GLMA301 - Alg`ebre lin´eaire 3 POLYNÔMES ET RÉDUCTION

GLMA301 - Alg` ebre lin´ eaire 3
POLYNÔMES ET RÉDUCTION
Alexis Virelzier

Table des mati` eres
Chapitre I. Polynômes 5
I.1. Suites ....................................................5
I.2. Suitespresquenulles .......................................5
I.3. Polynômes ................................................6
I.4. Divisiondespolynômes ....................................8
I.5. Idéaux de K[X]............................................9
I.6. Plus grand commun diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
I.7. Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.8. Plus petit commun multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.9. Polynômesirréductibles ...................................14
I.10. Fonctionspolynômiales ...................................16
I.11. Racines .................................................16
I.12. Dérivation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.13. Polynômesscindés .......................................19
I.14. Polynômes irréductibles de C[X] ...........................20
I.15. Polynômes irréductibles de R[X] ...........................21
Exercices sur les polynômes 23
Chapitre II. Réduction des endomorphismes 25
II.1. Motivation ...............................................25
II.2. Rappelsetnotations ......................................25
II.3. Sous-espacesstables ......................................26
II.4. Polynômes d’endomorphismes et de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.5. Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.6. Lecasdesmatrices .......................................32
II.7. Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
II.8. Diagonalisation ..........................................36
II.9. Méthode pratique de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.10. Endomorphismes trigonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.11. Méthode pratique de trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.12. Polynômes annulateurs et polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . .42
II.13. Sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.14. Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.15. Méthode pratique de décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . 49
II.16. Calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
Exercices sur la réduction 51

Chapitre IPolyn ˆ
omes
Dans ce cours, K=Rou C, c’est-à-dire, le symbole Kdésigne soit l’ensemble des nombres réels, soit l’ensemble
des nombres complexes.
1. Suites
Rappelons que l’ensemble des suites d’éléments de Kse note KN. Lorsqu’on le munit de l’addition et de la
multiplication externe données, pour u=(un)n∈N,v=(vn)n∈Net λ∈K, par
u+v=(un+vn)n∈Net λu=(λun)n∈N,
l’ensemble KNdevient un K-espace vectoriel (il correspond au K-espace vectoriel des applications de Nvers K).
Notons que KNest de dimension infinie. Son vecteur nul est la suite nulle 0 =(0)n∈N.
Soient u=(un)n∈Net v=(vn)n∈Ndeux suites. On définit leur produit par
uv =(wn)n∈Navec wn=
n
X
k=0
ukwn−k.
Notons 1 =(1,0,0,0,···) la suite dont le premier terme est 1 et les autres termes sont nuls.
Le produit ainsi défini est associatif, commutatif, admet 1pour unité, et est distributif par rapport à l’addition
et la multiplication scalaire externe de KN, c’est-à-dire :
u(uw)=(uv)w,uv =vu,1u=u,u(v+w)=uv +uw,et u(λv)=λ(uv)
pour tous u,v,w∈KNet λ∈K.
Proposition I.1.1.
☞Un espace vectoriel muni d’un produit associatif, commutatif, unitaire et distributif par rapport son addition
et sa multiplication scalaire externe est ce que l’on appelle une K-algèbre commutative. Ainsi KNest une
algèbre commutative.
2. Suites presque nulles
Le support d’une suite u=(un)n∈N∈KNest le sous-ensemble de Ndéfini par
Support(u)={n∈N|un,0}.
Remarquons qu’ne suite est nulle si et seulement si son support est vide.
Une suite u=(un)n∈N∈KNest presque nulle si son support est fini. Par exemple les suites 0 et 1 sont presque
nulles parce que Support(0) =∅et Support(1) ={0}sont finis.
☞Une suite u=(un)n∈N∈KNest presque nulle si et seulement si elle est nulle a partir d’un certain rang,
c’est-à-dire si et seulement s’il existe un entier Ntel que un=0 pour tout n≥N.
L’ensemble des suites presque nulles d’éléments de Kse note K(N).
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