Corrigé

Universit´es d’Aix-Marseille 1, 2 et 3
PARTIEL D’ANALYSE ET G´ EOM´ ETRIE
MASTER 1 - MATH´ EMATIQUES ET APPLICATIONS - 2008-09
Mercredi 5 novembre 2008 - 8h30 – 10h30
La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la note finale.
Question de cours
(Hyp) Soit Xun espace vectoriel de dimension n, soit Yun espace vectoriel de dimension
m≥n, soit Uun ouvert de X. Soit f:U→Yun plongement. On note
M=f(U). Soit a∈M,a=f(α) pour un α∈U.
1. Soit x∈X,x6= 0. Montrer qu’il existe ε > 0 tel que l’application gd´efinie sur ] −ε, ε[ par
g(t) = α+tx prend ses valeurs dans U.
2. On note γ=f◦g: ] −ε, ε[→Y. Montrer que γ(t)∈Mpour tout t∈]−ε, ε[. D´eterminer
γ(0) et γ0(0) en fonction de f,α,aet x.
3. En d´eduire que df(α)(x)∈TaM.
4. Montrer alors que sous les hypoth`eses (Hyp), on a TaM=df (α)X={df (α)(x), x ∈X}.
Corrig´e. 1. Comme Uest ouvert et α∈U, il existe δ > 0 tel que B(α, δ)⊂U. Il suffit de prendre
ε=δ
|x|pour r´epondre `a la question.
2. Comme g(t)∈Upour tout t∈]−ε, ε[, γ(t) = f(g(t)) ∈f(U) = Mpour tout t∈]−ε, ε[. On
aγ(0) = f(α) = aet comme fest de classe C1sur Uet gest de classe C1sur ] −ε, ε[, γest
d´erivable sur ] −ε, ε[ et on a γ0(0) = df(g(0)) ·g0(0) = df(a)·x.
3. D’apr`es la d´efinition du plan tangent en Mau point a(l’ensemble des d´eriv´ees des chemins de
classe C1trac´es sur M), on a df (a)·x=γ0(0) ∈TaM.
4. D’apr`es le cours, on sait que TaMest un sous-espace vectoriel de dimension nde Y(nest
aussi la dimension de la sous-vari´et´e M). Comme le rang de df(α) est n, l’ensemble df(α)X=
{df (α)·x;x∈X}est un sous-espace vectoriel de dimension nde Y. On a donc deux sous-espaces
vectoriels de mˆeme dimension dont l’un (df (α)X) est inclus dans l’autre (TaM), ils sont donc
´egaux. 
Exercice 1.
1. On note f:R→R3l’application d´efinie par ses coordonn´ees dans la base canonique de
R3par f(t) = (cos t, sin t, t).
(a) Montrer que fest un plongement de R3. On note H=f(R).
(b) D´eterminer φ:R3→R3un C1−diff´eomorphisme tel que
φ(H) = {(x, y, z)∈R3;x=y= 0}.
Que repr´esente φpour un point a∈H?
(c) Pour a∈H, d´eterminer l’espace tangent `a Hau point a.
2. On note Ml’ensemble des droites passant par un point de Het orthogonales `a l’axe 0z.
(a) Montrer que M={(scos t, s sin t, t), s, t ∈R}et que Mest une sous-vari´et´e de di-
mension 2 de R3.
(b) Trouver ϕ:R3→Rune application de classe C1telle que 0 soit une valeur r´eguli`ere
de ϕet M=ϕ−1({0}).

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(c) Soit A∈M. D´eterminer TAM, le plan tangent `a Mau point A.
(d) D´eterminer (A+TAM)∩M, l’intersection entre Met le plan tangent affine `a Mau
point A.
Corrig´e. 1. (a) Clairement, l’application fpropos´ee est de classe C∞. D’autre part, f0(t) =
(−sin t, cos t, 1) 6= 0 donc fest une immersion. Enfin, l’application H→R, (x, y, z)7→ zest
continue et inverse de f, donc fest un hom´eomorphisme de Rsur H. On vient donc de montrer
que fest un plongement.
1. (b) La d´emonstration du Th´eor`eme 2.8 (Chap. 1) du cours sugg`ere de prendre pour φl’applica-
tion d´efinie sur R3par φ=F−1o`u F(x, y, z) = (x+ cos z, y + sin z, z). Fest bien une application
de classe C1de R3dans R3. De plus, det(dF (x, y, z)) = 1 pour tout (x, y, z)∈R3, donc Fest un
diff´eomorphisme de R3sur F(R3). Enfin, il faut montrer que F(R3) = R3: pour tout (a, b, c)∈R3,
en posant z=c,y=b−sin cet x=a−cos c, on a bien F(x, y, z) = (a, b, c). On a donc montr´e
que F:R3→R3est un C1−diff´eomorphisme, il en est de mˆeme pour φ=F−1:R3→R3,
(a, b, c)7→ (a−cos c, b −sin c, c). De plus, on a
φ(H) = {φ(cos t, sin t, t), t ∈R}={(0,0, t), t ∈R}={(x, y, z)∈R3;x=y= 0}.
Une telle application φest une carte locale pour Hen tout point ade H.
1. (c) D’apr`es la question de cours ci-dessus, on a pour tout a=f(t)∈H(t∈R),
TaH=df (t)R=
x=−λsin t
y=λcos t
z=λ
, λ ∈R.
C’est l’´equation param´etrique d’une droite.
2. (a) Une droite passant par un point (cos t, sin t, t)∈Het orthogonale `a l’axe Oz a pour vecteur
directeur v= (cos t, sin t, 0) et donc a pour ´equations param´etriques
x= cos t+λcos t
y= sin t+λsin t
z=t
, λ ∈R.
En posant s=λ+ 1 ∈R, et en prenant la r´eunion de toutes les droites de ce type (c’est-`a-dire en
consid´erant tous les t∈R) on obtient l’expression donn´ee pour M.
Pour montrer que Mest une sous-vari´et´e de dimension 2 de R3, il faut encore montrer que
l’application g:R2→R3d´efinie par g(s, t)=(scos t, s sin t, t) est un plongement. L’application g
est clairement de classe C1et
dg(s, t) = 
cos t−ssin t
sin t s cos t
0 1 
, s, t ∈R.
Si s6= 0, le mineur constitu´e des deux premi`eres lignes de la matrice ci-dessus est non nul, dg(s, t)
est donc de rang 2. Si s= 0, alors dg(0, t) est form´ee, en colonnes, de deux vecteurs orthogonaux
non nuls, le rang de dg(0, t) est donc aussi ´egal `a 2. Ainsi, l’application gest une immersion.
Montrons maintenant que gest un hom´eomorphisme sur son image M. Soit hl’application d´efinie
sur M`a valeurs dans R2d´efinie par h(x, y, z)=( y
sin z, z) si z∈R\πZet h(x, y, kπ) = ((−1)kx, kπ)
pour k∈Z. Clairement, h◦g(s, t)=(s, t) pour tout s, t ∈R. Il reste `a montrer la continuit´e de h
sur R2. La continuit´e de hsur M∩R2×R\πZne pose pas de probl`eme. Il faut cependant encore
montrer la continuit´e de hsur M∩ {(x, y, kπ), x, y ∈R, k ∈Z}={((−1)ks, 0, kπ), s ∈R, k ∈Z}.
Lorsque (x, y, z)∈Met z∈]kπ, (k+1
2)π[ ou z∈](k−1 2)π, kπ[, on a x cos z=y sin zet donc lorsque
z→kπ±, on a y
sin z→(−1)kx, ce qui donne la continuit´e de la fonction hd´efinie plus haut. Ainsi,
gest un plongement de R2dans R3, donc M=g(R2) est une sous-vari´et´e de dimension 2 de R3.
2. (b) Soit ϕ:R3→Rd´efinie par ϕ(x, y, z) = xsin z−ycos z. Cette application est clairement
de classe C1et pour tout (x, y, z)∈M, on a ϕ(x, y, z) = 0 : M⊂ϕ−1({0}). Inversement, soit
(x, y, z)∈R3tel que ϕ(x, y, z) = 0. Alors si z∈R\πZ, en posant s=y
sin zet t=z, on a x=scos t,
y=ssin tet z=t, et donc (x, y, z)∈M. Si z=kπ avec k∈Z, alors ϕ(x, y, kπ)=(−1)k+1y, ce qui

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donne y= 0 pour un point (x, y, kπ)∈ϕ−1({0}). En posant s= (−1)kxet t=z=kπ, on obtient
x=scos t,y=ssin tet z=t, ce qui donne (x, y, z)∈M, et donc l’inclusion ϕ−1({0})⊂M. D’o`u
M=ϕ−1({0}).
Pour (x, y, z) = (scos t, s sin t, t)∈M, on a dϕ(x, y, z)(h) = h1sin t−h2cos t+h3spour tout
h= (h1, h2, h3)∈R3. Ainsi, tout r´eel rest image de h= (rsin t, −rcos t, 0) par dϕ(x, y, z), ce qui
montre que dϕ(x, y, z) est surjective pour tout (x, y, z)∈M, et donc 0 est valeur r´eguli`ere de ϕ.
2. (c) D’apr`es le cours, le plan tangent `a Men un point A= (a, b, c) = g(s, t)∈M=ϕ−1({0})
est ker dϕ(a, b, c), c’est `a dire le plan vectoriel d’´equation cart´esienne xsin t−ycos t+zs = 0.
2. (d) Avec les mˆemes notations que dans la question pr´ec´edente, le plan affine tangent A+TAM
`a Mau point Aa pour ´equation cart´esienne (x−a) sin t−(y−b) cos t+ (z−c)s= 0, ou encore
xsin t−ycos t+sz =st. L’intersection de ce plan avec la surface Mest donc l’ensemble des points
(x, y, z)∈R3v´erifiant
xsin t−ycos t+sz =st
xsin z−ycos z= 0.
On voit facilement (!) que tout point de la droite orthogonale `a (et coupant) l’axe 0zpassant par
A, d’´equations param´etriques
x=scos t+λcos t
y=ssin t+λsin t
z=t
v´erifie le syst`eme pr´ec´edent. Donc l’intersection cherch´ee contient cette droite. 
Exercice 2 (D´ecomposition de Cartan du groupe lin´eaire).
On suppose que Rnest muni de sa structure euclidienne canonique ; on note le produit scalaire
h·,·i et la norme |·|. On dit qu’un endomorphisme sym´etrique Sde Rn(on note S∈Sym(n)) est
positif si hSx, xi ≥ 0 pour tout x∈Rn. On dit que Sest strictement positif si hSx, xi>0 pour
tout x∈Rn,x6= 0.
1. (a) Montrer que si S∈Sym(n) est strictement positif, alors Sest inversible.
(b) Montrer qu’un endomorphisme sym´etrique Sest strictement positif si et seulement il
existe k > 0 tel que
hSx, xi ≥ k|x|2, x ∈Rn.
(c) En d´eduire que l’ensemble des endomorphismes sym´etriques strictement positifs est
un ouvert de Sym(n) que l’on notera U.
2. Soit φ:Mn(R)→Mn(R) l’application d´efinie par φ(S) = S2. Montrer que φest un
C1−diff´eomorphisme de Usur U.
3. On note GL(n) le groupe lin´eaire de Mn(R), c’est-`a-dire l’ensemble des endomorphismes
inversibles de Rn. On note O(n) le groupe orthogonal de Mn(R), c’est-`a-dire l’ensemble
des endomorphismes Ade Rninversibles tels que A>A=In,Inrepr´esentant l’identit´e de
Rn.
(a) Soit ψ:O(n)×Sym(n)→Mn(R) l’application d´efinie par ψ(A, S) = AS. Montrer
que ψest de classe C1. Donner un expression de dψ(A, S).
(b) Montrer que pour tout M∈GL(n), on a M=ψ(A, S) avec S∈Uet A∈O(n). On
exprimera Aet Sen fonction de M,M>et φ.
(c) En d´eduire que ψest un C1−diff´eomorphisme de O(n)×Usur GL(n).
Corrig´e. 1. (a) Si Sest sym´etrique strictement positif, alors Sest injective. En effet, soit x∈Rn
tel que Sx = 0 alors on a hSx, xi= 0 ; or, pour un endomorphisme sym´etrique strictement positif,
hSx, xi= 0 seulement si x= 0. Ainsi, Sest un endomorphisme injectif, il est donc bijectif, Sest
inversible.

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1. (b) On pose m= inf
|x|=1
x∈RnhSx, xi. Comme la sph`ere unit´e Snest un compact de Rnet que
l’application Sn→R
x7→ hSx, xiest continue, mest un minimum et donc il existe x0∈Sn
tel que m=hSx0, x0i>0. On a alors pour tout x∈Rn,hSx, xi ≥ m|x|2, ce qui r´epond `a la
question avec k=m.
1. (c) Soit Sun endomorphisme sym´etrique strictement positif et k= inf
|x|=1
x∈RnhSx, xi. On consid`ere
la boule ouverte de centre Set de rayon kdans Sym(n) :
BSym(n)(S;k) = nS+K;K∈Sym(n) et sup
|x|=1
x∈Rn
|Kx|< ko.
Alors il est facile de voir que BSym(n)(S;k)⊂U, et donc Uest un ouvert de Sym(n). En effet, on
a pour tout S+K∈BSym(n)(S;k) et tout x6= 0
h(S+K)x, xi=hSx, xi+hKx, xi ≥ k|x|2−sup
|y|=1
y∈Rn
|Ky||x|2>0.
2. L’application φpropos´ee est un polynˆome, donc clairement de classe C1. D’autre part, si Sest
dans U, alors Sest sym´etrique et donc S2l’est aussi, et Sest inversible, donc S2l’est aussi. Donc
φ(S)∈Upour tout S∈U. De plus, dφ(S)(H) = SH +HS pour tout H∈Mn(R). Montrons que
dφ(S) est injective. Supposons que H∈Mn(R) tel que dφ(S)(H) = 0. Soit xun vecteur propre
de Spour une valeur propre λ. Alors on a SHx =−HSx =−λHx : donc Hx, s’il est non nul, est
vecteur propre de Spour la valeur propre −λ. Comme Sest sym´etrique strictement positif, ses
valeurs propres sont strictement positives. Ainsi, n´ecessairement Hx = 0 et ce, pour tout vecteur
propre de S. Comme Sest sym´etrique, il existe une base de Rnform´ee de vecteurs propres de S,
et on vient de montrer que Hest nulle sur cette base, donc n´ecessairement, H= 0. Ainsi, pour
S∈U,dφ(S) est un endomorphisme de Mn(R) injectif, c’est donc un isomorphisme. D’apr`es le
th´eor`eme d’inversion locale, φest un C1−diff´eomorphisme de Usur φ(U). Il reste `a montrer que
φ(U) = U. Soit S∈U; alors Sest diagonalisable dans une base de vecteurs propres (e1, ..., en),
les valeurs propres associ´ees (λ1, ..., λn) ´etant toutes r´eelles strictement positives. On consid`ere
alors l’endomorphisme ude Rnd´efini sur la base (e1, ..., en) par u(ei) = √λiei,i= 1, ..., n ;u∈U
et φ(u) = u2=S. Ainsi, φ(U) = U.
3. (a) L’application ψ:O(n)×Sym(n)→Mn(R), (A, S)7→ AS est de classe C1. En effet, pour
(A, S)∈O(n)×Sym(n) et (B, T )∈O(n)×Sym(n), on a
ψ(A+B, S +T) = (A+B)(S+T) = AS +BS +AT +BT =ψ(A, S) + L(A,S)(B, T ) + BT,
o`u L(A,S):O(n)×Sym(n)→Mn(R), L(A,S)(B, T ) = BS +AT est lin´eaire et BT est un terme
d’ordre 2 en (B, T ). Ceci montre que ψest diff´erentiable en (A, S) et que dψ(A, S) = L(A,S).
D’autre part, il n’est pas difficile de voir que dψ :O(n)×Sym(n)→L(O(n)×Sym(n); Mn(R))
d´efinie par dψ(A, S) = L(A,S)est continue.
3. (b) Soit M∈GL(n). Alors on a T=M>M∈Ucar sym´etrique, positive et inversible. On
note S=φ−1(T) et A=MS−1. Alors S∈Ud’apr`es la question 2 et A>A= (S−1)>M>MS−1=
(S>)−1S2S−1=Incar M>M=T=φ(S) = S2et comme Sest sym´etrique, S>=S. Ainsi,
A∈O(n). On a donc M=ψ(M(φ−1(M>M))−1;φ−1(M>M)).
3. (c) On d´eduit de la question pr´ec´edente que ψest inversible de O(n)×Usur GL(n), d’inverse
donn´e par
(GL(n)−→ O(n)×U
M7−→ M(φ−1(M>M))−1, φ−1(M>M).
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il est clair que cet inverse est de classe C1. Ainsi, ψest un C1−diff´eomor-
phisme. 