0708 - fiche 2 - diviseurs et multiples

TaleS – Spé Math 2007-2008 0708 - fiche 2 - diviseurs et multiples
TaleS – Mathématiques (enseignement de spécialité)
Fiche n°2 : « Divisibilité dans  »
Le 13/09/2007
- Partie A : Diviseurs et multiples.
Exercice 1 : Vrai/Faux
Justifiez chacune de vos réponse par un contre-
exemple si « faux » ou par une preuve si « vrai ».
1) Si p divise n, alors p2 divise n2.
2) La somme de deux diviseurs d’un entier
divise cet entier.
3) Pour tout entier naturel, 2 divise 2n.
4) Si 2 divise 6n, alors 2 divise n.
Exercice 5
Déterminer le nombre de multiples de 11
compris entre – 40 et 80.
Exercice 6
Sans calculatrice, montrer que :
1) 17 divise 202 − 32.
5 divise 223 − 73.
Exercice 2
Trouver, à l’aide de la calculatrice, un entier
multiple de 7 ne s’écrivant qu’avec des 1.
Exercice 3
Déterminer un entier qui soit :
1) Un multiple commune de 12 et 25.
2) Un multiple commun de 29 et – 11.
Exercice 7
1)
Ecrire le nombre 999 964 sous la forme
106 − A.
2) Montrer alors, sans calculatrice, qu’il est
divisible par 1 006.
3) Déterminer, toujours sans calculatrice, un
diviseur de 99 999 879 compris entre 104 et 105.
Exercice 4
Trouver les couples d’entiers (x, y) vérifiant l’équation donnée :
1) xy= 5 2) (x + 1)(y − 1) = 5 3) xy = −10
4) (x + 2)(y − 3) = 12
5) x2y + xy2 = −12 6) x2y − xy2 = 5
- Partie B : règles sur la divisibilité.
Exercice 8
Soit n un entier non nul.
1) Montrer que, si un entier p divise à la fois
2n − 1 et n + 3, il divise 21.
2) En déduire les valeurs possibles de p.
Exercice 9
1) Vérifier que pour tout entier naturel n :
n2 + 2n + 2 = (n + 3)(n − 1) + 5.
2) Déterminer alors les entiers naturels n pour
lesquels n2 + 2n + 2
n + 3 est un entier.
Exercice 10
Soit n un entier naturel non nul.
1) Montrer que l’ensemble des diviseurs
communs à n2 + 1 et n3 − n n’est autre que
l’ensemble des diviseurs communs à 2 et n2 + 1.
2) En déduire l’ensemble des valeurs de n
pour lesquelles la fraction n3 − n
n2 + 1 est
irréductible.
On rappelle que la fraction A
B est irréductible si et
seulement si les seuls diviseurs communs à A et B sont
− 1 et 1.
Exercice 11
Pour quelles valeurs de l’entier n la fraction
n(n − 1)
n + 1 est-elle irréductible ?