Licence de Mathématiques. Topologie 1993-1994 TD de

Universit´e de Rouen
Facult´e des Sciences
Licence de Math´ematiques. Topologie 1993-1994
T.D. de TOPOLOGIE - Fiche No 6 : COMPACITE
Sauf mention contraire, dans toute la fiche, Ed´esigne un espace topologique s´epar´e.
Exercice 1 : Soient (xn)n∈Nune suite de Eet xun ´el´ement de E. Montrer que si (xn)n∈N
converge vers x, alors {x, x0, x1, . . . , xn, . . .}est un compact de E.
Exercice 2 : Soient Aet Bdeux parties de E. Montrer que :
a) si Aest compacte et x /∈A, alors xet Aadmettent des voisinages ouverts disjoints.
b) si Aet Bsont compactes et disjointes, alors Aet Badmettent des voisinages ouverts
disjoints.
Exercice 3 : Soient (Kn)n∈Nune suite d´ecroissante de compacts non vides de E.
Montrer que :
•K=\
n∈N
Knest un compact non vide de E.
•si un ouvert contient K, il contient aussi un des Kn.
Exercice 4 : Soient Rnmuni de la distance euclidienne not´ee d, et Aun ferm´e non vide
de Rn. On pose ∀x∈Rn, d(x, A) = inf
a∈Ad(x, a).
•Montrer que ∀x, il existe un point axde Atel que d(x, ax) = d(x, A).
Exercice 5 : Soit (E, d) un espace m´etrique. Pour des parties Aet Bnon vides de E.
On pose : d(A, B) = inf d(a, b)/ a ∈A, b ∈B. Montrer que :
a) on peut avoir d(A, B) = 0 avec Aet Bferm´es et disjoints.
b) si Aest compact et Bferm´e, alors d(A, B)=0 ⇒A∩B6=∅.
c) si Aet Bsont des compacts, alors il existe a∈A,b∈Btels que d(a, b) = d(A, B).
Exercice 6 : Soient Eet Fs´epar´es, Aun compact de E,Bun compact de F. Montrer que :
a)A×Best une partie compacte de E×Fpour la topologie produit.
b) faire une d´emonstration plus simple de a) quand Eet Fsont m´etriques.
c) si West un ouvert de E×Fcontenant A×B, alors il existe Uouvert de E,Vouvert
de Fv´erifiant A⊂U,B⊂Vet U×V⊂E×F.
Exercice 7 : Soient Eun espace vectoriel norm´e, Aune partie compacte et Bune partie
ferm´ee de E. Montrer que :
•A+Best ferm´e dans E.
•si de plus Best compacte, alors A+Best compacte.
Exercice 8 : Montrer que les propositions suivantes sont ´equivalentes :
(i)Eest un espace localement compact.
(ii) soient x∈E, et V∈ V(x) ; montrer qu’il existe un ouvert Ude Erelativement
compact tel que : x∈Uet U⊂V.
(iii) la topologie de Eadmet une base constitu´ee d’ouverts relativement compacts.
Exercice 9 : Soit Xun espace localement compact :
•soit x∈Xet Fun ferm´e de Xne contenant pas x. Montrer qu’il existe deux ouverts
de Xdisjoints U1et U2tels que x∈U1et F⊂U2.
•toute partie compacte de Eadmet une base de voisinages relativement compacts.
Exercice 10 : Soit (E, d) un espace m´etrique v´erifiant : pour tout x∈Eil existe ε > 0 tel que
B(x, ε) soit compact. Montrer que Eest localement compact.
Exercice 11 : Soit Eun espace localement compact. Montrer que si Aest un ferm´ee de E,
alors Aest un sous-espace localement compact de E. La r´eciproque est-elle vraie ?

Exercice 12 : Montrer que tout ouvert d’un espace compact est un sous-espace locale-
ment compact.
Exercice 13 : Soient A,Bdeux parties de Ev´erifiant B⊂A. Comparer les 2 propositions
suivantes :
(i)Best relativement compact dans E.
(ii)Best relativement compact dans A.
Exercice 14 : Soient (E, d1) un espace m´etrique compact et d2une distance sur E. On suppose
qu’il existe k > 0 tel que d2< k.d1. Comparer les topologies induites sur Epar les distances
d1et d2.
Exercice 15 : Soient T1,T2,T3, 3 topologies d´efinies sur un ensemble Xtelles que T1⊂ T2⊂ T3
et telles que (E, T2) soit compact. Montrer que :
•si T1est s´epar´ee, alors T1=T2.
•si T36=T2, alors (E, T3) n’est pas compact.
CONTINUITE ET COMPACITE
Exercice 16 : Montrer qu’une application fcontinue d’un espace compact Edans un espace
s´epar´e Fest ferm´ee (i.e l’image d’un ferm´e est un ferm´e). En d´eduire que si fest une
bijection continue de Edans F, alors c’est un hom´eomorphisme.
Exercice 17 : Soient Eun espace topologique s´epar´e, Fun espace compact et Aune partie
ferm´ee de E×F. Montrer que la projection de Asur Eest ferm´ee. Donner un contre-exemple
avec Fnon compact, o`u la projection d’un ferm´e de E×Fsur E, n’est pas un ferm´e de E.
En d´eduire qu’une application fde Edans Fest continue si et seulement si le graphe de f
est ferm´e dans E×F.
Exercice 18 : Soit Fun espace m´etrique. On suppose que pour tout espace m´etrique Eet
toute partie ferm´ee Ade E×F, la projection de Asur Eest ferm´ee. Montrer alors que F
est compact. (Prendre une suite de Fet E={∅} ∪ { 1
n}n∈N∗.)
Exercice 19 : Soient Eet Fdeux espaces topologiques s´epar´es et fune application de E
dans Fv´erifiant : pour tout compact Kde E, la restriction fKde f`a Kest continue.
L’application fest-telle continue si :
a)Eet Fsont quelconques ?
b)Eet Fsont m´etriques ?
c)Eest localement compact ?
Exercice 20 : Soient Eet Fdeux espaces topologiques s´epar´es et fune application injective
de Edans Fet v´erifiant : pour tout compact Kde E,f(K) est un compact de F.
L’application fest-telle continue si :
a)Eet Fsont quelconques ?
b)Eet Fsont m´etriques ?
c)Eest localement compact ? Trouver un contre-exemple avec fnon injective.
Exercice 21 : Soient Eun espace topologique localement compact, Fun espace topologique
s´epar´e et fune application continue de Edans F. L’image f(E) est-elle une partie
localement compacte de F?
Exercice 22 : Soient (E, d) un espace m´etrique compact et fune application de Edans E.
Montrer que si fconserve la distance d(f(x), f(y)) = d(x, y),fest un hom´eomorphisme.
Exercice 23 : Soient Eun espace compact et fune application continue de Edans E.
Montrer qu’il existe une partie Aferm´ee non vide de Etelle que f(A) = A.