Topologie pour Économistes (1P), Cédrick Tombola & J–Paul Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative One Pager Janvier 2013 Vol. 5 – Num. 015 Copyright © Laréq 2013 http://www.lareq.com Analyse de la Structure d’eSpaceS Vectoriels Série Topologie pour Économistes (1P) Cédrick Tombola Muke et Jean–Paul Kimbambu, Tsasa Vangu « Je suis venu à la position que l'analyse mathématique n'est pas une des nombreuses façons de faire la théorie économique. C'est le seul moyen ! La théorie économique est l'analyse mathématique. Tout le reste n'est que images et débats. » Robert E. Lucas, Jr. Résumé Ce papier inaugure une série de publications sur la présentation de principaux concepts topologiques jugés utiles pour un économiste. L’approche adoptée est à la fois pédagogique et rigoureuse. Dans cette première publication, nous définissons les ingrédients de base et érigeons le cadre d’analyse où s’appliqueront les concepts qui seront développés ultérieurement. Mot – clé : loi de composition interne, vecteur, espaces vectoriels. Abstract In this paper, we present the concepts of vector spaces. In subsequent papers, we will use this framework to introduce topological concepts more advanced and useful in the profession of economist. Introduction D’entrée de jeu, notons que l’objectif poursuivi par le Laboratoire, dans cette série de présentation pédagogique de différents concepts topologiques et théorèmes fondamentaux de « la » mathématique, est triple : (i) permettre une appréhension rigoureuse des résultats majeurs en sciences économiques – que nous projetons présenter dans les publications ultérieures ; (ii) mettre à la disposition de la communauté universitaire locale, les matériels nécessaires permettant de mener une recherche sur la frontière de connaissances et donc, accroître les possibilités de découvrir de choses nouvelles ; (iii) renforcer le degré d’abstraction dans le raisonnement de jeunes chercheurs, prix à payer, dans de nombreuses circonstances, afin de voir plus clairement les réalités et faits qui nous environnent. Dans ce papier, première publication de la série topologie, nous nous proposons, d’une part, de définir un concept (espaces vectoriels) servant d’arrière plan dans plusieurs résultats obtenus dans l’analyse économique et d’autre part, de préparer un cadre où seront développés et appliqués d’autres concepts et notions, à la fois, fondamentaux en topologie et utiles dans la profession de l’économiste. Notons, au passage que dans ce panier de concepts, un se démarque distinctivement : les espaces topologiques. Avant de nous atteler à la présentation des espaces topologiques et de ses différents cas particuliers, il nous a paru préalablement pertinent de comprendre la structure des espaces vectoriels. En effet, d’une part, l’appréhension de la structure d’espaces vectoriels prépare et rend plus aisée l’introduction des notions que nous utiliserons plus couramment, telles que la métrique, la boule, les fonctions bornées, le voisinage, l’adhérence, l’intérieur, la connexité ou la compacité. D’autre part, cette 93 Védrick Tombola & Jean – Paul K., Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative démarche permet de s’approprier les prérequis essentiels à une présentation plus rigoureuse des concepts de Limites ; de Continuité et de dérivation et à une compréhension plus précise et élargie des espaces topologiques, tels que les espaces compacts, connexes, séparables, métriques et métrisables, mesurés et mesurables, de fonctions continues, de Hilbert ou de Banach. En fin de compte, la construction de cette plateforme majestueuse devra, d’une part, nous servir de présenter et de démontrer rigoureusement, pédagogiquement et sans ambiguïté les résultats fondamentaux et majeurs obtenus en analyse économique et d’autre part, nous faciliter à œuvrer dynamiquement sur la frontière de connaissances. Le présent papier s’organise autour de trois sections principales. La première section définit la notion d’ensemble et introduit celle de loi de composition interne. La deuxième section présente la structure d’espace vectoriel. Et enfin, la troisième section s’intéresse à la notion de produit avant de dériver celle de distance. Ensemble et Lois de Composition interne A l’effet de faciliter l’appréhension de la structure d’espaces vectoriels, il est important de considérer préalablement ses quelques ingrédients fondamentaux. Ainsi, nous nous proposons de définir soigneusement la notion d’ensemble et celle de loi de composition interne. Un ensemble est une collection d’objet de nature identique ou différente. Le nombre d’éléments dans un ensemble peut être fini, infini dénombrable ou infini dénombrable. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels est infini dénombrable et intervalle est son cardinal1. Autre exemple, tout est infini non – dénombrable, et possède autant d’éléments que dans ce cas, on note le nombre « puissance du continu ». On peut munir l’ensemble d’une structure correspondant à l’ensemble des opérations décrivant la relation entre les éléments on dit que lui – même, et de Soit la composition de est une loi de composition interne et donc, composition fait sortir le résultat de Si est notée est stable par Si Si la loi de et produit un élément appartenant dans un autre ensemble. D’où, différentes structures par les ensembles, dont celle de corps, de groupe ou d’espace vectoriel. Soit un point quelconque dans un plan. Généralement, pour préciser sa position, on définit un système de coordonnées rectangulaire : l’ordonnée de et le couple préciser la position de pour et L’expression et 1 tel que est un nombre correspondant à l’abscisse de est un élément de à Parallèlement à cette démarche, on peut en attachant un vecteur à chaque axe de coordonnées et donc, parvenir à définir le vecteur et et respectivement et et des vecteurs tel que : est une structure qui comprend à la fois des scalaires (nombres) et elle effectue des opérations entre eux. Les vecteurs et forment ce qu’il convient de nommer Le cardinal est un nombre d’éléments dans un ensemble fini ou infini dénombrable. 94 Védrick Tombola & Jean – Paul K., Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative base du plan. En plus, s’il n’existe pas un nombre réel et peuvent exprimer tout vecteur tel que les vecteurs du plan suivant l’expression Et par ailleurs, notons que lorsque les vecteurs de la base sont unitaires (longueur unité) et perpendiculaire l’un à l’autre, la base est dite orthonormée. En effectuant le changement de base ou changement de repère, le même vecteur tel que repris en peut s’écrire comme : où le changement de base se traduit par le passage de à et vice versa. Espace vectoriel La formalisation de la structure d’un espace vectoriel passe généralement par la prise en compte de la notion de corps1 (ensemble (i) ) dont la structure comprend deux lois de compositions interne : la première loi de composition interne, notée composition Puisque suivantes : (i.1) associe à deux éléments est une loi de composition interne, est commutative, élément du corps (ii) admet un inverse, noté la deuxième loi de composition interne, notée (i.2) est associative, ; de l’élément est commutative, ; (i.4) Sauf l’élément neutre tout élément du corps Aussi, précisons que la combinaison des lois admet un inverse, noté et ; de la loi de composition tel que est commutative et distributive : In fine, notons que (i) la loi de composition interne et sont respectivement dites loi additive et loi possède une structure de groupe abélien2 vis – à vis de la loi multiplicative ; (ii) et ; (i.3) il existe un élément neutre ou élément unité tel que interne ; (i.4) tout associe à deux éléments caractérisé par les propriétés suivantes : (ii.1) et (iii) les corps classiques qui feront l’objet des analyses de la série topologie concernent les ensembles réels complexes vectoriel sur un corps où les éléments de 2 et avec l’addition et la multiplication, respectivement des réels et des complexes. Enumérons à présent les axiomes qui permettent de caractériser un espace vectoriel. Si 1 la est associative, tel que tel que de posséde les propriétés ; (i.2) ; (i.3) il existe un élément neutre et dont et un espace sont les deux lois de composition internes, noté : sont des vecteurs ; les conditions ci – après ont alors été satisfaites (axiomes). Le concept de corps a été rigoureusement défini dans Tsasa (2013b, p.67). Le concept de groupe abélien est décrit dans Tsasa (2013a, p.33). Un ensemble est un groupe abélien ou groupe commutatif , du nom du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel) lorsque sa loi de composition interne est commutative : 95 Védrick Tombola & Jean – Paul K., Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative Axiome 1 : il existe une loi de composition interne : (i.1) qui, à deux élément est commutative, ; (i.2) ; (i.3) il existe un élément neutre élément de admet un inverse de associe l’élément est associative, tel que tel que ; (i.4) tout ; Axiome 2 : il existe une loi de composition interne pour dériver un élément et de dans associant un scalaire et caractérisé par les propriétés suivantes : (ii.1) Distributivité par rapport aux scalaires, ; (ii.2) Distributivité par rapport aux vecteurs, ; (ii.3) Associativité des scalaires par rapport aux scalaires, ; (i.4) Neutralité vis – à - vis de l’élément unité du corps Ainsi, d’après ces définitions, il vient que : (i) la loi de composition interne scalaires du corps possède une structure de groupe abélien vis – à – vis de ; (ii) Proposition. si toute combinaison linéaire avec des appartient à homothétie de l’extrémité de ; où le vecteur Démonstration. Si est une donc par l’axiome 1. Pour illustration, notons que est un espace vectoriel sur le corps sur elle – même. De même, l’ensemble des vectoriel sur le corps avec ; la ligne réels ordonnés est un espace vectoriel forment un espace tel que : où la loi est une opération de multiplication. Produit scalaire et Métrique dans un espace vectoriel Le produit scalaire est une opération qui permet, d’une part, de conférer à l’espace vectoriel un caractère métrique et d’autre part, de préciser les définitions d’orthogonalité et de colinéarité. Considérons un corps noté vectoriel De tel que Le produit scalaire est une opération qui associe deux vecteurs de l’espace à un nombre réel : il suit que : Des expressions et on peut dériver l’inégalité triangulaire : Proposition. Le produit scalaire est distributif : où et sont des scalaires indépendants. Démonstration. 96 Védrick Tombola & Jean – Paul K., Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative (i) Si ; (ii) Alors (iii) Et donc, ; où puisque Le produit scalaire étant distributif, on a pour : Définissons à présent les notions d’indépendance linéaire et de base d’un espace vectoriel. Précédemment, nous avons évoqué la nécessité de disposer d’un repère comprenant deux vecteurs non colinéaires dans le plan : ou par extension, ou plus généralement, Les vecteurs n’étant pax colinéaires : Ainsi, si les éléments d’un espace vectoriel sur le corps sont linéairement indépendants si et seulement forment une famille libre : Si : les forment une famille liée. Parallèlement, si un seul le rang égale à on obtient : Pour tel que Soit une famille libre de ce système est égal à 1. Et si le rang est alors telle que : 97 Védrick Tombola & Jean – Paul K., Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative La famille libre constitue une base de l’espace faisant varier les scalaires En considérant une base le produit scalaire si et seulement si elle permet d’engendrer tout en : telle que : peut s’écrire en fonction de leurs composantes. Ainsi, on a : 1 Si l’on considère le cas spécifique des bases orthonormées, le produit scalaire devient : et donc : D’où, vectoriel norme de Dès lors, on peut extraire de l’analyse la notion de distance dans l’espace En effet, une distance est une application de dans telle que les propriétés suivantes sont satisfaites : (i) (ii) (symétrie) ; (séparation) ; (iii) (inégalité triagulaire). Un espace vectoriel où une distance est définie, est désigné espace métrique. Lorsque ce dernier est doté d’un produit scalaire sesquilinéaire, l’espace métrique est dit préhibertien. De même, nous distinguerons d’autres cas spécifiques d’espaces métriques dans les publications ultérieures, selon qu’ils seront munis de telle ou telle autre caractéristique ou structure remarquable. Ainsi, par exemple, un espace métrique sera dit proprement euclidien lorsqu’on y déterminera une norme définie positive telle que seul le vecteur nul possède une norme nulle. Dans le numéro qui suit, nous allons introduire une notion –Structure d’espaces topologiques– qui permettra d’avoir une appréhension plus générale de la notion d’espaces en topologie. 1 Le symbole * désigne la conjugaison complexe, le produit scalaire dans un espace vectoriel étant défini par : sur le corps complexe Il ressort donc que l’ordre, dans ces deux opérations, est de rigueur, et que par ailleurs le produit scalaire est sesquilinéaire c’est – à – dire à la fois linéaire par rapport au second vecteur du couple et antilinéaire par rapport au premier. 98 Védrick Tombola & Jean – Paul K., Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative Bibliographie ACEMOGLU Daron, 2009, Introduction to Modern Economic Growth, Princeton University Press, New Jersey, 990p. AIGNER Martin et Günter M. ZIEGLER, 1998, Raisonnements Divins : Quelques Démonstrations Mathématiques Particulièrement Elégantes, 2ième édition Springer, Berlin, 270p. 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