Somme de carrés

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I) Sujet

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II) Somme de deux carrés
1) Rappels
1.1Définitions et notations concernant les anneaux
1)       
2) On définit sur  la norme d’un nombre complexe :    
3) Soit A un ensemble non vide, muni de deux opérations appelées addition et
multiplication et notées « + » et « . ».
On dit que (A, +, .) est un anneau si
a) -L’addition est :
interne dans A :        
associative :              
commutative :         
-Il existe un élément e        
On dit que (A, +) groupe commutatif.
b) -La multiplication est :
interne dans A :       
associative :         
distributive par rapport à l’addition :              et
-Il existe un élément e          
 Si en plus la multiplication est commutative, on dit que A est un anneau
commutatif.
4) Soit A un anneau non nul.
On dit que A est un anneau intègre si            

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5) Soit A un anneau commutatif et x un élément de A, x est inversible pour la
multiplication s’il existe un élément x’ de A tel que x.x’ = 1. Dans ce cas un tel élément x’
est unique et appelé l’inverse de x. On note  l’ensemble des éléments inversible de A.
6) Un élément x de A un anneau intègre, est irréductible si
a) x 
b)          
On dira que y  A–  est réductible s’il n’est pas irréductible. C'est-à-dire s’il existe
c et d  A– tels que y = cd.
7) Soit A un anneau, on dit qu’un nombre p ≠ 0 est un nombre premier dans A
si p 
8) Soit A un anneau commutatif intègre. On dit que A est euclidien s’il existe une fonction
: A\{0}  vérifiant les conditions suivantes :
a) si b divise a, a  0, alors (b) ≤ (a)
b) si b  A\{0}, alors pour tout a 
9) 
       telle que
10) Soit A un anneau intègre et a et b des éléments de A. On dit que a et b sont associés et on
note , s’il existe u  
11) Soit (A, +, .) un anneau et I une partie de A. I est un idéal de A si :
a) (I, +) est un sous-groupe de A,
b)           la multiplication.
Ce qui revient à dire :                     
12) Soit A un anneau et B une partie de A. L’idéal engendré par B est le plus petit (au sens
de l’inclusion) idéal de A contenant B. On note (B) cet idéal. (B) est l’intersection des
idéaux de A contenant B.

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13) Soit A un anneau et I un idéal de A. I est un idéal principal, s’il est engendré par un
élément de A, i.e. s’il existe a  A tel que I = (a).
14) Soit A un anneau non nul et I un idéal propre de A. I est un idéal maximal de A si dès
qu’un idéal J contient I, alors J = I ou J = A.
1.2Propriétés concernant les nombres premiers, inversibles, irréductibles et 
En posant      on a     les propriétés suivantes :
Propriétés :
1)  
2) 
3) 
preuves :
1) 
2) 
3) 
Réciproquement, si   

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Remarques :
4) soit p un nombre premier de , on a p et –p qui sont deux nombres premiers de .
5)  est un anneau commutatif intègre
Propriété 6:
Soient p un nombre premier de , si p divise z alors p divise 
Preuve :
Si p divise z alors u [i] tel que z = pu  u [i] tel que = p car p   et donc p = 
Propriété 7:
Soit p un nombre premier dans [i] alors p divise x  p divise 
Preuve :
Si p divise x  p divise  d’après la propriété 6 p divise x d’après la propriété 1
Réciproquement, si p divise N(x) = x 
 dans [i]
p divise x d’après la propriété 6 car 
Propriété 8:
Soit p un nombre premier de , p réductible dans [i]  p est égal à la norme d’un élément
irréductible de [i]
Preuve :
Si p = N(u) = u, où u est un irréductible donc un élément non inversible
 car u et  non inversibles
Réciproquement, si p est réductible dans [i] alors  u et v non inversibles dans [i] tels que
p = uv.
Or on a   (cf. propriété 2)
Donc comme p est un nombre premier de  , on obtient p = N(u) = N(v) =  d’où u = .
propriété 9:
si N(u) = q, q premier dans 