Arithmétique dans l`ensemble des entiers relatifs

Algèbre et arithmétique Semaine 14
Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs
L’objectif de ce chapitre est d’étudier les propriétés de la divisibilité des entiers et des congruences.
CONTENUS CAPACITÉS &COMMENTAIRES
a) Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité dans Z, diviseurs, multiples. Caractérisation des couples d’entiers associés.
Théorème de la division euclidienne.
b) PGCD et algorithme d’Euclide
PGCD de deux entiers naturels dont l’un au moins est
non nul.
Le PGCD de a et b est défini comme étant le plus grand
élément (pour l’ordre naturel dans N ) de l’ensemble des
diviseurs communs à aet b.
Notation a∧b.
Algorithme d’Euclide. L’ensemble des diviseurs communs à a et b est égal à
l’ensemble des diviseurs de a∧b.
a∧b est le plus grand élément (au sens de la divisibilité)
de l’ensemble des diviseurs communs à aet b.
Extension au cas de deux entiers relatifs.
Relation de Bézout. L’algorithme d’Euclide fournit une relation de Bézout.
I : algorithme d’Euclide étendu.
L’étude des idéaux de Zest hors programme.
PPCM. Notation a∨b.
Lien avec le PGCD.
c) Entiers premiers entre eux
Couple d’entiers premiers entre eux.
Théorème de Bézout. Forme irréductible d’un rationnel.
Lemme de Gauss.
PGCD d’un nombre fini d’entiers, relation de Bézout. En-
tiers premiers entre eux dans leur ensemble, premiers
entre eux deux à deux.
d) Nombres premiers
Nombre premier. I : crible d’Eratosthène.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Existence et unicité de la décomposition d’un entier na-
turel non nul en produit de nombres premiers.
Pour ppremier, valuation p-adique. Notation vp(n).
Caractérisation de la divisibilité en termes de valuations
p-adiques.
Expressions du PGCD et du PPCM à l’aide des valuations
p-adiques.
e) Congruences
Relation de congruence modulo un entier sur Z. Notation a≡b[n].
Opérations sur les congruences : somme, produit. Les anneaux Z/nZsont hors programme.
Petit théorème de Fermat.
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Algèbre et arithmétique Semaine 14
Structures algébriques usuelles
Le programme, strictement limité au vocabulaire décrit ci-dessous, a pour objectif de permettre une présentation unifiée
des exemples usuels. En particulier, l’étude de lois artificielles est exclue.
La notion de sous-groupe figure dans ce chapitre par commodité. Le professeur a la liberté de l’introduire plus tard.
CONTENUS CAPACITÉS &COMMENTAIRES
a) Lois de composition internes
Loi de composition interne.
Associativité, commutativité, élément neutre, inversibi-
lité, distributivité.
Inversibilité et inverse du produit de deux éléments in-
versibles.
Partie stable.
b) Structure de groupe
Groupe. Notation xn dans un groupe multiplicatif, nx dans un
groupe additif.
Exemples usuels : groupes additifs Z , Q , R , C , groupes
multiplicatifs Q∗,Q∗
+,R∗,R∗ +,C∗,U,Un.
Groupe des permutations d’un ensemble. Notation SX.
Sous-groupe : définition, caractérisation.
c) Structures d’anneau et de corps
Anneau, corps. Tout anneau est unitaire, tout corps est commutatif.
Exemples usuels : Z,Q,R,C.
Calcul dans un anneau. Relation an−bn et formule du binôme si a et b com-
mutent.
Groupe des inversibles d’un anneau.
Questions de cours
— Maîtrise des définitions (montrer qu’un truc est un groupe/sous-groupe/anneau/corps)
— Maitrise des algorithmes de l’arithmétique : Euclide, euclide étendu
— Sous-groupes de Z, lien avec le PGCD, le PPCM
— Théorèmes d’arithmétique : Bézout, Gauss.
— Petit théorème de Fermat
Exercices
Les exercices peuvent porter sur la semaine 10 et la semaine 6 : Fonctions réelles et équations différentielles.
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