Recueil d`exercices de probabilités + suites + fonctions

Les probabilités peuvent aider à assurer la cohérence interne d’un modèle, mais aussi d’arpenter dans les deux
sens le chemin qui mène d’une situation concrète à sa modélisation.
Dans ce recueil d’exercice, j’attache plus d’importance à la description des objets qu’à leurs
axiomatisations, le but est de vous aider d’accéder seuls et à votre rythme aux probabilités vivantes
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On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On imagine n sacs de jetons
S1, S2n. Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des
autres sacs contient 1 jeton noir e
 :
_ Première étape : on tire au hasard un jeton de S1.
_ Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2.
_ Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard,
un jeton de S3 
Pour tout entier naturel k tel que 1  k  n, on note Ek  : « le jeton de Sk
est blanc », et Ek 
1° ) _ Déterminer la probabilité de E1, notée p(E1), et les probabilités
conditionnelles : p(E2| E1) et p  E2| E1.
En déduire la probabilité de E2, notée p(E2).
1° ) _ Pour tout entier naturel k tel que 1  k  n, la probabilité de Ek est notée
pk.
Justifier la relation de récurrence suivante : pk + 1 = 1
3 pk + 1 3.
2° _ uk) :
On note (uk) la suite définie par u1 = 1
3 et, pour tout entier k  1, uk + 1 = 1 3 uk + 1 3.
) _ On considère la suite (vk) définie par, pour tout élément k de IN*,

Les probabilités peuvent aider à assurer la cohérence interne d’un modèle, mais aussi d’arpenter dans les deux
sens le chemin qui mène d’une situation concrète à sa modélisation.
Dans ce recueil d’exercice, j’attache plus d’importance à la description des objets qu’à leurs
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vk = uk  1
2.
Démontrer que (vk) est une suite géométrique.
) _ Euk en fonction de k. Montrer que la suite (uk) est
convergente et préciser sa limite.
3° _ Dans cette question, on suppose que n = 10.
Déterminer pour quelle valeurs de k on a : 0,4999  pk  0, 5
Dans cet exercice, les résultats demandés seront sous forme de fractions.
On dispose de trois dés à 6 faces, parfaitement équilibrés. Sur le premier, 2 faces sont
bleues ; sur la deuxième, 3 faces sont bleues ; sur le troisième, 5 faces sont bleues ; les
autres faces sont rouges.
Partie A
Dans un premier temps, on considère le premier dé. On le lance 5 fois de suite, les
lancers sont indépendants.
tenir 4 fois une face bleue et une face rouge dans cet
ordre ?
 ?
 ?

Les probabilités peuvent aider à assurer la cohérence interne d’un modèle, mais aussi d’arpenter dans les deux
sens le chemin qui mène d’une situation concrète à sa modélisation.
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axiomatisations, le but est de vous aider d’accéder seuls et à votre rythme aux probabilités vivantes
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Partie B
On considère maintenant les trois dés.
Quelle est la probabil ?
une face bleue ?
urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les L, O, G, A, R, I, T, H,
M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).
Un joueur fait une partie en deux étapes :
Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.
Deuxième étape :
cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire ;
gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans
le cas contraire ;
 si le dé i
gagne la partie si chacune de ces boules porte une voyelle et il perd dans le cas
contraire.
On définit les événements suivants :
D1 : « Le dé indique 1 » D2 : « Le dé indique 2 »
D3 : « Le dé indique 3 » G : « La partie est gagnée ».

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sens le chemin qui mène d’une situation concrète à sa modélisation.
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A et B étant deux événements tels que p(A)  0, on note pA(B) la probabilité de B sachant
que A est réalisé.
1° ) _ Déterminer les probabilités p D1(G), p D2(G) et p D3(G).
1° ) _ Montrer que p(G) = 23
180 .
avec le dé.
et en donner une valeur arrondie à 10  2 près.
4° _ Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité
 9
10 ?
La Régie autonome des transports parisiens (RATP) désire optimiser les contrôles
act des fraudes et des pertes occasionnées par cette pratique.
Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt
sont indépendants les 
contrôlé est égale à p. Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude
r = 10.

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sens le chemin qui mène d’une situation concrète à sa modélisation.
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Un voyageur lambda () fraude systématique lors des quarante trajets soumis à cette
étude.
Soit Xi (resp. X ) la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si  est contrôlé au i-ième
trajet et la valeur 0 sinon (resp. X) la variable aléatoire définie par :
X = X1 + X2 + X3 40.
1° _ Déterminer la loi de probabilité de Xi (resp. X), en justifiant rigoureusement
votre réponse.
2° _ Dans cette partie, on suppose que p = 1
20.
) _ 
) _ Calculer les probabilités p(X = 0), p(X = 1) et p(X = 2).
) _ Calculer à 10  4 près la probabilité que  soit contrôlé au plus deux fois.
3° _ Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par
le fraudeur.
p = 1
5.
4° _ On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité que  subisse au
moins trois contrôles soit supérieure à 99%.
) _ Démontrer que p(X  2) = (1  p)38(741p² + 38p + 1).
) _ Soit f la fonction définie sur [0, 1] par : f(x) = (1  x)38(741x² + 38x + 1).
Montrer que f 
x0 f(x0) = 1
100.