Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch 2014/2015 Programme des colles de la semaine 12 (12/01 – 17/01) I. Structures algébriques (voir semaine 11) II. Arithmétique 1. Divisibilité, nombres premiers • Diviseurs, multiples • Caractérisation de la divisibilité par les idéaux de Z. • Couple d’entiers associés. • (dans un anneau principal) a et b sont associés ssi a et b diffèrent multiplicativemet d’un élément inversible, ssi (a) = (b). Cas de Z. • Division euclidienne • Congruences • Nombres premiers, nombres composés • Lemme d’Euclide (la démonstration donnée à ce stade est à peu près celle de Gauss). Lien avec l’intégrité de Z/pZ. • Infinitude de l’ensemble des nombres premiers • Crible d’Erathostène • Petit théorème de Fermat (révision) 2. Décomposition primaire • Existence et unicité de la décomposition • Notion de valuation p-adique. • Valuation d’une somme, d’un produit. • Formule de Legendre (HP, à savoir redémontrer à la demande) 3. PGCD, PPCM • Définitions équivalentes du PGCD (maximum pour 6 des diviseurs ; maximum pour la divisibilité des diviseurs ; borne inférieure au sens de la divisibilité ; par les idéaux) • Définitions équivalents du PPCM (de même) • Distributivité du produit sur ∨ et ∧. • Algorithme d’Euclide • Identité de Bézout au + bv = a ∧ b. • Algorithme d’Euclide étendu pour le calcul des coefficients de Bézout. • PGCD, PPCM d’une famille finie d’entiers ; relation de Bézout dans ce cadre. • Expression du PGCD et du PPCM à l’aide des valuations p-adiques. • Produit du PGCD et du PPCM (démontré à ce stade avec la décomposition primaire). 4. Entiers premiers entre eux • Définition. • Théorème de Bézout (caractérisation des entiers premiers entre eux par l’existence d’une relation de Bézout au + bv = 1) • Lien avec l’inversibilité dans Z/nZ. Calcul d’un inverse modulo n. • Lemme de Gauss (démonstration suivant la démarche de Gauss, par la décomposition primaire). • Famille finie d’entiers premiers entre eux deux à deux ou dans leur ensemble. 5. Présentation d’un autre parcours possible : Il s’agit essentiellement d’un changement dans l’ordre de présentation, en justifiant certains implications supplémentaires : • On commence par établir Bézout, puis le lemme de Gauss par une relation de Bézout. • Le lemme d’Euclide en est une conséquence immédiate • • • • Autre conséquence : a ∧ b = 1, a|c et b|c entraîne ab|c Corollaire : si a ∧ b = 1, a ∨ b = ab On en déduit (sans passer par la décomposition primaire) le produit du pgcd et du ppcm. La décomposition primaire se montre indépendamment, à la manière précédente, essentiellement avec le lemme d’Euclide. 6. Fonction indicatrice d’Euler (HP) • Définition. • Propriétés de multiplicativité et expression en fonction des facteurs premiers (fait en tant qu’exercice du cours). • Théorème d’Euler (HP) 7. Théorème des restes chinois • Le produit de groupes cycliques d’ordres 2 à 2 premiers entre eux est cyclique • Théorème chinois : existence et unicité • Algorithme de résolution. • Cas de systèmes de congruences modulo des entiers non nécessairement premiers entre eux.