Relativité

PARTIE
COMPRENDRE, Loi et modèles
Thème
Temps, mouvement et évolution
Objectifs
 Montrer que les lois de la mécanique de Newton ne sont pas toujours applicables à tous les domaines de la physique
 Énoncer le postulat d’Einstein
 Montrer que la durée qui s’écoule entre deux évènements dépend du choix du référentiel d’étude
1
Situation du cours dans la progression de la classe de TS
LES PRÉREQUIS DE L’ÉLÈVE
Niveau
Partie (Thème)
En classe de
Quatrième
Lumière : couleurs, images,
vitesse
Milieux de propagation et vitesse de la lumière
En classe de
Première S
Comprendre - Loi et modèles
(Formes et principe de
conservation de l’énergie)
Définition du référentiel.
Savoir qu’on associe au référentiel, un repère d’espace pour le repérage des positions
dans l’espace, et une horloge pour le repérage du temps.
Observer - couleurs et
images (sources de lumière
colorées)
Célérité des ondes électromagnétiques
Observer – Ondes et matière
(Propriétés des ondes)
Interférences des ondes monochromatiques
Comprendre - Loi et modèles
(Temps, mouvement et
évolution)
Définition du référentiel galiléen
En classe de
Terminale S
Utiliser les notions de cinématique et de dynamique newtoniennes pour décrire
l’évolution temporelle de systèmes physiques
Définition de la quantité de mouvement 𝑝⃗ d’un point matériel
Définition du temps atomique. Principe et application d’une horloge atomique
2
Temps et Relativité restreinte
Notions et contenus
Compétences exigibles
Invariance de la vitesse de la lumière et caractère relatif du temps.
Postulat d’Einstein. Tests expérimentaux de l’invariance de la vitesse de
la lumière.
Notion d’événement. Temps propre.
Dilatation des durées.
Preuves expérimentales.
Savoir que la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les
référentiels galiléens.
Définir la notion de temps propre.
Exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée.
Extraire et exploiter des informations relatives à une situation concrète où
le caractère relatif du temps est à prendre en compte.
3
PLAN
Introduction
I-
Transformation galiléenne en mécanique Newtonienne
1. Transformation galiléenne des coordonnées d’un évènement
2. Transformation galiléenne des vitesses
3. Exemples de calculs de vitesses
II-
La vitesse de la lumière varie-t-elle d’un référentiel à un autre ?
1. À la recherche d’un milieu de propagation
2. Expérience de Michelson et Morley
3. Le postulat d’Einstein (1905)
4. Quelques tests expérimentaux prouvant l’invariance de la vitesse de la lumière
ab-
Prisme mobile d’Arago (1810)
Expérience d’Alväger (1964 au CERN)
5. Comment la lumière peut-elle se déplacer à la même vitesse quel que soit l’observateur ?
III-
Conséquence de l’invariance de la vitesse de la lumière sur l’écoulement du temps
1. Simultanéité de deux évènements
2. Synchronisation du temps
3. Temps propre – Temps mesuré
4. Dilatation des durées
5. Quelques preuves expérimentales de la dilatation des durées
abc-
IV-
Expérience de Hafele et Keating (1971)
Durée de vie des muons atmosphériques
Le GPS
Le paradoxe des jumeaux
1. Le paradoxe
2. Interprétation
Conclusion - Un métier pour demain
4
Introduction
Qui n’a pas rêvé un jour de rester éternellement jeune et donc d’avoir la possibilité de ralentir le temps ?
Au début du 20e siècle, le célèbre physicien Albert Einstein avec la théorie de la relativité restreinte, a montré que ce rêve pouvait être
réalisable !
Nous allons vous montrer dans ce cours comment on pourrait y parvenir !
5
I-
Transformation galiléenne en mécanique Newtonienne
1. Transformation galiléenne des coordonnées d’un évènement
Définition : Un événement est un phénomène physique localisé, dans un référentiel donné, à la fois dans le temps et dans l’espace.
Citons quelques exemples d’évènement :
 Thomas est au pied de l’immeuble (x) à 8h du matin (t)
 Un signal de détresse est envoyé depuis un bateau (x, y) à 22h (t).
 Le passage d’une particule en un lieu à un instant donné
Ainsi, un événement est caractérisé par ses coordonnées d’espace et de temps, par exemple : x, y, z, t
L’utilisation des formules de transformation de Galilée vont permettre le passage des coordonnées (x, y, z, t) d’un événement repéré dans le
référentiel galiléen R aux coordonnées du même événement repéré dans le référentiel galiléen R’, en translation rectiligne et uniforme de
vitesse 𝑢
⃗⃗ par rapport au référentiel R, suivant l’axe Ox.
On rappelle qu’un référentiel galiléen est un référentiel qui est immobile ou qui a un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à
un autre référentiel galiléen.
6
On suppose que les origines O et O’ de R et R’, coïncident aux instants t = t’= 0.
(R)
(R’)
y
y’
𝑢
⃗⃗
O
x
O’
z
X’
z’
Transformation de Galilée
x’ = x – ut
y’ = y
z’ = z
t’ = t
Remarques :
 On obtient les formules réciproques donnant les coordonnées dans le référentiel R en fonction des coordonnées dans le référentiel R’, en
les permutant et en changeant -u en +u.
 u est la vitesse de l’origine O’ dans le référentiel R.
7
Conséquence
Considérons deux événements en deux lieux A et B (par exemple, l’émission d’un signal en A et sa réception en B).
Si tA – tB est la mesure de l’intervalle de temps entre ces deux évènements dans le référentiel R et 𝑡𝐵′ - 𝑡𝐴′ est la mesure de l’intervalle de temps
entre ces deux mêmes évènements dans le référentiel R’, la transformation de Galilée conduit à l’égalité : tA – tB = 𝒕′𝑩 - 𝒕′𝑨
Ainsi, le temps s'écoule toujours à la même vitesse quel que soit le référentiel d’étude (quel que soit l’observateur).
De même, l’intervalle d’espace AB séparant les évènements en A et en B ne dépend pas du référentiel où est effectuée la mesure.
La mécanique de Newton repose sur le caractère absolu des durées et des longueurs.
2. Transformation galiléenne des vitesses
En dérivant par rapport au paramètre temps absolu, t = t’, les formules de la transformation de Galilée, on aboutit à la loi de composition des
vitesses, dans le cas de la translation :
dx′
dt′
=
dx′
𝑑𝑡
=
dx
dt
-u
;
dy′
dt
=
dy
dt
;
dz′
dt
=
dz
dt
; dt’ = dt
8
Transformation de Galilée relative aux vitesses
𝐯𝐱′ = vx – u
ou
vx = 𝐯𝐱′ + u
𝐯𝐲′ = vy
𝐯𝐳′ = vz
Loi de composition des vitesses
𝐯⃗⃗R = 𝐯⃗⃗R’ + u
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗du système étudié dans le référentiel galiléen R est la somme de la vitesse ⃗⃗⃗⃗
La vitesse 𝐯
𝐯’ du système dans le
⃗⃗ (vitesse du système par rapport au
référentiel galiléen R’ en mouvement et de la vitesse d’entrainement 𝐮
référentiel R s’il était fixe dans le référentiel R’).
3. Exemples de calculs de vitesses
Nous vous proposons deux activités permettant de mettre en application la loi galiléenne de composition des vitesses galiléennes dans deux domaines
différents de la physique.
Activité 1
Depuis un char de guerre (référentiel galiléen R’), est lancé un obus à une vitesse v’ = 500 m/s par rapport au char.
Le char de guerre se déplace à la vitesse v0= 50 km/h par rapport à la Terre (référentiel galiléen R).
Quelle est la vitesse v de l’obus par rapport à la Terre si le char se déplace vers l’avant ? Si le char est en marche
arrière ?
9
Corrigé
𝑣⃗′
Y’
Z’
(R’)
0
X’
⃗⃗
u

Vitesse de l’obus si le char se déplace vers l’avant : v = v’ + u d’après la loi de composition des vitesses.
avec u = v0
or 500 m/s = 1800 km/h
v = (1800 + 50) km/h = 1850 km/h = 514 m/s

Vitesse de l’obus si le char est en marche arrière: v = v’ +u
avec u = - v0
v = (1800 - 50) km/h = 1750 km/h = 486 m/
Activité 2
Un signal lumineux de vitesse c = 3,0.108 m/s est émis dans un bus (référentiel galiléen R’) qui se déplace à une vitesse
constante v0 = 50 km/h par rapport à la route (référentiel galiléen R).
Quelle est la vitesse v de déplacement du signal lumineux pour un observateur immobile sur le bord de la route dans
les deux cas suivants ?
- Le signal lumineux se déplace dans le même sens que le bus.
- Le signal lumineux se déplace dans le sens contraire du bus.
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Corrigé
𝑢
⃗⃗
c⃗
Si le signal lumineux se déplace dans le même sens que le bus, il possède dans le référentiel R, la vitesse :
v = v’ + u = c +v0
Si le signal lumineux se déplace dans le sens contraire au bus, il possède la vitesse :
v = v’ + u = c -v0.
Conclusion
La deuxième activité montre que le calcul de la vitesse de la lumière, à partir des lois de la mécanique newtonienne, ne donne pas le même
résultat dans tous les référentiels galiléens.
La valeur de la vitesse de la lumière est modifiée par changement de référentiel galiléen.
11
C’est ce que certains physiciens ont cherché à prouver de façon indirecte dès la fin du 19e siècle en mettant en œuvre
diverses expériences.
En fait, les travaux de ces physiciens portaient sur la détermination du milieu de propagation de la lumière.
II-
La vitesse de la lumière varie-t-elle d’un référentiel à un autre ?
1. À la recherche d’un milieu de propagation
A la fin du 19e siècle, le milieu de propagation de la lumière fut baptisé « éther ».
Pour les physiciens de l’époque, l’espace serait rempli d’éther.
La lumière serait donc la propagation d’une perturbation dans l’éther et elle se déplacerait à la célérité c = 3.108m/s par rapport à lui.
Les physiciens adoptèrent l’hypothèse suivante : l’éther serait un référentiel galiléen fixe par rapport aux étoiles lointaines.
L’éther serait le « référentiel absolu ».
L’éther serait un milieu immobile, invisible, élastique et fluide dans lequel les planètes pouvaient errer avec grande vitesse sans ralentissement,
et qui servirait de support à la propagation de la lumière.
Ainsi, puisque l’éther était invisible, les physiciens décidèrent d’effectuer des mesures sur l’éther ; en particulier d’évaluer la vitesse de la Terre
par rapport à l’éther.
Les physiciens de l’époque arrivèrent à la conclusion suivante :
Tout objet en mouvement par rapport à l’éther devait avoir une vitesse de lumière différente de c = 3,0.108 m.s-1.
12
Ainsi, pour évaluer la vitesse de translation de la Terre par rapport à l’éther, le physicien américain Albert Abraham Michelson débuta une
expérience en 1887.
2. Expérience de Michelson et Morley
Albert Abraham Michelson (1852 – 1931) est un physicien américain d’origine allemande.
Il a reçu le prix Nobel de physique de 1907 pour « ses instruments optiques de précision et les
études spectroscopiques et métrologiques qu’il a menées grâce à ces appareils.
Edward Williams Morley (1838 – 1923) est un scientifique américain. Il passa à la postérité
lorsqu’il réalisa l’expérience de Michelson-Morley avec Albert Abraham Michelson en 1887.
Principe
Michelson fit l’hypothèse que pendant que la Terre était en mouvement par rapport à l’éther, l’éther supposé immobile dans l’espace
devait vraisemblablement se manifester comme un « vent » soufflant sur la Terre.
Ainsi, la vitesse de la lumière provenant d’une source devait subir l’influence de ce « vent ».
Le dispositif expérimental était donc conçu pour faire voyager la lumière dans la direction du « vent » et dans une direction perpendiculaire au
« vent ».
Selon Michelson, la lumière devait effectuer deux trajets de même distance avec des vitesses différentes ce qui devait avoir pour conséquence
d’observer une différence de temps de parcours entre les deux trajets.
13
Dispositif expérimental
Le dispositif expérimental utilisé par Michelson, comprend deux miroirs M1 et M2 situés à égale distance D d’une lame séparatrice semiréfléchissante et inclinée à 45°.
Miroir M1
Source de lumière
⃗⃗⃗⃗
𝑐
Miroir M2
𝑢
⃗⃗
O
Lame séparatrice
Observateur
La source émet un faisceau de lumière vers la droite en direction de la lame séparatrice. Une fois arrivée sur la lame séparatrice, le faisceau se
partage en deux, une partie se réfléchit et se dirige vers le miroir M1 et l’autre se dirige vers le miroir M2.
Après s’être réfléchis sur les miroirs M1 et M2, les deux faisceaux lumineux reviennent sur la lame séparatrice où ils sont tous les deux redirigés
vers l’observateur en interférant.
La figure d’interférence obtenue avec une source de lumière blanche est la suivante :
14
On observe une frange centrale brillante et de part et d’autre de celle-ci, des franges
irisées.
Les franges d’interférences se brouillent à partir de l’ordre k =1.
La luminosité des franges diminuent quand on s’éloigne de la frange centrale.
Source : wikipédia
Le calcul des durées du trajet aller-retour de la lumière suivant OM1 et suivant OM2 a montré que le faisceau lumineux se dirigeant vers le
miroir M1 est en retard d’une durée Δt par rapport au faisceau se dirigeant vers le miroir M2.
Le calcul de la différence de temps de parcours entre les deux trajets a donné : Δt ≈
𝑫
𝒄
×
𝐮𝟐
𝐜𝟐
où c est la vitesse de la lumière par rapport à l’éther
et u est la vitesse de la Terre par rapport à l’éther
Application numérique
La vitesse c de la lumière par rapport à l’éther est égale à 3,0.108 m/s
La vitesse u de la Terre par rapport à l’éther est de l’ordre de 3,0.104 m/s
La dimension D du dispositif est de l’ordre de 1m
Δt =
Δt =
D
c
u2
×
1
c2
×
8
3,0.10
(3,0.104 )2
(3,0.108 )2
= 0,33.10-16 s
L’écart de temps de parcours attendu par Michelson est très faible et de l’ordre de 10-16 s !
15
L’écart attendu étant trop faible pour être directement mesuré, Michelson décida de mesurer le déplacement des franges de la figure
d’interférence.
En effet, l’une des deux ondes qui interfèrent, se propage un peu plus vite que l’autre et ces deux ondes arrivent au niveau de l’observateur un
peu déphasées l’une par rapport à l’autre.
Avec le dispositif de dimension 1m, le déplacement des franges est de l’ordre de 4%.
Un déplacement des franges de 4% était une valeur trop faible pour être observé par Michelson !
Loin de se décourager, Michelson poursuivit ses recherches avec la collaboration de Morley.
Le dispositif qu’ils mirent au point étaient plus performant et de dimension dix fois plus importante.
Michelson et Morley devraient ainsi observer un déplacement des franges 10 fois plus grand, soit de 40%.
Déplacement de la frange blanche centrale de 40%
16
Le résultat de l’expérience fut négatif ! Aucun déplacement des franges d’interférences n’a été observé !
Ce résultat montre que la vitesse de la lumière n’est pas influencée par le mouvement de la Terre.
Conclusion
L’expérience de Michelson et Morley a montré que la vitesse de la Terre n’a aucun effet sur la vitesse de la lumière.
La vitesse de la lumière ne dépend pas de la vitesse du référentiel de son observateur.
Les physiciens de l’époque ont tenté d’expliquer en vain ce résultat à l’aide de la mécanique de Newton.
Cet échec les conduisit à abandonner le concept d’éther.
En outre, l’expérience de Michelson et Morley qu’ils considérèrent comme un échec, fut mise de côté de nombreuses années.
Finalement, cette expérience provoqua les méditations et les travaux des grands physiciens et mathématiciens.
Albert Einstein utilisa ce résultat expérimental dans la théorie de la relativité restreinte, en postulant l’invariance la célérité de la
lumière.
Les physiciens durent admettre que la vitesse de la lumière était la même par rapport à la Terre se déplaçant dans le sens de la lumière ou dans
le sens contraire !
Michelson reçut le prix Nobel de la physique en 1907 pour sa célèbre expérience.
17
3. Le postulat d’Einstein (1905)
Albert Einstein (1879 - 1955) est un physicien théoricien qui fut successivement Allemand puis apatride (1896), Suisse (1901), et enfin sous la double nationalité Helvéticoaméricaine (1940).
Il a repris principalement les travaux de ses prédécesseurs en leur donnant un sens physique pour établir la théorie de la relativité restreinte qu’il publia en 1905.
Par contre, il est auteur de la théorie de la relativité générale (1915) qui décrit l’influence de la présence de la matière sur le mouvement des astres sous forme d’énergie.
Son travail est notamment connu pour l’équation E = mc2 qui établit une équivalence entre la matière et l’énergie d’un système.
Il a reçu le prix Nobel de physique de 1921 pour son explication de l’effet photoélectrique.
En 1905, Albert Einstein publia un 3e article sur la théorie de la relativité restreinte basée en autre sur l’expérience de Michelson et Morley.
Il fut en mesure de décrire qualitativement et quantitativement la physique dans n’importe quel référentiel sans l’intervention de l’éther,
à condition d’admettre que la vitesse de la lumière est constante quel que soit le choix du référentiel.
La théorie de la relativité restreinte faisait intervenir deux postulats dont celui de l’invariance de la vitesse de la lumière :
Postulat d’invariance de la vitesse de la lumière
La vitesse de la lumière c est identique dans tous les référentiels galiléens.
Elle ne dépend pas de la vitesse de la source, ni de celle de celle de l’observateur.
Remarque
Le deuxième postulat de la théorie de la relativité restreinte est le suivant :
« Les lois de la physique sont identiques dans tous les référentiels galiléens »
Grace à son travail sur la relativité restreinte, Albert Einstein généralise le principe de relativité de Galiléenne à toute la physique :
« Aucune expérience de physique (mécanique, optique, etc.) ne permet de mettre en évidence le mouvement rectiligne et uniforme du référentiel galiléen dans lequel
s’effectue l’expérience ». Les lois de la mécanique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens.
18
4. Quelques tests expérimentaux prouvant l’invariance de la vitesse de la lumière
a- Prisme mobile d’Arago (1810)
En 1810, l’astronome français François Arago (1786 – 1853), chercha à montrer que la lumière issue de différentes étoiles (à différentes
époques de l’année) était plus ou moins déviée par un prisme selon la vitesse de celle-ci.
Le prisme s'éloignant ou se rapprochant de l'étoile en fonction de la saison, devrait permettre de voir la vitesse de la lumière varier.
Mais Arago n‘observa rien !
Il revint à Albert Einstein d'expliquer le résultat négatif d’Arago par le postulat d’invariance de la vitesse de la lumière :
La lumière arrivait sur le prisme avec la même vitesse quelles que soient les circonstances !
Remarque : en toute rigueur, il faudrait tenir compte du fait que le prisme était dans l'air, et non dans le vide, mais la différence est imperceptible.
b- Expérience d’Alväger (1964 au CERN)
Cette expérience consiste à mesurer, à l’aide de leur temps de vol sur des distances d’environ 80 mètres, la vitesse de photons produit par la
désintégration d’un méson 𝜋0 neutre très énergétique.
Dans cette expérience, une particule le méson 𝝅0, animée d’une vitesse égal à 0,9975c, se désintègre en deux photons 𝜸 qui partent dans des
sens opposés à la même vitesse c par rapport au méson 𝜋0 (référentiel R’ en translation uniforme).
19
Photon 1
Photon 2
⃗⃗⃗⃗⃗𝟐
𝐏
Détecteur
Détecteur
Méson 𝛑𝟎
Pméson
⃗⃗⃗⃗⃗𝟏
𝐏
Conservation de la quantité de mouvement : Pméson = ⃗⃗⃗⃗
P1+ ⃗⃗⃗⃗
P2
On peut prévoir en théorie la vitesse des photons dans le référentiel du laboratoire (référentiel R) en utilisant la loi galiléenne de
composition des vitesses.
Dans le référentiel du laboratoire, le photon émis dans le sens du mouvement du méson 𝜋0 devrait avoir une vitesse de 0,9975c + c ≈ 2c, et
celui émis dans le sens opposé devrait avoir une vitesse pratiquement nulle (0,9975c - c ≈ 0).
L’expérience montre que les deux photons atteignent au bout de la même durée Δt les détecteurs.
La vitesse expérimentale de chaque photon est donc identique ; l’expérience a donné une vitesse égale à c pour chacun des photons.
Cette expérience contredit la loi galiléenne de composition des vitesses et montre que la vitesse c de la lumière (photon) est une
constante indépendante du référentiel considéré.
20
5. Comment la lumière peut-elle se déplacer à la même vitesse quel que soit l’observateur ?
Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928) est un physicien néerlandais.
La majorité de ses travaux portèrent sur l’électromagnétisme. Il a laissé son nom aux transformations de Lorentz qui sont à la base de la théorie de la relativité restreinte.
Il est co-lauréat avec Pieter Zeeman du prix Nobel de physique de1902 pour leurs recherches sur l’influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs.
Une dizaine d’année après le rejet de l’expérience de Michelson- Morley, le physicien néerlandais Henrick Antoon Lorentz établit des
équations mathématiques, appelées transformation de Lorentz, dans le but d’expliquer les résultats de l’expérience de Michelson- Morley.
Il révèle un fait considéré comme une anomalie à l’époque : la vitesse de la lumière est constante quel que soit le référentiel dans laquelle
on la mesure.
Henrick Antoon Lorentz fut donc un pilier dans l’histoire de la relativité !
Par la suite, Albert Einstein reprit les équations de Lorentz pour établir la théorie de la relativité restreinte.
La transformation de Lorentz permettent le passage des coordonnées (x, y, z, t) d'un événement donné dans un référentiel « fixe » R (par
exemple, la Terre) aux coordonnées (x ’, y ’, z ’, t’) du même événement dans un référentiel en translation uniforme de vitesse 𝑣⃗
(par exemple, une fusée) par rapport au référentiel R, suivant l’axe Ox, en gardant la vitesse de la lumière et les lois de la physique
(mécanique, électromagnétique, etc.) invariantes.
21
On suppose que les origines O et O’ de R et R’, coïncident aux instants t = t’= 0.
Transformation de Lorentz
x’ =
𝐱 − 𝐯𝐭
x’ = γ(x – vt)
𝟐
√𝟏− 𝐯𝟐
𝐜
y’ = y
y’ = y
ou
z’ = z
z’ = z’
v
t’ =
𝐭− 2x
c
𝐯
t’ = γ(𝐭 − 𝐜𝟐 𝐱)
𝟐
√𝟏− 𝐯𝟐
𝐜
Le coefficient γ est le coefficient sans dimension défini par : γ =
𝟏
𝟐
√𝟏− 𝐯𝟐
𝐜
Remarques :
- Les formules réciproques donnant les coordonnées dans le référentiel R en fonction des coordonnées dans le référentiel R’ sont :
v2
x=
𝐱 ′ + 𝐯𝐭 ′
𝟐
√𝟏− 𝐯𝟐
𝐜
; y = y’
; z = z’
; t=
𝐭′+ 2 x
c
𝟐
√𝟏− 𝐯𝟐
𝐜
22
- Lorsque la vitesse v a une valeur très faible devant la vitesse c de la lumière, √𝟏 −
𝐯𝟐
𝐜𝟐
devient proche de 1 et on retrouve la transformation de
Galilée.
- La transformation de Lorentz montre que l'espace (x) et le temps (t) ne sont plus des notions indépendantes mais sont liées par ces
équations (Galilée avait affirmé le contraire : temps et longueur sont indépendants et ont un caractère absolu !!!).
Longueur et durés ne sont plus des grandeurs indépendantes mais dépendent du référentiel dans lequel on les mesure : elles sont
relatives.
Désormais il ne faut plus parler d'espace et de temps séparément comme à l'époque de Newton, mais seulement d'espace-temps, seul concept
qui gardera un caractère absolu.
23
III-
Conséquence de l’invariance de la vitesse de la lumière sur l’écoulement du temps
1. Simultanéité de deux évènements
On place, dans un bus en mouvement rectiligne uniforme, deux horloges en deux points A et B situés à égale distance d’une lampe située en un
point O. On allume cette lampe pendant une fraction de seconde.
Pour un passager assis dans le bus, l’impulsion lumineuse envoyée par la lampe atteint simultanément les deux horloges : le signal lumineux
arrive en même temps aux points A et B du bus.
A
O
B
Emission du signal
A
O
B
Réception du signal
24
Pour un observateur immobile au bord de la route, les horloges se déplacent par rapport au point O d’émission de l’impulsion lumineuse :
l’horloge située au point A se rapproche du point O, tandis que l’horloge située au point B s’éloigne du point O.
O
B
A
𝐯⃗⃗
𝐯⃗⃗
Emission du signal
O
A
B
𝐯⃗⃗
Réception du signal
𝐯⃗⃗
O
A
𝐯⃗⃗
B
𝐯⃗⃗
25
Les deux rayons lumineux se déplacent à la même vitesse v = c.
Le rayon lumineux émis en direction de l’horloge située au point B parcourt une distance plus longue, donc met plus de temps pour atteindre
cette horloge. L’horloge située au point B reçoit l’impulsion lumineuse après l’horloge située au point A.
Par conséquent, deux événements simultanés pour un observateur situé dans le bus ne sont pas simultanés pour un observateur
immobile sur le bord de la route.
Conclusion
Deux événements simultanés dans un référentiel galiléen R ne le sont pas dans un référentiel galiléen R’ en
mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel R. Le temps est relatif.
26
2. Synchronisation du temps
Pour déterminer la simultanéité de deux évènements, il faut placer sur les lieux des évènements, des horloges synchronisées qui indiquent
toujours la même heure.
Comment est-il possible de synchroniser des horloges ?
On utilise un « signal radio » pour synchroniser des horloges : les horloges sont mises à l’heure par réception d’un signal radio émis à un
moment convenu d’un lieu fixe.
Cette méthode de synchronisation repose sur le postulat d’invariance de la vitesse c de la lumière :
Tout signal électromagnétique (lumière, signal radio, signal radar, etc.) émis à partir d’un point fixe O dans un référentiel galiléen R, se
propage à la même vitesse c dans toutes les directions.
Emission
EE du
signal radio
A
d
0
d
B
Toutes les horloges au repos dans le référentiel galiléen R et se trouvant à la distance d (connue) du point O sont synchronisées. Elles sont
réglées sur l’heure
d
c
au moment de la réception du signal.
27
Exemple
Trois vaisseaux spatiaux se déplacent à la même vitesse v (proche de la vitesse c de la lumière) et se suivent à la même distance d pour un
observateur terrestre. Le vaisseau central émet un signal radio.
1
2
3
d
d
À l’instant de l’émission du signal, les trois horloges ne sont pas synchronisées dans le référentiel des vaisseaux.
horloge 1
horloge 2
horloge 3
28
Réception du signal avant synchronisation des 3 horloges
horloge 1
horloge 2
horloge 3
Synchronisation des 3 horloges
À l’instant de réception du signal, on connaît le temps
d
c
d
; les horloges des vaisseaux 1et 3 sont synchronisées et affichent la même heure .,
c
c’est-à-dire l’heure de l’horloge du vaisseau 2.
horloge 1
horloge 2
horloge 3
29
Pour un observateur terrestre, la réception du signal radio n’est pas simultanée : le vaisseau 1 reçoit le signal avant le vaisseau 3.
À l’instant de l’émission du signal
⃗⃗
v
horloge 1
⃗⃗
v
⃗⃗
v
horloge 2
horloge 3
À l’instant de réception du signal dans le vaisseau 1
⃗⃗
v
⃗⃗
v
horloge 1
horloge 3
30
À l’instant de réception du signal dans le vaisseau 3
⃗⃗
v
⃗⃗
v
horloge 1
horloge 3
Le signal radio arrive avec un certain retard sur l’horloge 3 par rapport à l’horloge 1 : ces deux horloges ne sont pas synchronisées pour
l’observateur terrestre.
Les horloges synchronisées pour les astronautes, ne le sont pas pour l’observateur terrestre.
Conclusion
Des horloges sont synchronisées dans un référentiel galiléen où elles sont au repos et sont désynchronisées dans
un référentiel galiléen où elles sont en mouvement.
31
3. Temps propre – Temps mesuré
Définition
Le temps propre d’un observateur est le temps qui s’écoule dans un référentiel dit « référentiel propre » dans lequel il est immobile.
Pour mieux comprendre la notion de temps propre, on considère l’exemple suivant :
Cinq horloges synchronisées sont placées en plusieurs endroits le long d’une route.
Un bus comportant une horloge est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v par rapport à la route.
On se place dans le référentiel lié à la route.
Évènement 1 : le bus passe devant l’horloge 1
⃗⃗
v
horloge 1
horloge 2
horloge 3
horloge 4
horloge 5
5 horloges synchronisées
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On se place dans le référentiel lié à la route.
Évènement 2 : le bus passe devant l’horloge 5
⃗⃗
v
horloge 1
horloge 2
horloge 3
horloge 4
horloge 5
5 horloges synchronisées
L’horloge du bus en mouvement mesure un intervalle de temps propre (ou durée propre) entre les deux évènements.
La durée propre est mesurée par une seule et même horloge.
Les horloges 1 et 5 fixées le long de la route mesurent un intervalle de temps entre les deux évènements qui est différente de la durée propre.
L’intervalle de temps mesuré par deux horloges différentes situées en deux lieux différents de l’espace est appelé
durée mesurée.
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4. Dilatation des durées
On compare les durées entre deux évènements (émission et réception d’un signal lumineux) dans deux référentiels différents.
 Les deux évènements ont lieu dans un bus est en mouvement rectiligne et uniforme à la vitesse v par rapport
à une route.
Une impulsion lumineuse est envoyée du plancher vers le plafond du bus. Un miroir fixé sur le plafond du bus, réfléchi le signal lumineux vers
son point de départ.
d
La hauteur du bus étant d, pour un observateur assis dans le bus, le temps propre mis par le signal lumineux pour faire l’aller-retour est :
𝐝
Δt’ = 2.
𝐜
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 Les mêmes événements sont maintenant vus par un observateur immobile le long de la route.
Pendant l’expérience, le bus se déplace par rapport à l’observateur :
N
⃗⃗
v
A
C
B
Quand l’impulsion lumineuse partie du point A arrive sur le miroir, le point d’impact est vu au point N par l’observateur, et quand elle revient sur
le plancher, le point d’impact est vu au point B.
Ainsi, pour l’observateur immobile sur la route, l’impulsion lumineuse a parcouru une distance plus longue, mais avec la même vitesse c, ce qui
lui a donc pris plus de temps.
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Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ANC :
AN2 = AC2 + NC2
NC2 = AN2 – AC2
avec NC = d
Notons Δt la durée entre les deux évènements (aller-retour du signal) pour l’observateur immobile le long de la route.
Pour cet observateur, la distance parcourue par l’impulsion lumineuse pendant le trajet aller est : AN =
c × ∆t
2
La distance parcourue pendant le même temps Δt par le bus est :
AB = 2 × AC = v × ∆t
AB
AC =
Ainsi
2
=
v× ∆t
2
c × ∆t 2
)
2
d2 = (
Δt2 = 4 × d2 ×
d2
Δt2 = 4 ×
Δt =
c2
v× ∆t 2
)
2
–(
×
= (c2 – v2) ×
Δt 2
4
1
c 2 − v2
1
v2
1− 2
c
= Δt’2 ×
1
v2
1− 2
c
d
car Δt’ = 2.
c
𝚫𝐭’
𝟐
√𝟏− 𝐯𝟐
𝐜
v2
Δt’ = Δt × √1 − c2
Relation entre durée propre Δt’ et durée mesurée Δt
Cette relation mathématique montre que la durée entre deux évènements n’est pas la même selon que l’on observe à partir du référentiel de la
route ou de celui du bus.
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0≤v<c
0≤
𝑣
𝐶
<1
v2
0 ≤ √1 − c2 < 1
Δt’ est multiplié par un nombre compris entre 0 et 1, donc Δt’ < Δt.
Pour un observateur immobile sur la route, le temps propre Δt’ s’écoule plus lentement dans le bus (référentiel propre) en mouvement que
sur la route : il est dilaté.
Conclusion
Le temps s’écoule plus lentement dans un référentiel en mouvement.
C’est le phénomène de la dilatation du temps ou du ralentissement des horloges en mouvement.
Le temps propre Δt’ est toujours inférieur au temps mesuré Δt par un observateur extérieur au référentiel propre.
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Applications numériques
Deux horloges synchronisées placées en deux endroits le long d’une route, mesurent le déroulement entre deux évènements (émission et
réception d’un signal lumineux). Pour un observateur immobile le long de la route, la durée mesurée entre les deux évènements est Δt = 1h.
Calculons la durée propre Δt’ entre les mêmes évènements pour un observateur embarqué dans des véhicules se déplaçant des vitesses v
différentes.
Véhicule de l’observateur en
mouvement
Vitesse du véhicule
Voiture
100 km/h = 27,8 m/s
𝚫t’ = √𝟏 −
𝐯𝟐
𝐜𝟐
Δt
𝚫t’ = 0,999999999×Δt
Observations
𝚫t’ ≈Δt
𝚫t’ ≈ 1h
TGV
320 km/h = 88,8 m/s
𝚫t’ = 0,999999999×Δt
𝚫t’ ≈ Δt
𝚫t’ ≈1h
Navette spatiale se déplaçant
avec vitesse égale à 10% de la
𝑐
vitesse de la lumière (v = 10)
30 000 km/s = 3,0.107 m/s
Navette spatiale se déplaçant
avec vitesse égale à 50% de la
𝑐
vitesse de la lumière (v = 50)
150 000 km/s = 1,5.108 m/s
𝚫t’ = 0,994987×Δt
𝚫t’ ≈ Δt
𝚫t’ ≈ 1h
𝚫t’ = 0,866×Δt
𝚫t’ < Δt
𝚫t’ = 51min 58s
Conclusion
Pour un observateur terrestre, la dilatation du temps n’est perceptible que si sa vitesse v est proche de celle de la lumière.
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À quelle vitesse v faudrait-il se déplacer pour vieillir deux fois moins vite ?
Utilisons la relation entre durée mesurée et durée propre Δt =
Δt’
𝟐
√𝟏− 𝐯𝟐
pour déterminer cette vitesse v.
𝐜
𝐯𝟐
𝐜𝟐
= 1- (
Δt′ 2
)
Δt
L’horloge placée dans le référentiel en mouvement indique une durée propre Δt’ =
𝐯𝟐
𝐜𝟐
𝚫𝐭
𝟐
1
= 1 – (2)2 = 0,75
v= 0,87.c
v = (0,87 × 300 000) km/s = 261 000 km/s.
Pour que le temps s'écoule deux fois moins vite, et donc pour vieillir deux fois moins vite, il faudrait se déplacer à la vitesse
inimaginable de 261 000 km/s !
Vous connaissez maintenant la méthode qui vous permettra de réaliser votre rêve d’éternelle jeunesse !!!
Dans la vie courante la relativité du temps n’est donc pas prise en compte : quand il s’écoule 1 heure pour un homme assis sur un banc
dans son jardin, il s’écoule également 1 heure pour un homme dans une voiture en mouvement ou dans un avion en vol.
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5. Quelques preuves expérimentales de la dilatation des durées
Plusieurs expériences furent menées pour prouver la dilatation des durées.
Comme on l’a dit précédemment, la dilatation du temps n’est pas perceptible dans la vie courante ; seules les expériences menées à l'aide
d'horloges atomiques embarquées à bord d’avions ou de fusées, ont permis de la mettre en évidence.
a- Expérience de Hafele et Keating (1971)
Cette expérience fut réalisée en 1971 par les physiciens, Hafele et Keating à l’aide de deux horloges atomiques au césium (très précises !)
synchronisées.
L’une des horloges fut installée dans un avion de ligne tandis que l'autre restait sur Terre. L'avion fit le tour de la Terre, à vitesse presque
constante, puis revint sur Terre.
A l'arrivée, l'horaire indiqué par l'horloge embarquée avait un très léger retard sur l'horloge restée au repos sur Terre !
Ce fut une nouvelle preuve du ralentissement des horloges (dilatation des durées) en mouvement par rapport au référentiel d’un observateur
immobile.
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b- Durée de vie des muons atmosphériques
Les muons sont de minuscules particules instables ayant la charge d’un électron mais une masse 207 fois plus importante.
La durée de vie des muons au repos est très courte, elle vaut Δt’ = 2,2 s dans le référentiel « muons » : au bout de 2,2 millionièmes de
seconde, ils se désintègrent alors en d'autres particules.
On peut les obtenir en laboratoire dans un accélérateur de particules en provoquant la collision de protons.
Cette expérience a été réalisée dans l’accélérateur de particules du CERN (près de Genève) en 1964.
Pour un observateur terrestre, les muons accélérés au laboratoire à la vitesse v = 0,9994.c (c’est-à-dire à une vitesse proche de celle de la
lumière), vivent pendant une durée Δt =
Δt’
𝟐
√𝟏− 𝐯𝟐
𝐜
Δt =
2,2.10−6
𝟐
√𝟏− (𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟒𝟐 × 𝐜)
= 63,5.10-6 s = 63,5 s
donc Δt’ < Δt
𝐜
Ainsi, pour un observateur terrestre, les muons vivent 63,5 s et non plus 2,2 s !
La durée de vie Δt’ des muons qui se déplacent à une vitesse c proche de celle de la lumière par rapport au référentiel terrestre se
dilate !
Cette expérience a permis de vérifier les prévisions d’Einstein concernant la dilatation du temps.
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Dans l’atmosphère terrestre, les muons sont créés à 15000 m d’altitude par collision entre les rayons cosmiques (flots de noyaux d'atomes qui
se déplacent dans le vide interstellaire à des vitesses proches de celle de la lumière), et les noyaux des atomes présents dans l'atmosphère
terrestre.
Ainsi, si l’observateur terrestre ne prend pas en compte la dilatation du temps, un muon atmosphérique se déplaçant à une vitesse
v = 0,9994×c et qui aurait une durée de vie Δt’ = 2,2 s, parcourt une distance d = v.Δt’ = (0,9994 × 3,0.108 × 2,2.10-6) m = 660 m entre sa
naissance et sa mort.
Par conséquent, les muons créés à 15000 m d'altitude, ne devraient donc jamais atteindre les détecteurs placés par l'homme au niveau
de la mer, ce qui n’est pas le cas !
En prenant en compte la dilatation des durées, le muon atmosphérique se déplaçant à une vitesse v = 0,9994×c et qui aurait une durée de
vie Δt = 63,5 s, parcourt une distance d = v× ∆t = (0,9994 × 3,0.108 × 63,5.10-6) m = 19038,6 m entre sa naissance et sa mort.
Les muons créés à 15000 m d'altitude, atteignent bien les détecteurs terrestres !
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c- Le GPS
Nous vous proposons une activité documentaire sur une application de la théorie de la relativité dans notre quotidien : le système de
positionnement global (GPS).
Conclusion
Le GPS est la preuve que la relativité restreinte n’est pas seulement une théorie abstraite, mathématique, car la correction due aux
effets relativistes est nécessaire pour que le GPS fonctionne correctement.
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IV- Le paradoxe des jumeaux
1. Le paradoxe
Paul Langevin, professeur au collège de France répondit à la question suivante :
« Qu’adviendrait-il de la durée de vie d’un homme lancé dans l’espace à une vitesse proche de la lumière ?
Il imagina le scénario suivant : deux frères jumeaux Thomas et Julien décident de se séparer pour une année.
Thomas décide de quitter la Terre et d’aller explorer l’Univers et Julien quant à lui, moins curieux, reste sur Terre.
Thomas embarque une horloge dans son vaisseau spatial se déplaçant à une vitesse constante proche de la vitesse de la lumière.
L’horloge embarquée à bord et celle de Julien restée sur Terre ont été étalonnées et synchronisées avant le départ.
Quand Thomas rentrera, les deux frères jumeaux auront-ils le même âge ou l'un des deux sera-t-il plus vieux que
l'autre ?
Selon Julien resté sur Terre, Thomas subit la dilatation des durées ; l’horloge de Thomas subit un ralentissement du fait de son mouvement.
Thomas a vieilli moins vite que lui. Thomas sera plus jeune que Julien à son retour.
Thomas quant à lui, estime que c’est Julien qui est en mouvement par rapport à lui (c’est la Terre qui s’est éloignée de lui !) et qui subit la
dilatation des durées.
Thomas sera plus vieux que Julien à son retour.
Il y a donc un paradoxe dans le comportement des horloges en mouvements ; ce paradoxe est connu sous le nom du « paradoxe du
voyageur de Langevin » ou « paradoxe des jumeaux ».
Existe-t-il réellement un paradoxe ?
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2. Interprétation
Non, il n'y a aucun paradoxe !
En effet, la dilatation des durées ne s’observe que si le référentiel propre est galiléen.
Dans le référentiel terrestre, Julien a l’impression que son frère Thomas (en mouvement accéléré) est plus jeune car Julien vit dans un
référentiel galiléen.
La dilatation du temps s’applique quand même dans le référentiel terrestre galiléen, car pendant une durée dt suffisamment petite, on peut
négliger l’accélération de Thomas (Δt’ = ∫ 𝑑𝑡. √1 −
v2 (t)
c2
).
Par contre le référentiel lié à Thomas n’est pas galiléen. L’horloge embarquée dans le vaisseau de Thomas est soumise à une accélération.
La théorie de la relativité générale d’Albert Einstein montre que le temps s’écoule moins vite du fait de l’accélération.
C’est Thomas qui sera le plus jeune à son retour sur Terre !!!
Conclusion
La théorie de la relativité restreinte ne permet pas de résoudre ce paradoxe. Cette théorie ne s’applique qu’à des mouvements rectilignes
uniformes non accélérés.
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Conclusion
N’oublions personne !
Einstein a-t-il fait oublier Newton et sa mécanique ?
Et bien non ! Newton a en fait étendu la mécanique galiléenne aux mouvements des astres (mouvements non rectilignes uniformes) alors
que la théorie de la relativité restreinte d’Einstein ne concerne que les mouvements rectilignes uniformes, propres au principe de la relativité
galiléenne.
Einstein a repris principalement les travaux de ses prédécesseurs en leur donnant un sens physique pour établir la théorie de la relativité
restreinte qu’il publia en 1905.
Quels étaient ces prédécesseurs ?
Einstein a présenté la théorie de la relativité restreinte sans aucune référence aux travaux antérieurs de Lorentz et de Poincaré alors qu'il
semble indéniable qu'il en ait eu connaissance !
Nous avons déjà présenté le physicien Lorentz, qui était alors Poincaré ?
Henri Poincaré (1854 – 1912) fut un mathématicien et physicien français.
Henri Poincaré avait dès 1902 compris lui aussi que les concepts de temps absolu et d'espace absolu étaient caduques comme il l'explique
dans son livre "science et hypothèse".
Il a été le premier à correctement formuler les transformations de Lorentz même si elles ne portent pas son nom.
Sans rien enlever au génie d'Einstein (déjà illustré par sa théorie de l'effet photoélectrique et du mouvement Brownien), on peut tout de
même s'étonner que la théorie de la relativité restreinte ne soit pas davantage attachée au nom de Poincaré ...
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Un métier pour demain :
Ingénieur systèmes embarqués et télésanté
Sa mission :
L’hospitalisation à domicile profite de l’avancée des NTIC (nouvelles technologies de l’information et de la communication) !
Un ingénieur en systèmes embarqués et télésanté crée ainsi des systèmes qui permettent un suivi médical des malades et des soins à distance.
L’ingénieur crée par exemple un bracelet-montre qui permet de géolocaliser le malade et de transmettre des signaux d’alerte en cas d’urgence.
Réalisés en collaboration avec les professionnels de santé, les équipements adaptés à la maladie sont autonomes, munis de cartes électroniques et de
logiciels informatiques, et transportables.
L’ingénieur se consacre d’autre part à la recherche sur les capteurs humains. Il travaille au développement de nouvelles technologies, de logiciels et de
réseaux de télésanté.
Accès au métier :
Les ingénieurs des systèmes embarqués et télésanté proviennent d’une école d’ingénieur avec une spécialisation « système informatique embarqué ».
Ils peuvent également, après l’obtention d’un master universitaire en informatique spécialité systèmes embarqués (après une licence en informatique ou en
EEA – électronique, électrotechnique et automatique) intégrer la 2e année d’école d’ingénieurs.
Son salaire :
La rémunération équivaut à celle d’un ingénieur débutant : 3 100 euros brut par mois.
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Sources
-
Site wikipédia
-
Site futura-sciences.com
-
Revue de vulgarisation « Pour la science » - édition : BELIN
-
Electrodynamique classique – Auteur : John David Jackson – édition DUNOD
-
Einstein : le père du temps moderne – Auteur : Silvio Bergia - édition : BELIN
-
La théorie de la relativité restreinte - Auteur : V. OUGAROV - édition : MIR MOSCOU
-
Relativité, Fondements et applications, Premiers cycles, Licence - Auteur : José-Philippe PEREZ - édition : MASSON
-
Relativité restreinte, Deug 2e année, Licence - Auteur : M. HULIN - édition : DUNOD
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