12/01 - 17/01 - Alain TROESCH

Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2014/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 12 (12/01 – 17/01)
I. Structures algébriques (voir semaine 11)
II. Arithmétique
1. Divisibilité, nombres premiers
•Diviseurs, multiples
•Caractérisation de la divisibilité par les idéaux de Z.
•Couple d’entiers associés.
•(dans un anneau principal) aet bsont associés ssi aet bdiffèrent multiplicativemet d’un élément inversible,
ssi (a) = (b). Cas de Z.
•Division euclidienne
•Congruences
•Nombres premiers, nombres composés
•Lemme d’Euclide (la démonstration donnée à ce stade est à peu près celle de Gauss). Lien avec l’intégrité de
Z/pZ.
•Infinitude de l’ensemble des nombres premiers
•Crible d’Erathostène
•Petit théorème de Fermat (révision)
2. Décomposition primaire
•Existence et unicité de la décomposition
•Notion de valuation p-adique.
•Valuation d’une somme, d’un produit.
•Formule de Legendre (HP, à savoir redémontrer à la demande)
3. PGCD, PPCM
•Définitions équivalentes du PGCD (maximum pour 6des diviseurs ; maximum pour la divisibilité des diviseurs ;
borne inférieure au sens de la divisibilité ; par les idéaux)
•Définitions équivalents du PPCM (de même)
•Distributivité du produit sur ∨et ∧.
•Algorithme d’Euclide
•Identité de Bézout au +bv =a∧b.
•Algorithme d’Euclide étendu pour le calcul des coefficients de Bézout.
•PGCD, PPCM d’une famille finie d’entiers ; relation de Bézout dans ce cadre.
•Expression du PGCD et du PPCM à l’aide des valuations p-adiques.
•Produit du PGCD et du PPCM (démontré à ce stade avec la décomposition primaire).
4. Entiers premiers entre eux
•Définition.
•Théorème de Bézout (caractérisation des entiers premiers entre eux par l’existence d’une relation de Bézout
au +bv = 1)
•Lien avec l’inversibilité dans Z/nZ. Calcul d’un inverse modulo n.
•Lemme de Gauss (démonstration suivant la démarche de Gauss, par la décomposition primaire).
•Famille finie d’entiers premiers entre eux deux à deux ou dans leur ensemble.
5. Présentation d’un autre parcours possible : Il s’agit essentiellement d’un changement dans l’ordre de
présentation, en justifiant certains implications supplémentaires :
•On commence par établir Bézout, puis le lemme de Gauss par une relation de Bézout.
•Le lemme d’Euclide en est une conséquence immédiate

•Autre conséquence : a∧b= 1,a|cet b|centraîne ab|c
•Corollaire : si a∧b= 1,a∨b=ab
•On en déduit (sans passer par la décomposition primaire) le produit du pgcd et du ppcm.
•La décomposition primaire se montre indépendamment, à la manière précédente, essentiellement avec le lemme
d’Euclide.
6. Fonction indicatrice d’Euler (HP)
•Définition.
•Propriétés de multiplicativité et expression en fonction des facteurs premiers (fait en tant qu’exercice du cours).
•Théorème d’Euler (HP)
7. Théorème des restes chinois
•Le produit de groupes cycliques d’ordres 2 à 2 premiers entre eux est cyclique
•Théorème chinois : existence et unicité
•Algorithme de résolution.
•Cas de systèmes de congruences modulo des entiers non nécessairement premiers entre eux.