Corrigé

Universités d’Aix-Marseille 1, 2 et 3
PARTIEL D’ANALYSE ET GÉOMÉTRIE
MASTER 1 - MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS - 2008-09
Mercredi 5 novembre 2008 - 8h30 – 10h30
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la note finale.
Question de cours
(Hyp)
Soit X un espace vectoriel de dimension n, soit Y un espace vectoriel de dimension
m ≥ n, soit U un ouvert de X. Soit f : U → Y un plongement. On note
M = f (U ). Soit a ∈ M , a = f (α) pour un α ∈ U .
1. Soit x ∈ X, x 6= 0. Montrer qu’il existe ε > 0 tel que l’application g définie sur ] − ε, ε[ par
g(t) = α + tx prend ses valeurs dans U .
2. On note γ = f ◦ g : ] − ε, ε[→ Y . Montrer que γ(t) ∈ M pour tout t ∈] − ε, ε[. Déterminer
γ(0) et γ 0 (0) en fonction de f , α, a et x.
3. En déduire que df (α)(x) ∈ Ta M .
4. Montrer alors que sous les hypothèses (Hyp), on a Ta M = df (α)X = {df (α)(x), x ∈ X}.
Corrigé. 1. Comme U est ouvert et α ∈ U , il existe δ > 0 tel que B(α, δ) ⊂ U . Il suffit de prendre
δ
ε = |x|
pour répondre à la question.
2. Comme g(t) ∈ U pour tout t ∈] − ε, ε[, γ(t) = f (g(t)) ∈ f (U ) = M pour tout t ∈] − ε, ε[. On
a γ(0) = f (α) = a et comme f est de classe C 1 sur U et g est de classe C 1 sur ] − ε, ε[, γ est
dérivable sur ] − ε, ε[ et on a γ 0 (0) = df (g(0)) · g 0 (0) = df (a) · x.
3. D’après la définition du plan tangent en M au point a (l’ensemble des dérivées des chemins de
classe C 1 tracés sur M ), on a df (a) · x = γ 0 (0) ∈ Ta M .
4. D’après le cours, on sait que Ta M est un sous-espace vectoriel de dimension n de Y (n est
aussi la dimension de la sous-variété M ). Comme le rang de df (α) est n, l’ensemble df (α)X =
{df (α) · x; x ∈ X} est un sous-espace vectoriel de dimension n de Y . On a donc deux sous-espaces
vectoriels de même dimension dont l’un (df (α)X) est inclus dans l’autre (Ta M ), ils sont donc
égaux.
Exercice 1.
1. On note f : R → R3 l’application définie par ses coordonnées dans la base canonique de
R3 par f (t) = (cos t, sin t, t).
(a) Montrer que f est un plongement de R3 . On note H = f (R).
(b) Déterminer φ : R3 → R3 un C 1 −difféomorphisme tel que
φ(H) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = y = 0}.
Que représente φ pour un point a ∈ H ?
(c) Pour a ∈ H, déterminer l’espace tangent à H au point a.
2. On note M l’ensemble des droites passant par un point de H et orthogonales à l’axe 0z.
(a) Montrer que M = {(s cos t, s sin t, t), s, t ∈ R} et que M est une sous-variété de dimension 2 de R3 .
(b) Trouver ϕ : R3 → R une application de classe C 1 telle que 0 soit une valeur régulière
de ϕ et M = ϕ−1 ({0}).
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(c) Soit A ∈ M . Déterminer TA M , le plan tangent à M au point A.
(d) Déterminer (A + TA M ) ∩ M , l’intersection entre M et le plan tangent affine à M au
point A.
Corrigé. 1. (a) Clairement, l’application f proposée est de classe C ∞ . D’autre part, f 0 (t) =
(− sin t, cos t, 1) 6= 0 donc f est une immersion. Enfin, l’application H → R, (x, y, z) 7→ z est
continue et inverse de f , donc f est un homéomorphisme de R sur H. On vient donc de montrer
que f est un plongement.
1. (b) La démonstration du Théorème 2.8 (Chap. 1) du cours suggère de prendre pour φ l’application définie sur R3 par φ = F −1 où F (x, y, z) = (x + cos z, y + sin z, z). F est bien une application
de classe C 1 de R3 dans R3 . De plus, det(dF (x, y, z)) = 1 pour tout (x, y, z) ∈ R3 , donc F est un
difféomorphisme de R3 sur F (R3 ). Enfin, il faut montrer que F (R3 ) = R3 : pour tout (a, b, c) ∈ R3 ,
en posant z = c, y = b − sin c et x = a − cos c, on a bien F (x, y, z) = (a, b, c). On a donc montré
que F : R3 → R3 est un C 1 −difféomorphisme, il en est de même pour φ = F −1 : R3 → R3 ,
(a, b, c) 7→ (a − cos c, b − sin c, c). De plus, on a
φ(H) = {φ(cos t, sin t, t), t ∈ R} = {(0, 0, t), t ∈ R} = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = y = 0}.
Une telle application φ est une carte locale pour H en tout point a de H.
1. (c) D’après la question de cours ci-dessus, on a pour tout a = f (t) ∈ H (t ∈ R),

 x = −λ sin t
y = λ cos t , λ ∈ R.
Ta H = df (t)R =

z = λ
C’est l’équation paramétrique d’une droite.
2. (a) Une droite passant par un point (cos t, sin t, t) ∈ H et orthogonale à l’axe Oz a pour vecteur
directeur v = (cos t, sin t, 0) et donc a pour équations paramétriques

 x = cos t + λ cos t
y = sin t + λ sin t , λ ∈ R.

z = t
En posant s = λ + 1 ∈ R, et en prenant la réunion de toutes les droites de ce type (c’est-à-dire en
considérant tous les t ∈ R) on obtient l’expression donnée pour M .
Pour montrer que M est une sous-variété de dimension 2 de R3 , il faut encore montrer que
l’application g : R2 → R3 définie par g(s, t) = (s cos t, s sin t, t) est un plongement. L’application g
est clairement de classe C 1 et


cos t −s sin t
dg(s, t) =  sin t s cos t  , s, t ∈ R.
0
1
Si s 6= 0, le mineur constitué des deux premières lignes de la matrice ci-dessus est non nul, dg(s, t)
est donc de rang 2. Si s = 0, alors dg(0, t) est formée, en colonnes, de deux vecteurs orthogonaux
non nuls, le rang de dg(0, t) est donc aussi égal à 2. Ainsi, l’application g est une immersion.
Montrons maintenant que g est un homéomorphisme sur son image M . Soit h l’application définie
sur M à valeurs dans R2 définie par h(x, y, z) = ( siny z , z) si z ∈ R \ πZ et h(x, y, kπ) = ((−1)k x, kπ)
pour k ∈ Z. Clairement, h ◦ g(s, t) = (s, t) pour tout s, t ∈ R. Il reste à montrer la continuité de h
sur R2 . La continuité de h sur M ∩ R2 × R \ πZ ne pose pas de problème. Il faut cependant encore
montrer la continuité de h sur M ∩ {(x, y, kπ), x, y ∈ R, k ∈ Z} = {((−1)k s, 0, kπ), s ∈ R, k ∈ Z}.
Lorsque (x, y, z) ∈ M et z ∈]kπ, (k + 21 )π[ ou z ∈](k − 21 )π, kπ[, on a cosx z = siny z et donc lorsque
z → kπ ± , on a siny z → (−1)k x, ce qui donne la continuité de la fonction h définie plus haut. Ainsi,
g est un plongement de R2 dans R3 , donc M = g(R2 ) est une sous-variété de dimension 2 de R3 .
2. (b) Soit ϕ : R3 → R définie par ϕ(x, y, z) = x sin z − y cos z. Cette application est clairement
de classe C 1 et pour tout (x, y, z) ∈ M , on a ϕ(x, y, z) = 0 : M ⊂ ϕ−1 ({0}). Inversement, soit
(x, y, z) ∈ R3 tel que ϕ(x, y, z) = 0. Alors si z ∈ R\πZ, en posant s = siny z et t = z, on a x = s cos t,
y = s sin t et z = t, et donc (x, y, z) ∈ M . Si z = kπ avec k ∈ Z, alors ϕ(x, y, kπ) = (−1)k+1 y, ce qui
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donne y = 0 pour un point (x, y, kπ) ∈ ϕ−1 ({0}). En posant s = (−1)k x et t = z = kπ, on obtient
x = s cos t, y = s sin t et z = t, ce qui donne (x, y, z) ∈ M , et donc l’inclusion ϕ−1 ({0}) ⊂ M . D’où
M = ϕ−1 ({0}).
Pour (x, y, z) = (s cos t, s sin t, t) ∈ M , on a dϕ(x, y, z)(h) = h1 sin t − h2 cos t + h3 s pour tout
h = (h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 . Ainsi, tout réel r est image de h = (r sin t, −r cos t, 0) par dϕ(x, y, z), ce qui
montre que dϕ(x, y, z) est surjective pour tout (x, y, z) ∈ M , et donc 0 est valeur régulière de ϕ.
2. (c) D’après le cours, le plan tangent à M en un point A = (a, b, c) = g(s, t) ∈ M = ϕ−1 ({0})
est ker dϕ(a, b, c), c’est à dire le plan vectoriel d’équation cartésienne x sin t − y cos t + zs = 0.
2. (d) Avec les mêmes notations que dans la question précédente, le plan affine tangent A + TA M
à M au point A a pour équation cartésienne (x − a) sin t − (y − b) cos t + (z − c)s = 0, ou encore
x sin t − y cos t + sz = st. L’intersection de ce plan avec la surface M est donc l’ensemble des points
(x, y, z) ∈ R3 vérifiant
x sin t − y cos t + sz = st
x sin z − y cos z = 0.
On voit facilement (!) que tout point de
A, d’équations paramétriques

 x
y

z
la droite orthogonale à (et coupant) l’axe 0z passant par
= s cos t + λ cos t
= s sin t + λ sin t
= t
vérifie le système précédent. Donc l’intersection cherchée contient cette droite.
Exercice 2 (Décomposition de Cartan du groupe linéaire).
On suppose que Rn est muni de sa structure euclidienne canonique ; on note le produit scalaire
h·, ·i et la norme | · |. On dit qu’un endomorphisme symétrique S de Rn (on note S ∈ Sym(n)) est
positif si hSx, xi ≥ 0 pour tout x ∈ Rn . On dit que S est strictement positif si hSx, xi > 0 pour
tout x ∈ Rn , x 6= 0.
1. (a) Montrer que si S ∈ Sym(n) est strictement positif, alors S est inversible.
(b) Montrer qu’un endomorphisme symétrique S est strictement positif si et seulement il
existe k > 0 tel que
hSx, xi ≥ k|x|2 ,
x ∈ Rn .
(c) En déduire que l’ensemble des endomorphismes symétriques strictement positifs est
un ouvert de Sym(n) que l’on notera U .
2. Soit φ : Mn (R) → Mn (R) l’application définie par φ(S) = S 2 . Montrer que φ est un
C 1 −difféomorphisme de U sur U .
3. On note GL(n) le groupe linéaire de Mn (R), c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismes
inversibles de Rn . On note O(n) le groupe orthogonal de Mn (R), c’est-à-dire l’ensemble
des endomorphismes A de Rn inversibles tels que A> A = In , In représentant l’identité de
Rn .
(a) Soit ψ : O(n) × Sym(n) → Mn (R) l’application définie par ψ(A, S) = AS. Montrer
que ψ est de classe C 1 . Donner un expression de dψ(A, S).
(b) Montrer que pour tout M ∈ GL(n), on a M = ψ(A, S) avec S ∈ U et A ∈ O(n). On
exprimera A et S en fonction de M , M > et φ.
(c) En déduire que ψ est un C 1 −difféomorphisme de O(n) × U sur GL(n).
Corrigé. 1. (a) Si S est symétrique strictement positif, alors S est injective. En effet, soit x ∈ Rn
tel que Sx = 0 alors on a hSx, xi = 0 ; or, pour un endomorphisme symétrique strictement positif,
hSx, xi = 0 seulement si x = 0. Ainsi, S est un endomorphisme injectif, il est donc bijectif, S est
inversible.
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1. (b) On pose m = inf hSx, xi. Comme la sphère unité Sn est un compact de Rn et que
|x|=1
x∈Rn
n
S
→ R
est continue, m est un minimum et donc il existe x0 ∈ Sn
x 7→ hSx, xi
tel que m = hSx0 , x0 i > 0. On a alors pour tout x ∈ Rn , hSx, xi ≥ m|x|2 , ce qui répond à la
question avec k = m.
1. (c) Soit S un endomorphisme symétrique strictement positif et k = inf hSx, xi. On considère
l’application
|x|=1
x∈Rn
la boule ouverte de centre S et de rayon k dans Sym(n) :
n
o
BSym(n) (S; k) = S + K; K ∈ Sym(n) et sup |Kx| < k .
|x|=1
x∈Rn
Alors il est facile de voir que BSym(n) (S; k) ⊂ U , et donc U est un ouvert de Sym(n). En effet, on
a pour tout S + K ∈ BSym(n) (S; k) et tout x 6= 0
h(S + K)x, xi = hSx, xi + hKx, xi ≥ k|x|2 − sup |Ky| |x|2 > 0.
|y|=1
y∈Rn
2. L’application φ proposée est un polynôme, donc clairement de classe C 1 . D’autre part, si S est
dans U , alors S est symétrique et donc S 2 l’est aussi, et S est inversible, donc S 2 l’est aussi. Donc
φ(S) ∈ U pour tout S ∈ U . De plus, dφ(S)(H) = SH + HS pour tout H ∈ Mn (R). Montrons que
dφ(S) est injective. Supposons que H ∈ Mn (R) tel que dφ(S)(H) = 0. Soit x un vecteur propre
de S pour une valeur propre λ. Alors on a SHx = −HSx = −λHx : donc Hx, s’il est non nul, est
vecteur propre de S pour la valeur propre −λ. Comme S est symétrique strictement positif, ses
valeurs propres sont strictement positives. Ainsi, nécessairement Hx = 0 et ce, pour tout vecteur
propre de S. Comme S est symétrique, il existe une base de Rn formée de vecteurs propres de S,
et on vient de montrer que H est nulle sur cette base, donc nécessairement, H = 0. Ainsi, pour
S ∈ U , dφ(S) est un endomorphisme de Mn (R) injectif, c’est donc un isomorphisme. D’après le
théorème d’inversion locale, φ est un C 1 −difféomorphisme de U sur φ(U ). Il reste à montrer que
φ(U ) = U . Soit S ∈ U ; alors S est diagonalisable dans une base de vecteurs propres (e1 , ..., en ),
les valeurs propres associées (λ1 , ..., λn ) étant toutes réelles strictement√positives. On considère
alors l’endomorphisme u de Rn défini sur la base (e1 , ..., en ) par u(ei ) = λi ei , i = 1, ..., n ; u ∈ U
et φ(u) = u2 = S. Ainsi, φ(U ) = U .
3. (a) L’application ψ : O(n) × Sym(n) → Mn (R), (A, S) 7→ AS est de classe C 1 . En effet, pour
(A, S) ∈ O(n) × Sym(n) et (B, T ) ∈ O(n) × Sym(n), on a
ψ(A + B, S + T ) = (A + B)(S + T ) = AS + BS + AT + BT = ψ(A, S) + L(A,S) (B, T ) + BT,
où L(A,S) : O(n) × Sym(n) → Mn (R), L(A,S) (B, T ) = BS + AT est linéaire et BT est un terme
d’ordre 2 en (B, T ). Ceci montre que ψ est différentiable en (A, S) et que dψ(A, S) = L(A,S) .
D’autre part, il n’est pas difficile de voir que dψ : O(n) × Sym(n) → L (O(n) × Sym(n); Mn (R))
définie par dψ(A, S) = L(A,S) est continue.
3. (b) Soit M ∈ GL(n). Alors on a T = M > M ∈ U car symétrique, positive et inversible. On
note S = φ−1 (T ) et A = M S −1 . Alors S ∈ U d’après la question 2 et A> A = (S −1 )> M > M S −1 =
(S > )−1 S 2 S −1 = In car M > M = T = φ(S) = S 2 et comme S est symétrique, S > = S. Ainsi,
A ∈ O(n). On a donc M = ψ(M (φ−1 (M > M ))−1 ; φ−1 (M > M )).
3. (c) On déduit de la question précédente que ψ est inversible de O(n) × U sur GL(n), d’inverse
donné par
(
GL(n) −→ O(n)
×U
M 7−→
M (φ−1 (M > M ))−1 , φ−1 (M > M ) .
D’après ce qui précède, il est clair que cet inverse est de classe C 1 . Ainsi, ψ est un C 1 −difféomorphisme.