Arithmétique dans l`ensemble des entiers relatifs

Algèbre et arithmétique
Semaine 14
Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs
L’objectif de ce chapitre est d’étudier les propriétés de la divisibilité des entiers et des congruences.
C ONTENUS
C APACITÉS & COMMENTAIRES
a) Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité dans Z, diviseurs, multiples.
Théorème de la division euclidienne.
Caractérisation des couples d’entiers associés.
b) PGCD et algorithme d’Euclide
PGCD de deux entiers naturels dont l’un au moins est
non nul.
Algorithme d’Euclide.
Extension au cas de deux entiers relatifs.
Relation de Bézout.
Le PGCD de a et b est défini comme étant le plus grand
élément (pour l’ordre naturel dans N) de l’ensemble des
diviseurs communs à a et b.
Notation a ∧ b.
L’ensemble des diviseurs communs à a et b est égal à
l’ensemble des diviseurs de a ∧ b.
a ∧ b est le plus grand élément (au sens de la divisibilité)
de l’ensemble des diviseurs communs à a et b.
L’algorithme d’Euclide fournit une relation de Bézout.
I : algorithme d’Euclide étendu.
PPCM.
L’étude des idéaux de Z est hors programme.
Notation a ∨ b.
Lien avec le PGCD.
c) Entiers premiers entre eux
Couple d’entiers premiers entre eux.
Théorème de Bézout.
Lemme de Gauss.
PGCD d’un nombre fini d’entiers, relation de Bézout. Entiers premiers entre eux dans leur ensemble, premiers
entre eux deux à deux.
Forme irréductible d’un rationnel.
d) Nombres premiers
Nombre premier.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Existence et unicité de la décomposition d’un entier naturel non nul en produit de nombres premiers.
Pour p premier, valuation p-adique.
I : crible d’Eratosthène.
Notation v p (n).
Caractérisation de la divisibilité en termes de valuations
p-adiques.
Expressions du PGCD et du PPCM à l’aide des valuations
p-adiques.
e) Congruences
Relation de congruence modulo un entier sur Z.
Opérations sur les congruences : somme, produit.
Petit théorème de Fermat.
Le Bras - Lycée Montesquieu - MPSi - 2013/2014
Notation a ≡ b [n].
Les anneaux Z/nZ sont hors programme.
Algèbre et arithmétique
Semaine 14
Structures algébriques usuelles
Le programme, strictement limité au vocabulaire décrit ci-dessous, a pour objectif de permettre une présentation unifiée
des exemples usuels. En particulier, l’étude de lois artificielles est exclue.
La notion de sous-groupe figure dans ce chapitre par commodité. Le professeur a la liberté de l’introduire plus tard.
C ONTENUS
C APACITÉS & COMMENTAIRES
a) Lois de composition internes
Loi de composition interne.
Associativité, commutativité, élément neutre, inversibilité, distributivité.
Partie stable.
Inversibilité et inverse du produit de deux éléments inversibles.
b) Structure de groupe
Groupe.
Groupe des permutations d’un ensemble.
Sous-groupe : définition, caractérisation.
Notation x n dans un groupe multiplicatif, nx dans un
groupe additif.
Exemples usuels : groupes additifs Z, Q, R, C, groupes
multiplicatifs Q∗ , Q∗+ , R∗ , R∗+ , C∗ , U, Un .
Notation S X .
c) Structures d’anneau et de corps
Anneau, corps.
Calcul dans un anneau.
Tout anneau est unitaire, tout corps est commutatif.
Exemples usuels : Z, Q, R, C.
Relation a n − b n et formule du binôme si a et b commutent.
Groupe des inversibles d’un anneau.
Questions de cours
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Maîtrise des définitions (montrer qu’un truc est un groupe/sous-groupe/anneau/corps)
Maitrise des algorithmes de l’arithmétique : Euclide, euclide étendu
Sous-groupes de Z, lien avec le PGCD, le PPCM
Théorèmes d’arithmétique : Bézout, Gauss.
Petit théorème de Fermat
Exercices
Les exercices peuvent porter sur la semaine 10 et la semaine 6 : Fonctions réelles et équations différentielles.
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