Algèbre 1 - Academie pro

UE
Mathématiques 1
ECUE
Algèbre 1
Haj Dahmane Dhafer
I-S-E-T Jerba
http://www.isetjb.rnu.tn
14 décembre 2012

Table des matières
1 Polynômes 3
1.1 Généralités ............................ 3
1.2 Division euclidienne ....................... 5
1.3 Polynômes irréductibles : ..................... 7
1.4 PPCM, PGCD de deux polynômes ............... 7
1.5 Racines d’un polynôme ...................... 8
1.6 Algorithmes ............................ 11
1.6.1 Algorithme de Horner .................. 11
1.6.2 Exponentiation rapide .................. 11
1.7 Série d’éxercices .......................... 13
2 Fractions rationnelles 16
2.1 Généralités ............................ 16
2.1.1 Définitions et règles de calcul .............. 16
2.1.2 Degré d’une fraction rationnelle ............. 17
2.2 Racines et pôles d’une fraction rationelle ............ 17
2.3 Décomposition en éléments simples ............... 18
2.3.1 Partie entière d’une fraction rationnelle ........ 18
2.3.2 Partie polaire d’une fraction rationnelle ........ 19
2.3.3 Décomposition en éléments simples dans C(x)..... 22
2.3.4 Méthodes pratiques .................... 22
2.3.5 Décomposition en éléments simples dans R(x)..... 24
2.4 Série d’exercices .......................... 26
3 Nombres complexes (rappels) 30
3.1 Introduction ............................ 30
3.2 Règles de calculs dans C..................... 30
3.3 Interprétation géométrique d’un nombre complexe . . . . . . 31
3.4 Nombres complexes conjugués .................. 31
3.5 Module d’un nombre complexe ................. 32
3.6 Forme trigonométrique d’un nombre complexe ......... 32
3.7 Racines nièmme d’un nombre complexe ............. 36
3.8 Equations dans C......................... 38
Haj Dahmane Dhafer
I-S-E-T Jerba http://www.isetjb.rnu.tn

TABLE DES MATIÈRES 2
3.9 Série d’exercices .......................... 39
4 Matrices 41
4.1 Définitions et notations ..................... 41
4.2 Opérations sur les matrices ................... 43
4.2.1 Somme de deux matrices ................. 43
4.2.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire ...... 47
4.2.3 Produit de deux matrices ................ 50
4.3 Transposée d’une matrice .................... 58
4.4 Série d’exercices .......................... 61
5 Matrices Carrées 63
5.1 Déterminant d’une matrice carrée ................ 63
5.1.1 Définitions ........................ 63
5.1.2 Propriétés ......................... 67
5.2 Matrices carrées inversibles ................... 71
5.2.1 Définitions ........................ 71
5.2.2 Méthode de Gauss .................... 73
5.3 Série d’exercices .......................... 74
6 Systèmes d’équations linéaires 76
6.1 Définitions ............................. 76
6.2 Méthodes de résolutions ..................... 78
6.2.1 Méthode d’élimination substitution ........... 78
6.2.2 Méthode de Pivot .................... 79
6.2.3 Méthode de la matrice inverse .............. 79
6.2.4 Méthode de Cramer ................... 80
6.3 Série d’exercices .......................... 82
7 introduction a l’algèbre linéaire 84
7.1 Espaces vectoriels et applications linéaires ........... 88
7.2 Espaces vectoriels de dimension fini ............... 90
7.3 Matrice d’une application linéaire ................ 90
7.4 Série d’exercices .......................... 91
8 Examens 93
8.1 DS d’Algèbre 1 : 27 Novembre 2008 ............... 93
8.2 Examen d’Algèbre 1 :Janvier 2009 ............... 95
8.3 Examen d’Algèbre 1 : ...................... 97
Haj Dahmane Dhafer
I-S-E-T Jerba http://www.isetjb.rnu.tn

Chapitre 1
Polynômes
Dans ce chapitre Kdésigne R,Cou Q
1.1 Généralités
Définition 1.1.1 On dit qu’une application Pde Kdans Kest un polynôme
à coefficients dans Ks’il existe un entier naturel net des éléments ai(16
i6n) de Kpour les quels on a : pour tout élément xde K
P(x) =
n
X
i=0
aixi.
Proposition 1.1.1 Si Pet Qsont deux polynômes à coefficients dans K
alors
1. P+Qest un polynôme à coefficients dans K.
2. P Q est un polynôme à coefficients dans K.
Notation L’ensemble des polynômes à coefficients dans Kest noté K[x].
Définition 1.1.2 Soient P∈K[x]et a∈K. On dit que aest une racine
de Psi P(a)=0.
Exemple 1.1.1
1. 2est une racine du polynôme P(x) = x2−4x+ 4.
2. Le polynôme Q(x) = x2+ 1 n’a pas de racine réelle.
3. iet −isont deux racines complexes du polynôme Q(x) = x2+ 1.
Définition 1.1.3 Soient P∈K[x]. On dit que Pest un polynôme nul si,
pour tout x∈K,P(x) = 0.
Haj Dahmane Dhafer
I-S-E-T Jerba http://www.isetjb.rnu.tn

1.1 Généralités 4
Théorème 1.1.1 Un polynôme P(x) = Pn
i=1 aixiest nul, si et seulement,
si les aisont tous nuls.
Corollaire 1.1.1 Soit P∈K[x]. Supposons que l’on ait
P(x) =
n
X
i=0
aixi=
m
X
i=0
bixiavec n≤m,
alors ai=bipour 1≤i≤n
bi= 0 pour i>n
Définition 1.1.4 Soit P(x) = Pn
i=0 aixiun polynôme non nul de K[x].
•On appelle degré du polynôme Pl’entier natrel
deg(P) = max
i∈{1,...,n}{i;ai6= 0}.
•On appelle valuation du polynôme Pl’entier natrel
V(P) = inf
i∈{1,...,n}{i;ai6= 0}.
Convention
deg(0) =−∞ et V (0) = +∞.
Exemple 1.1.2
1. P(x)=3x4+ 2x2+5
2; deg(p) = 4 et V(0) = 0.
2. P(x) = 1
3x2+ 5x; deg(P) = 2 et V(0) = 1.
3. P(x)=2; deg(P) = 0 et V(0) = 0.
4. P(x)=0; deg(P) =−∞ et V(P)=+∞.
5. P(x)=3x8; deg(P) = 8 et V(0) = 8.
Remarque 1.1.1
1. Un polynôme A=Pn
k=0 akxkest de degré inférieur ou égal à n. Il est
de degré nsi, et seulement si, an6= 0.
2. Un polynôme est dit unitaire ou normalisé losque le coefficient du mo-
nôme de plus haut degré est égale à 1.
Propriétés 1.1.1 Soient Pet Qdeux plynômes de K[x]de degrés respectif
net m.ona:
1. deg(PQ) =deg(p) +deg(Q).
2. deg(P+Q) 6max(deg(p),deg(Q)).
3. P Q = 0 alors P= 0 ou Q= 0.
Définition 1.1.5 Soit P(x) = Pn
i=0 aixiun polynôme de K[x]. On appelle
polynôme dérivé de P, et on note P0, le polynôme de K[x]défini par :
P0(x) =
n
X
i=1
iaixi−1si 1≤n.
Haj Dahmane Dhafer
I-S-E-T Jerba http://www.isetjb.rnu.tn