Exercices - Laurent Debize

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Unité 1
Séquence 2
Exercices
autocorrectifs
Séquence 2
Exercices autocorrectifs
Exercice 1
1. Effectuer la division euclidienne de a par b dans les cas suivants (précisez le reste et
le quotient):
a)
a = 2007 et b = 11 c) a = – 3321 et b = 9
b) a = 1322 et b = 9 d) a = – 523 et b = 11
2. Vérifier que: 197 720 = 341 × 578 + 622
Effectuer, sans la poser et sans calculatrice, la division euclidienne de 197 720, par
a) 341 b) par 578
Exercice 2
1. Dans la division euclidienne de deux entiers naturels, le reste est 13 et le dividende
est 75.
Déterminer toutes les valeurs possibles du quotient et du diviseur.
2. Le diviseur d’une division euclidienne est 45. Le reste est égal au carré du quotient.
Déterminer toutes les valeurs du dividende D (entier positif) de cette division.
Exercice 3
1. Déterminer un entier x positif, qui, divisé par 23 donne pour reste1 et qui, divisé par
17 donne le même quotient et 13 pour reste.
2. On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b (a > 0) .
Déterminer q sachant que q et r ne changent pas lorsqu’on augmente a de 52 et b de 4.
Donner un exemple d’une telle division satisfaisant cette condition.
Exercice 4
Donner la liste des diviseurs de 540.
Exercice 5
1. On appelle diviseur strict d’un nombre entier naturel, tout diviseur positif de ce
nombre, différent du nombre lui-même.
Déterminer tous les entiers naturels diviseurs stricts de 220.
2. On dit que deux entiers naturels sont amiables si chacun d’eux est égal à la somme des
entiers naturels diviseurs stricts de l’autre.
Vérifier que 220 et 284 sont amiables.
3. On dit qu’ un nombre est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs stricts.
Montrer que 28 est parfait.

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Exercices
autocorrectifs
Exercice 6
1. Montrer que la somme de deux entiers impairs est un entier pair.
2. Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
Cette somme est-elle toujours un multiple de 4? De 6?
3. Montrer que l’entier qui précède le carré d’un nombre impair est divisible par 4.
4. Soit n un entier naturel tel que n² soit un nombre pair. Le nombre n peut-il être impair?
Exercice 7
z y x désigne le nombre formé de 3 chiffres: x, y, z (x est le chiffre des unités, y est le
chiffre des dizaines, z est le chiffre des centaines).
Par exemple : N = 265 : x = 5 ; y = 6 et z = 2 et N = 5 + (6 × 10) + (2 × 100)
1. Écrire en fonction de a: 2a ; 1a5
2. Les nombres qui s'écrivent aa sont tous divisibles par un autre nombre que 1. Lequel?
3. Pourquoi les nombres qui s’écrivent aaa sont-ils tous divisibles par 37?
Exercice 8
x et y sont deux entiers tels que x > y.
1. Montrer que si x2 – y2 = 7 alors x + y et x – y sont des diviseurs de 7.
2. Déterminer alors toutes les valeurs possibles de x et de y tels que x2 – y2 = 7.
Exercice 9
Critère de divisibilité par 9.
1. Le nombre 2435 est-il divisible par 9?
2. On pose: N = abcd un nombre de 4 chiffres (noté comme ceux de l’exercice7).
On appelle s la somme de ces chiffres: s = a + b + c + d.
Montrer que N peut s’écrire sous la forme: N = 9 k + s où k désigne un entier naturel.
3. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si la somme s de ses chiffres est
divisible par 9.
4. Les nombres X et Y suivants sont-ils divisibles par 5? Par 9? par 45?: X = 6390 ;
Y = 6776.
Exercice 10
(Les questions sont indépendantes les unes des autres.)
1. Les nombres suivants sont-ils premiers?: 25 ; 345 ; 1023; 3659; 4987
2. Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants:
A = 1080 B = 63 × 37 C = 363 × 382 D = (2 × 32 × 17)2 ×(25 × 24)5
3. On pose : x = 24 ×35 ×5 × 72 ×11 et y = 23 ×32 ×7 ×11
Monter que x est divisible par y. Quel est le quotient de la division de x par y?
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Unité 1
Séquence 2
Exercices
autocorrectifs
Quel est le plus petit entier naturel par lequel il faut multiplier x pour obtenir le carré
d’un entier naturel?
Exercice 11
En employant laméthode de l’arbre vue dans le cours, déterminer tous les diviseurs de
5096. Combien en trouvez-vous?
Exercice 12
Sans les déterminer tous, calculer le nombre de diviseurs de 3600? De 21168?
Exercice 13
Voici un algorithme: (l’écriture E(a) signifie: partie entière de a)
Entrer a
Tant que a est divisible par 2
Afficher 2; pause
a
2 ĺ a
Fin tant que.
E(a) ĺ n
Pour k allant de 3 à n avec un pas de 2
Tant que a est divisible par k
Afficher k; pause
a
k ĺ a
Fin Tant que.
Fin pour.
Si a  1
Alors afficher a
Fin Si .
1. Choisir a = 60 et faire «tourner» cet algorithme.
Quels résultats s’affichent?
2. Que permet de faire cet algorithme?
Exercice 14
Soit n un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiers est: n = pa × qb
1. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n.
2. Calculer la somme des diviseurs positifs de n.
Indication: vous pourrez commencer par étudier un exemple: n = 23 × 52
Exercice 15
Calculer le PGCD ( 7128 ; 12 896 ) avec l’algorithme d’Euclide.

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Unité 1
Séquence 2
Exercices
autocorrectifs
Exercice 16
Déterminer tous les couples d’entiers naturels ( x ; y ) tels que: {
x + y = 144
PGCD ( x ; y ) = 18
Exercice 17
Trouver les entiers naturels non nuls, a, tels que: a < 225 et PGCD ( a ; 225 ) = 45
Exercice 18
Soit n un entier naturel.
Démontrer que la fraction: 11n + 3
7n + 2 est irréductible.
Indication: a et b étant deux entiers non nuls, une fraction a
b est irréductible lorsque a
et b sont premiers entre eux, c’est-à-dire lorsque PGCD ( a, b ) = 1.
Exercice 19
1. Dans chaque cas, simplifier la congruence:
a) a ≡ 30 757 ( mod 10 )
b) b ≡ 15 163 ( mod 10 )
c) c ≡ 12 924 ( mod 10 )
2. En déduire à quel entier naturel compris entre 0 et 9, chaque nombre ci-dessous est
congru modulo 10.
a) a + b + c b) a – b + c c) a + b – c
d) abc e) ab + bc + ca f) a2 + b2 + c2
Exercice 20
Quel est le reste de la division euclidienne de 121527 par 5?
Exercice 21
Quel est le reste de la division euclidienne de 1653351 + 43137 par 11?
Exercice 22
x et y désignent des entiers naturels. ( E ) est l’équation7x2 + 2y3 = 3
1. Compléter le tableau.
y ≡ ... ( mod 7 ) 0123456
y3 ≡ ... ( mod 7 )
2y3 ≡ ... ( mod 7 )
2y3– 3 ≡ ... ( mod 7 )
2. En déduire que l’équation ( E ) n’a pas de solution.
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