Chapitre 1 THgORIES FORMELLES

Chapitre 1
THÉORIES FORMELLES
Nous allons donner dans ce chapitre une introduction rapide à la notion de théorie formelle
permettant de décrire les fondements de la Mathématique. Le but est de donner une formali-
sation , i.e. une codi…cation très précise, d’une partie de la “réalité”. On parle d’un modèle .
C’est un jeu avec des lettres et des mots se déroulant sur une feuille de papier, un tableau ou
dans un ordinateur. Le résultat d’un jeu correct est un théorème . On parle du point de vue
syntactique . L’interprétation de ce modèle consiste à donner un sens à ce jeu dans la réalité
de telle manière qu’un théorème en devienne une a¢ rmation considérée comme vraie. On parle
du point de vue sémantique .
Pour illustrer certains points, sous forme d’exemples ou d’exercices, nous utiliserons les
nombres réels tels qu’on les appréhende à l’école.
Version du 27 novembre 2001
Claude Portenier ANALYSE 1

1.1 Théories formelles
1.1 Théories formelles
Une expression est une suite …nie de symboles pris dans un alphabet . Une expression bien
formée est une expression obtenue à l’aide d’un ensemble …ni de règles de construction données.
Une règle d’inférence associe à certaines expressions bien formées une expression bien for-
mée, dite la conséquence directe de ces expressions par cette règle.
Une théorie formelle consiste à se donner les règles de construction des expressions bien
formées, un nombre …ni de règles d’inférence, un nombre …ni d’expressions bien formées, les
axiomes explicites et un nombre …ni de schémas d’axiomes, i.e. de règles permettant de créer
les axiomes implicites .
Une démonstration est une suite d’expressions bien formées telle que chaque expression
de cette suite soit ou bien un axiome, explicite ou implicite, ou bien la conséquence directe
d’expressions la précédant par une règle d’inférence de la théorie.
Un théorème est une expression bien formée appartenant à une démonstration.
2THÉORIES FORMELLES Claude Portenier

Théories logiques ou calcul des propositions 1.2
1.2 Théories logiques ou calcul des propositions
Une théorie est dite logique si les conditions minimales suivantes sont satisfaites :
(a) Son alphabet contient au moins les signes logiques :et _, ainsi que des parenthèses. Une
partie des règles de construction des expressions bien formées permettent de former ce que l’on
appelle les relations (ou propositions ). Parmi celles-ci …gurent les deux règles suivantes :
Si Aet Bsont des relations, alors
R1:(A)
R2(A)_(B)
sont des relations.
Nous supprimerons parfois les parenthèses super‡ues lorsque aucune confusion n’est à
craindre et nous utiliserons des parenthèses carrées ou des accolades si la lisibilité est augemen-
tée. Nous écrirons par exemple :A_Bà la place de (:(A))_(B). On introduit les abréviations
suivantes :
A)B::A_B
A^B::(:A_ :B)
A,B: (A)B)^(B)A).
(b) On peut appliquer la règle d’inférence dite du modus ponens :
MP Best la conséquence directe des deux relations Aet A)B.
On obtient immédiatement le métathéorème suivant en écrivant les démonstrations de A
et Brespectivement l’une derrière l’autre :
Syllogisme Si Aet A)Bsont des théorèmes, alors Best un théorème.
(c) Les schémas d’axiomes suivants font partie de la théorie :
Si A; B; C sont des relations, alors
L1(A)(A_A))A
L2(A; B)A)(A_B)
L3(A; B)(A_B))(B_A)
L4(A; B; C)(A)B))[(C_A))(C_B)]
sont des axiomes implicites.
EXEMPLE 1 Si une théorie logique est contradictoire , i.e. s’il existe une relation Atelle
que Aet :Asoient des théorèmes, alors toute relation est un théorème.
Un logicien écrira la démonstration suivante :
T h: :A
L2(:A; B):A)(:A_B)
MP :A_B
i:e: A)B
Claude Portenier THÉORIES FORMELLES 3

1.2 Théories logiques ou calcul des propositions
T h: A
MP B
Quant au mathématicien il écrira : En e¤et soit Bune relation quelconque. La relation
:A)(:A_B)
est un théorème d’après L2(:A; B), donc :A_Best aussi un théorème par syllogisme. Mais
cette dernière relation est A)B, donc Best un théorème à nouveau par syllogisme. 
Comme pour le syllogisme il est souvent utile d’interpréter un théorème sous forme de
métathéorème. C’est le cas par exemple de L4(B; C; :A).
EXEMPLE 2 Syllogisme hypothétique Si A; B; C sont des relations et si A)Bet
B)Csont des théorèmes, alors A)Cest un théorème.
D’après L4(B; C; :A), la relation (B)C))[(A)B))(A)C)] est un théorème,
d’où le résultat en appliquant deux fois le syllogisme, ce qui revient à écrire la démonstration
suivante :
T h: B)C
L4(B; C; :A)(B)C))[(A)B))(A)C)]
MP (A)B))(A)C)
T h: A)B
MP (A)C)
EXERCICE 1 Montrer, si A; B; C sont des relations, que les relations suivantes sont des
théorèmes :
(i) A)A
(ii) A_ :A
(iii) A) ::A
(iv) B)(A_B)
(v) A)(B)A)
(vi) (A)B))(:B) :A)
Démonstration de (i)
L2(A; A)A)(A_A)
L1(A)(A_A))A
Exemple 2A)A
Démonstration de (ii)
i:A_A
L3(:A; A)(:A_A))(A_ :A)
MP A_ :A
Démonstration de (iii)
4THÉORIES FORMELLES Claude Portenier

Théories logiques ou calcul des propositions 1.2
ii (:A):A_ ::A
i:e: A) ::A
Démonstration de (iv)
L2(B; A)B)(B_A)
L3(B; A)(B_A))(A_B)
Exemple 2B)(A_B)
Démonstration de (v)
L2(A; :B)A)(A_ :B)
L3(A; :B)(A_ :B))(:B_A)
Exemple 2A)(:B_A)
i:e: A)(B)A)
Démonstration de (vi)
L4(B; ::B; :A)(B) ::B))[(:A_B))(:A_ ::B)]
iii (B)B) ::B
MP (:A_B))(:A_ ::B)
L3(:A; ::B)(:A_ ::B))(::B_ :A)
Exemple 2(:A_B))(::B_ :A)
i:e: (A)B))(:B) :A)
EXERCICE 2 On a le métathéorème suivant : Si Aest un théorème et Bune relation, alors
A_Bet B)Asont des théorèmes.
Démonstration
T h: A
L2(A; B)A)A_B
MP A_B
Exercice 1:v (A; B)A)(B)A)
MP B)A
COMPLEMENTS On peut remplacer le signe logique _par )et on introduit les abré-
viations suivantes :
A_B::A)B
A^B::(A) :B)
A,B: (A)B)^(B)A)
Les schémas d’axiomes sont remplacés par les suivants :
Si A; B; C sont des relations, alors
L0
1(A; B)A)(B)A)
L0
2(A; B; C)[A)(B)C)] )[(A)B))(A)C)]
Claude Portenier THÉORIES FORMELLES 5