Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Védrick Tombola & Jean – Paul K., Tsasa
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
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Topologie pour Économistes (1P), Cédrick Tombola & J–Paul Tsasa
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Janvier 2013
Vol. 5 – Num. 015
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Analyse de la Structure d’eSpaceS Vectoriels
Série Topologie pour Économistes (1P)
Cédrick Tombola Muke et Jean–Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
« Je suis venu à la position que l'analyse mathématique n'est pas une des nombreuses façons de
faire la théorie économique. C'est le seul moyen ! La théorie économique est l'analyse
mathématique. Tout le reste n'est que images et débats. »
Robert E. Lucas, Jr.
Résumé
Ce papier inaugure une série de publications sur la présentation de principaux concepts
topologiques jugés utiles pour un économiste. L’approche adoptée est à la fois pédagogique et
rigoureuse. Dans cette première publication, nous définissons les ingrédients de base et
érigeons le cadre d’analyse où s’appliqueront les concepts qui seront développés ultérieurement.
Mot – clé : loi de composition interne, vecteur, espaces vectoriels.
Abstract
In this paper, we present the concepts of vector spaces. In subsequent papers, we will use this
framework to introduce topological concepts more advanced and useful in the profession of
economist.
Introduction
D’entrée de jeu, notons que l’objectif poursuivi par le Laboratoire, dans cette série de présentation
pédagogique de différents concepts topologiques et théorèmes fondamentaux de « la » mathématique,
est triple : (i) permettre une appréhension rigoureuse des résultats majeurs en sciences économiques –
que nous projetons présenter dans les publications ultérieures ; (ii) mettre à la disposition de la
communauté universitaire locale, les matériels nécessaires permettant de mener une recherche sur la
frontière de connaissances et donc, accroître les possibilités de découvrir de choses nouvelles ; (iii)
renforcer le degré d’abstraction dans le raisonnement de jeunes chercheurs, prix à payer, dans de
nombreuses circonstances, afin de voir plus clairement les réalités et faits qui nous environnent.
Dans ce papier, première publication de la série topologie, nous nous proposons, d’une part, de définir
un concept (espaces vectoriels) servant d’arrière plan dans plusieurs résultats obtenus dans l’analyse
économique et d’autre part, de préparer un cadre où seront développés et appliqués d’autres concepts et
notions, à la fois, fondamentaux en topologie et utiles dans la profession de l’économiste.
Notons, au passage que dans ce panier de concepts, un se démarque distinctivement : les espaces
topologiques. Avant de nous atteler à la présentation des espaces topologiques et de ses différents cas
particuliers, il nous a paru préalablement pertinent de comprendre la structure des espaces vectoriels. En
effet, d’une part, l’appréhension de la structure d’espaces vectoriels prépare et rend plus aisée
l’introduction des notions que nous utiliserons plus couramment, telles que la métrique, la boule, les
fonctions bornées, le voisinage, l’adhérence, l’intérieur, la connexité ou la compacité. D’autre part, cette

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démarche permet de s’approprier les prérequis essentiels à une présentation plus rigoureuse des
concepts de Limites ; de Continuité et de dérivation et à une compréhension plus précise et élargie des
espaces topologiques, tels que les espaces compacts, connexes, séparables, métriques et métrisables,
mesurés et mesurables, de fonctions continues, de Hilbert ou de Banach.
En fin de compte, la construction de cette plateforme majestueuse devra, d’une part, nous servir de
présenter et de démontrer rigoureusement, pédagogiquement et sans ambiguïté les résultats
fondamentaux et majeurs obtenus en analyse économique et d’autre part, nous faciliter à œuvrer
dynamiquement sur la frontière de connaissances.
Le présent papier s’organise autour de trois sections principales. La première section définit la notion
d’ensemble et introduit celle de loi de composition interne. La deuxième section présente la structure
d’espace vectoriel. Et enfin, la troisième section s’intéresse à la notion de produit avant de dériver celle
de distance.
Ensemble et Lois de Composition interne
A l’effet de faciliter l’appréhension de la structure d’espaces vectoriels, il est important de considérer
préalablement ses quelques ingrédients fondamentaux. Ainsi, nous nous proposons de définir
soigneusement la notion d’ensemble et celle de loi de composition interne.
Un ensemble  est une collection d’objet  de nature identique ou différente. Le nombre
d’éléments dans un ensemble peut être fini, infini dénombrable ou infini dénombrable. Par exemple,
l’ensemble  des entiers naturels est infini dénombrable et  est son cardinal
1
. Autre exemple, tout
intervalle  est infini non – dénombrable, et possède autant d’éléments que  lui – même, et
dans ce cas, on note  le nombre « puissance du continu ».
On peut munir l’ensemble  d’une structure correspondant à l’ensemble des opérations décrivant la
relation entre les éléments  de  Soit  la composition de  est notée  Si 
 on dit que  est une loi de composition interne et donc,  est stable par  Si  la loi de
composition fait sortir le résultat de Si  et produit un élément appartenant dans un autre ensemble.
D’où, différentes structures par les ensembles, dont celle de corps, de groupe ou d’espace vectoriel.
Soit un point quelconque  dans un plan. Généralement, pour préciser sa position, on définit un système
de coordonnées rectangulaire :  tel que  est un nombre correspondant à l’abscisse de  et  à
l’ordonnée de  et le couple  est un élément de  Parallèlement à cette démarche, on peut
préciser la position de  en attachant un vecteur à chaque axe de coordonnées  et  respectivement
pour  et  et donc, parvenir à définir le vecteur  tel que :
L’expression  est une structure qui comprend à la fois des scalaires (nombres)  et  et des vecteurs
 et  et elle effectue des opérations entre eux. Les vecteurs  et  forment ce qu’il convient de nommer
1
Le cardinal est un nombre d’éléments dans un ensemble fini ou infini dénombrable.

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base du plan. En plus, s’il n’existe pas un nombre réel  tel que  les vecteurs 
et  peuvent exprimer tout vecteur  du plan suivant l’expression  Et par ailleurs, notons que
lorsque les vecteurs de la base sont unitaires (longueur unité) et perpendiculaire l’un à l’autre, la base
est dite orthonormée.
En effectuant le changement de base ou changement de repère, le même vecteur  tel que repris en
 peut s’écrire comme :
où le changement de base se traduit par le passage de  à 
 et vice versa.
Espace vectoriel
La formalisation de la structure d’un espace vectoriel passe généralement par la prise en compte de la
notion de corps
1
(ensemble ) dont la structure comprend deux lois de compositions interne :
(i) la première loi de composition interne, notée  associe à deux éléments  et  de  la
composition  Puisque  est une loi de composition interne,  posséde les propriétés
suivantes : (i.1)  est commutative,  ; (i.2)  est associative, 
 ; (i.3) il existe un élément neutre  tel que  ; (i.4) tout
élément du corps  admet un inverse, noté  tel que  ;
(ii) la deuxième loi de composition interne, notée  associe à deux éléments  et  de  l’élément
 caractérisé par les propriétés suivantes : (ii.1)  est commutative,  ;
(i.2)  est associative,  ; (i.3) il existe un élément neutre ou
élément unité tel que  ; (i.4) Sauf l’élément neutre  de la loi de composition
interne  tout élément du corps  admet un inverse, noté  tel que  
Aussi, précisons que la combinaison des lois  et  est commutative et distributive :
In fine, notons que (i) la loi de composition interne  et  sont respectivement dites loi additive et loi
multiplicative ; (ii)  possède une structure de groupe abélien
2
vis – à vis de la loi  et (iii) les corps
classiques qui feront l’objet des analyses de la série topologie concernent les ensembles réels  et
complexes  avec l’addition et la multiplication, respectivement des réels et des complexes.
Enumérons à présent les axiomes qui permettent de caractériser un espace vectoriel. Si  un espace
vectoriel sur un corps  dont  et  sont les deux lois de composition internes, noté :
où les éléments de  sont des vecteurs ; les conditions ci – après ont alors été satisfaites (axiomes).
1
Le concept de corps a été rigoureusement défini dans Tsasa (2013b, p.67).
2
Le concept de groupe abélien est décrit dans Tsasa (2013a, p.33). Un ensemble  est un groupe abélien ou groupe
commutatif  , du nom du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel) lorsque sa loi de composition interne  est
commutative : 

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Axiome 1 : il existe une loi de composition interne  qui, à deux élément  et  de  associe l’élément
 : (i.1)  est commutative,  ; (i.2)  est associative,  
 ; (i.3) il existe un élément neutre  tel que  ; (i.4) tout
élément  de  admet un inverse  tel que  ;
Axiome 2 : il existe une loi de composition interne  de  dans  associant un scalaire  et 
pour dériver un élément  caractérisé par les propriétés suivantes : (ii.1) Distributivité par rapport aux
scalaires,  ; (ii.2) Distributivité par rapport aux vecteurs, 
 ; (ii.3) Associativité des scalaires par rapport aux scalaires,  ; (i.4) Neutralité vis
– à - vis de l’élément unité du corps  
Ainsi, d’après ces définitions, il vient que : (i)  possède une structure de groupe abélien vis – à – vis de
la loi de composition interne  ; (ii) Proposition. si  toute combinaison linéaire avec des
scalaires du corps  appartient à   ; où le vecteur  est une
homothétie de l’extrémité de  Démonstration. Si 
donc   par
l’axiome 1.
Pour illustration, notons que  est un espace vectoriel sur le corps  ; la ligne  est un espace vectoriel
sur elle – même. De même, l’ensemble des  réels ordonnés  forment un espace
vectoriel sur le corps  avec  tel que :  où la loi 
est une opération de multiplication.
Produit scalaire et Métrique dans un espace vectoriel
Le produit scalaire est une opération qui permet, d’une part, de conférer à l’espace vectoriel un caractère
métrique et d’autre part, de préciser les définitions d’orthogonalité et de colinéarité. Considérons un
corps noté  tel que  Le produit scalaire est une opération qui associe deux vecteurs de l’espace
vectoriel  à un nombre réel : 
De  il suit que : 
Des expressions  et  on peut dériver l’inégalité triangulaire :
Proposition. Le produit scalaire est distributif : où  et  sont
des scalaires indépendants.
Démonstration.

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(i) Si 
 ;
(ii) Alors 
 ;
(iii) Et donc,  où  puisque 
Le produit scalaire étant distributif, on a pour :
Définissons à présent les notions d’indépendance linéaire et de base d’un espace vectoriel.
Précédemment, nous avons évoqué la nécessité de disposer d’un repère comprenant deux vecteurs non
colinéaires dans le plan  :
ou par extension, 
ou plus généralement,
Les vecteurs n’étant pax colinéaires :
Ainsi,  éléments  d’un espace vectoriel sur le corps  sont linéairement indépendants si et seulement
si les  forment une famille libre :
Si :
les  forment une famille liée.
Parallèlement, si un seul  le rang  de ce système est égal à 1. Et si   le rang  est alors
égale à  Pour  tel que   on obtient :
Soit une famille libre  telle que :