TaleS – Mathématiques (enseignement de spécialité) Fiche n°2 : « Divisibilité dans » Le 13/09/2007 - Partie A : Diviseurs et multiples. Exercice 1 : Vrai/Faux Justifiez chacune de vos réponse par un contreexemple si « faux » ou par une preuve si « vrai ». 1) Si p divise n, alors p2 divise n2. 2) La somme de deux diviseurs d’un entier divise cet entier. 3) Pour tout entier naturel, 2 divise 2n. 4) Si 2 divise 6n, alors 2 divise n. Exercice 5 Déterminer le nombre de multiples de 11 compris entre – 40 et 80. Exercice 6 Sans calculatrice, montrer que : 1) 17 divise 202 − 32. 5 divise 223 − 73. Exercice 7 Exercice 2 Trouver, à l’aide de la calculatrice, un entier 1) Ecrire le nombre 999 964 sous la forme multiple de 7 ne s’écrivant qu’avec des 1. 106 − A. 2) Montrer alors, sans calculatrice, qu’il est Exercice 3 divisible par 1 006. Déterminer un entier qui soit : 3) Déterminer, toujours sans calculatrice, un 1) Un multiple commune de 12 et 25. diviseur de 99 999 879 compris entre 104 et 105. 2) Un multiple commun de 29 et – 11. Exercice 4 Trouver les couples d’entiers (x, y) vérifiant l’équation donnée : 1) xy= 5 2) (x + 1)(y − 1) = 5 3) xy = −10 4) (x + 2)(y − 3) = 12 5) x2y + xy2 = −12 6) x2y − xy2 = 5 - Partie B : règles sur la divisibilité. Exercice 10 Exercice 8 Soit n un entier non nul. Soit n un entier naturel non nul. 1) Montrer que, si un entier p divise à la fois 1) Montrer que l’ensemble des diviseurs 2n − 1 et n + 3, il divise 21. communs à n2 + 1 et n3 − n n’est autre que 2) En déduire les valeurs possibles de p. l’ensemble des diviseurs communs à 2 et n2 + 1. 2) En déduire l’ensemble des valeurs de n Exercice 9 n3 − n pour lesquelles la fraction est 1) Vérifier que pour tout entier naturel n : n2 + 1 2 n + 2n + 2 = (n + 3)(n − 1) + 5. irréductible. 2) Déterminer alors les entiers naturels n pour A On rappelle que la fraction est irréductible si et n2 + 2n + 2 B lesquels est un entier. n+3 seulement si les seuls diviseurs communs à A et B sont −1 et 1. Exercice 11 Pour quelles valeurs de l’entier n la fraction n(n − 1) est-elle irréductible ? n+1 TaleS – Spé Math 2007-2008 0708 - fiche 2 - diviseurs et multiples