a)) {x) # [“” xB } # {aBB P [“” P D} xB) .
””
””
B
[”
[”
B
Or nÚ 0, a)) Ú 0, et a)) ! dn P 1 ? dn ! aBB a)) P a)B) n 8 D ? aBB P [“” 8 aBB P [“” P D Ú 0.
Donc FÓ xB , x) , x¸ * 0.
x¸ #
u“
D
!0
De plus, FÓ xB , x) , x¸ ! 0 Q x) # [“” xB ! 0U Q xB ! x) ! x¸ ! 0.
[
””
xB ! 0
””
””
37
Donc FÓ est définie positive.
De plus, det A = Pa)) # naBB a)) P a)B) =Pa)) # dn ! Pdn P 1) # dn ! 1.
Donc d’après le théorème 1.14, FÓ est équivalente à la forme quadratique
G: œ
¸ < .U
xB , x) , x¸ Ô xB) # x)) # x¸)
Et comme n= FÓ 0,0,1), FÓ représente n, et donc G représente aussi n.
Donc 4xB , x) , x¸ ⋲ tels que n ! xB) # x)) # x¸) .
Donc n est la somme de trois carrés.
Lemme 2 :
Si n est un entier positif tel que n † 24 , alors n est la somme de trois carrés.
Preuve :
n † 24 8 n ! 4k # 2, avec k ⋲ . Soient u=4k+1 et v=-k.
Alors n P 1)u # 4nv ! n P 1) P 4
DDo)
|
! n P 1) P n) # 2n ! 1.
D’après Bezout, on obtient que pgcd(n⎯1,4n)=1.
D’après le théorème de Dirichlet, l’ensemble Å={4nj+n⎯1, j=1, 2,…} contient une infinité de
nombres premiers.
Soit j* 1 tel que p ! 4nj # n P 1 ! n4j # 1 P 1 est premier.
Posons d=4j+1. Si on prouve que ⎯d est un résidu quadratique modulo dn⎯1=p, alors n est la
somme de trois carrés par le lemme 1.
Montrons alors que { ‰ } ! 1.
o Notons d = ∏šÆ qF š , avec les qF premiers distincts et k F entiers positifs ( la décomposition en
Š
produit de facteurs premiers de d). On remarque que tous les qF sont impairs car d l’est.
On a p † 14 car d=4j+1† 14 et n† 24 8 dn † 24 8 p = dn P 1 † 14 .
o oB
Ainsi { ‰ } ! { ‰ } {‰} (théorème 2.3 3))
={‰} car p † 14 (théorème 2.5 3))
š Šš
=∏šÆ { ‰ } (théorème 2.3 3))
‰ Šš
=∏šÆ {š } , par réciprocité quadratique
oB Šš
=∏šÆ { š }
(car p † P1qF ,i ; en effet, qF divise d 8 qF divise dn 8 dn † 0qF 8 p ! dn P 1 † P1qF )
38
=∏
T
=∏
š Æ U
š †¸|
oB Šš
{ }
š
∏
Šš
š
P1)Šš (théorème 2.5 3)) .
Æ U
T š
š †¸|
Or d = ∏šÆ qF
Æ U
T š
š †B|
oB Šš
{ } (car les qF sont tous impairs)
=∏
T
š Æ U
š †¸|
qF
Šš
∏
T
š Æ U
š †B|
qF
Šš
†∏
†∏
Æ U
T š
š †¸|
T
Et comme d=4j+1† 14 , on a ∏
Mais ∏
T
T
š Æ U
š †¸|
P1)Šš ! 1 ou P 1 8 ∏
š Æ U
š †¸|
Par conséquent, { ‰ }= ∏
o T
T
P1)Šš † 14 .
qF
Šš
4
P1)Šš 4 .
š Æ U
š †¸|
P1Šš ! 1.
š Æ U
š †¸|
P1)Šš =1 .
š Æ U
š †¸|
Donc –d est un résidu quadratique modulo p=dn⎯1 , et alors n est la somme de trois carrés par le
lemme 1.
Lemme 3 :
Si n est un entier positif tel que n† 1, 3 ou 5 8 , alors n est la somme de trois carrés.
Preuve :
Clairement, 1 est la somme de trois carrés : 1=1) # 0) # 0) .
3 si n † 18
Soient n* 2 et c = 1 si n † 38 U.
3 si n † 58
Si n † 1 ou 38 , alors
DoB
pgcd(4,
)
! 1.
DoB
)
† 14 . Donc 4k⋲ tel que
DoB
)
! 4k # 1 et d’après Bezout, on a
D5 autre part, cn⎯2
DoB
DoB
! 1, et toujours d5 après Bezout, pgcdn, ) ! 1.
)
DoB
Donc pgcd4n, ) ! 1
DoB
DoB
Si n † 58 , alors ) † P14 . Donc 4k⋲ tel que ) ! 4k P 1 et d’après
DoB
pgcd(4, ) ! 1.
Bezout, on a
39
Et de même que précedemment, on a pgcdn,
Donc pgcd4n,
!1
DoB
)
Ainsi, dans tous les cas, pgcd(4n,
DoB
)
! 1.
DoB
)=1.
)
DoB
,
)
Donc d’après le théorème de Dirichlet, il existe un nombre premier p de la forme p=4nj+
pour un j entier* 1. Remarquons que p> 2 et donc impair car
DoB
)
est impair.
Soit d=8j+c. Notons que d est impair car c est impair et 8j est pair.
Alors 2p=8nj+cn⎯1=n(8j+c)⎯1=dn⎯1. Par le lemme 1, il suffit de montrer que ⎯d est un résidu
quadratique modulo 2p. Nous allons voir qu’en réalité, il suffit de montrer que ⎯d est un résidu
quadratique modulo p.
Si ⎯d est un résidu quadratique modulo p, alors ∃ xg ⋲ ℕ tel que xg) † Pdp .
D’autre part, xg # p) ! xg) # 2pxg # p) † xg) p .
8 xg # p) † Pdp .
Posons x=xg si xg est impair, et x=xg # p si xg est pair. Alors x est impair, et x ) # d est pair
comme somme de deux nombres impairs.
D’où x ) # d † 02 et comme xg) † xg # p) † Pdp ,on a x ) # d † 0p .
Et puisque pgcd(2,p)=1, on a x ) # d † 02p .
Ainsi ⎯d est un résidu quadratique modulo p 8 ⎯d est un résidu quadratique modulo 2p.
Donc il suffit de montrer que ⎯d est un résidu quadratique modulo p.
Notons d ! ∏šÆ qF š , avec les qF premiers distincts et k F entiers positifs ( la décomposition en
Š
produit de facteurs premiers de d). On remarque que tous les qF sont impairs car d l’est.
Si n † 1 ou 38 , alors
o oB
DoB
)
† 14 et donc p ! 4nj #
Ainsi { ‰ } ! { ‰ } {‰} (théorème 2.3 3))
DoB
)
† 14 .
={‰} car p † 14 (théorème 2.5 3))
š Šš
=∏šÆ { ‰ } (théorème 2.3 3))
‰ Šš
=∏šÆ {š } , par réciprocité quadratique .
Si n † 58 , alors
DoB
)
o oB
† P14 et donc p ! 4nj #
Ainsi, { ‰ } ! { ‰ } {‰} (théorème 2.3 3))
=P {‰} car p † 34 (théorème 2.5 3))
š Šš
=P ∏šÆ { ‰ } (théorème 2.3 3))
DoB
)
† 34 .
40
=P ∏
T
š Æ U
š †¸|
=P ∏
T
Šš
{ š}
‰
š Æ U
š †¸|
‰ Šš
{ }
š
∏
Æ U
T š
š †B|
∏
T
Šš
{ ‰š} (car les qF sont tous impairs)
š Æ U
š †B|
‰ Šš
{ } ∏
š
(par réciprocité quadratique, car p † 34 ).
Or d = ∏šÆ qF
Šš
=∏
Æ U
T š
š †¸|
qF
∏
Šš
Æ U
T š
š †B|
T
š Æ U
š †¸|
P1)Šš ! 1 ou P 1 8 ∏
Æ U
T š
š †¸|
o Par conséquent, { ‰ }=∏
T
š Æ U
š †¸|
Šš
š Æ U
š †¸|
†∏
†∏
Æ U
T š
š †¸|
qF
Šš
4
P1)Šš 4 .
Æ U
T š
š †¸|
Et comme d=8j+c† P14 , on a ∏
Mais ∏
qF
T
P1)Šš
‰ Šš
{ }
š
P1)Šš † P14 .
P1Šš ! P1.
Æ U
T š
š †¸|
∏
T
š Æ U
š †B|
‰ Šš
{ }
š
‰ Šš
=∏šÆ {š} .
‰ Šš
Ainsi, dans les deux cas, { ‰ } ! ∏šÆ {š }
o ) Šš
)‰ Šš
! ∏šÆ {š} ∏šÆ { š }
)
Šš
) Šš
!¦{ } § { ‰ }
š
š
) Šš )‰ Šš
(car {š } { š }
théorème 2.3 3 ! { }
‰ Šš
š
) Šš
oB Šš
! ∏šÆ {š} ∏šÆ { š }
(car 2p ! dn P 1 † P1d , et donc comme chaque qF divise d, on a 2p † P1qF ,
)‰ Šš
oB Šš
d5 où { } ! { }
š
š
théorème 2.3 1)) 41
!∏
!∏
!∏
) Šš
{ }
š Æ U
T
š †¸,
š
∏
T
T
š Æ U
š †B,
P1)Šš ∏
š Æ U
T
š †¸,
) Šš
{ } ∏
T
P1)Šš .
š
∑
d ! ∏šÆ qF
On a
T
Šš
!∏
T
† ∏
† ∏
3
Æ U
T š
š †¸
š Æ U
T
š †¸,
Or ∏
š Æ U
T
š †¸,
∏
et
T
Donc
et ∏
Šš
3 !3
∑
œ
Šš
3
š Æ U
š †B
∏
∏
š Æ U Šš
š †¶,
∑
P1 ! P1
∏
š Æ U
T
š †¸,
š Æ U
T
š †¸,
3
Šš
3
∏
Šš
Æ U
T š
š †¸
Šš
œ
∏
Šš
P1
š Æ U
T
š †,
Šš
š Æ U
š †,
∏
P3
Æ U
T š
š †
Šš
Šš
T
∏
T
Šš
š Æ U k F
T
š †¸,
qF
Šš
† 12
† 02
T
š Æ U k F
š †,
† 12 .
š
∏
T
š Æ U
š †
š Æ U k F
š †,
qF
† 02 .
Šš
T
š Æ U k F
š †¸,
š Æ U k F
T
š †¸,
∑
† 02
š Æ U k F
T
š †¸,
! P1 si ∑
∑
U ,
† 12
U .
† 12 et ∑
T
š Æ U k F
š †¸,
š Æ U k F
T
š †¸,
† 02 et ∑
Si n † 1 ou 58 , alors c=3 et donc d=8j+c=8j+ 3 † 38 . Donc ∑
∑
š Æ U
š †B,
[8]
š Æ U k F
T
š †¸,
! 1 si ∑
P1Šš † 18 Q
T
š Æ U
š †
š Æ U k F
š †¸,
š Æ U
T
š †,
š Æ U
T
š †,
Šš
P1
P1Šš † 38 Q
∏
T
[8] .
† 18 si ∑
š Æ Šš
U
š †,
qF
Æ U
T š
š †
† 38 si ∑
P1Šš ! 1 Q ∑
š Æ U
T
š †,
† 02 .
qF
š
oB Šš
{ }
š Æ U
š †¸,
š Æ U
š †,
š Æ U k F
š †,
š Æ U
š †¸,
∏
P1)Šš (théorème 2.5)
Ainsi, ⎯d est un résidu quadratique modulo pQ ∏
Montrons alors que
T
oB Šš
{ }
T
š Æ U k F
š †¸,
† 12 ,
† 02 .
† 12 et
42
Si n † 38 , alors c=1 et donc d=8j+c=8j+ 1 † 18 . Donc ∑
∑
T
š Æ U k F
š †,
T
† 02 .
Donc dans les deux cas, ∑
T
š Æ U k F
š †,
modulo p et ceci achève la preuve.
š Æ U k F
š †¸,
† 02 et
† 02 . Par conséquent, ⎯d est un résidu quadratique
Théorème 4 :
Un entier naturel N peut s’écrire comme la somme de trois carrés si et seulement si il n’est pas
de la forme N ! 4[ 8k # 7.
Preuve :
Remarquons tout d’abord que tout entier naturel b s’écrit de manière unique sous la forme
b ! 4[ m avec a, m⋲ℕ, m† 24 ou m† 1,3,5 ,78 .
En effet, il suffit de prendre le plus grand a ⋲ℕ tel que 4[ divise b. Alors si on pose b ! 4[ m, 4 ne
divise pas m. Donc m† 1,3,5 ,6,78 , c 5 està dire m † 24 ou m † 1,3,5 ,78 .
Et réciproquement, si b ! 4[ m avec a, m⋲ℕ, m† 24 ou m† 1,3,5 ,78 , alors 4 ne divise pas m
et donc a est le plus n ⋲ℕ tel que 4D divise b, d’où l’unicité.
D’autre part, montrons que 4[ m est la somme de trois carrés si et seulement si m est la somme
de trois carrés, avec m, a⋲ℕ.
En effet, si m est la somme de trois carrés alors il existe xB , x) , x¸ ⋲ ℕ tels que m ! xB) # x)) # x¸)
8 4m ! 2) m ! 2xB ) # 2x) ) # 2x¸ ) .
Et donc 4m est la somme de trois carrés.
Réciproquement, si 4m est la somme de trois carrés alors il existe yB , y) , y¸ ⋲ ℕ tels que
4m ! yB) # y)) # y¸) .
On a : y † 0 ou 12 8 y ) † 0 ou 14 , , y entier naturel.
Donc yB) , y)) , y¸)
† 0 ou 14 .
Ainsi yB)
#
y))
#
y¸)
yB) † 04
† 04 Q y)) † 04 U.
y¸) † 04
Or 4m ! yB) # y)) # y¸) 8 yB) # y)) # y¸) † 04 .
yB) † 04
Donc y)) † 04 U.
y¸) † 04
yB † 02
D’où y) † 02 .U
y¸ † 02
v
)
v
)
v
)
Donc on a m ! { )“ } # { )” } # { )¶ } , où yB , y) , y¸ ⋲ ℕ. Par conséquent m est la somme de trois
43
carrés.
Ainsi, ,a ⋲ =, ,m ⋲ = 4[ m est la somme de trois carrés Q 4[oB m est la somme de trois carrés
Q 4[o) m est la somme de trois carrés
Q…
Q 4m est la somme de trois carrés
Q m est la somme de trois carrés .
Ceci étant établi, pour montrer le théorème, il suffit de voir que ,m È 04 , m est la somme de
trois carrés si et seulement si m È 78 . (#)
Car alors, si on prend N ⋲ = et qu’on l’écrit sous la forme N=4[ m avec a, m ⋲ =, m †
24 ou m † 1, 3, 5 ou 78 , on a :
N est la somme de trois carrés Qm est la somme de trois carrés, avec m, a⋲=
Q m È 78
ce qui termine la preuve.
Q N n’est pas de la forme 4[ 8k # 7 (a, k ⋲=,
Montrons donc (#).
Soit m È 04 . Si m È 78 , alors m † 24 ou m † 1, 3 ou 58 , et alors d’après les lemmes 2 et 3,
m est la somme de trois carrés.
Réciproquement, si m est la somme de trois carrés, 4xB , x) , x¸ ⋲ ℕ tels que m ! xB) # x)) # x¸) .
Comme ,x ⋲ , x †0, º1, º2, º3 ou 48 8 x ) † 0, 1 ou 48 , il est alors impossible que
m ! xB) # x)) # x¸) soit congru à 78 .
Ainsi, (#) est démontrée.
Théorème 5 :
Si N est un entier naturel tel que N † 38 , alors N est la somme de trois nombres impairs au
carré.
Preuve :
On sait d’après la preuve précédente que N s’écrit de manière unique N ! 4[ m, avec m† 24
ou m† 1, 3, 5 ou 78 . Comme N † 38 , on a m=N et a=0. Par unicité de l’écriture, N n’est pas de
¢
la forme 4[ (8k # 7). Donc d’après le théorème 4, N est la somme de trois carrés.
Ainsi, il existe xB , x) , x¸ ⋲ ℕ tels que N ! xB) # x)) # x¸) . Il nous reste à montrer que xB , x) , x¸ sont
des nombres impairs.
44
On sait que x †0, º1, º2, º3 ou 48 8 x ) † 0, 1 ou 48 où x entier naturel.
On voit bien d’après la figure ci-dessous que la seule possibilité pour que N soit congru à 3[8] est
que xB) , x)) , x¸) † 18 .
Donc on a xB) , x)) , x¸) † 12 , d’où xB , x) , x¸ † 12 .
45
Première étape xB)
0
1
4
Deuxième étape x))
0
ú1U
4
0
ú1U
4
0
ú1U
4
Troisième étape x¸)
0
ú1U
4
0
ú1U
4
Quatrième étape N
0
1
4
1
2
5
0
ú1U
4
4
5
0
0
ú1U
4
1
2
5
0
ú1U
4
0
ú1U
4
0
ú1U
4
0
ú1U
4
0
ú1U
4
figure donnant N! xB) # x)) # x¸) modulo 8
2
3
6
5
6
1
4
5
0
5
6
1
0
1
4
46
V) Bibliographie
1
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Additive Number Theory The classical Bases, Melvyn B. Nathanson (Springer)
Théorie algébrique des nombres, Pierre Samuel (Hermann)
Le défie algébrique tome 2, Claude Mutafian (VUIBERT)
Structures fondamentales 1, A. Doneddu (VUIBERT)
Algèbre fondamentale arithmétique, Georges et Marie-Nicole Gras (ellipses)
Licence de mathématiques semestre 6 Maths 301 Algèbre commutative, M. M’zari, USTL
A course in number theory, H. E. Rose (Clanrenden Press Oxford 1994)
Arithmétique, Marc Hindry (Calvage & Mounet 2008)
A concrete introduction to higher algebra, Lindsay Childs (Springer-Verlag New York
Berlin Heidelberg Tokyo)