TRIGONOMÉTRIE 1. Trigonométrie

C. Lainé Page | 1
TRIGONOMÉTRIE
Cours Première S
Soit (O ; I, J) un repère orthonormé du plan.
1. Trigonométrie
1) Cercle trigonométrique
Définition 1 : Le cercle trigonométrique est le cercle c de centre O, de rayon 1, et
orienté de la manière suivante :
• le sens direct (appelé aussi sens positif ou trigonométrique) est le sens inverse des
aiguilles d’une montre ;
• le sens indirect (ou négatif) est le sens des aiguilles d’une montre.
Le plan est alors dit orienté et le repère
(
)
; O
i j
,
,,
,
est appelé repère orthonormal direct.
2) Le radian
Définition 2 : Soit un cercle C de centre O et de rayon 1.
On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de
longueur 1 du cercle.
Remarque : Soit la longueur l d’un arc de cercle de rayon R qui intercepte un angle au centre
de mesure, en radians, θ ; alors l = R × θ.
3) Propriété
Propriété 1 : Sur un cercle trigonométrique, la mesure en radians d’un angle au centre
est égale à la mesure, en unités de longueur, de l’arc qu’il intercepte.

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L’angle
AOB
a même mesure que l’arc
AB
.
Exemple : Soit un demi-cercle de rayon 1 unité. La longueur de ce demi-cercle vaut
π
× 1
unités de longueur. La mesure de l’angle au centre plat est donc
π
radians.
3) Correspondance entre degré et radian
Ainsi, à π radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 180°.
Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :
Mesure en degrés 0 30 45 60 90 180 270 360
Mesure en radians 0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
3
2
π
2
π
Applications :
• Convertir 24 degrés en radians. Après avoir fait un tableau de proportionnalité, on obtient :
24 degrés 2
0,42 rad
15
rad
π
= ≈
• Convertir
3
5
π
radians en degrés. Après avoir fait un tableau de proportionnalité, on
obtient : 3
108 degrés
5
rad
π
=
2. Enroulement de la droite numérique autour du cercle
trigonométrique
1) Ensemble des mesures

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Le plan est muni d’un repère orthonormal
(
)
i j
;
O ,
.
On considère le cercle trigonométrique de centre O.
À tout nombre réel x , on peut associer un point N unique d’un axe d’origine A représentant
les nombres réels.
On imagine que l’on enroule cet axe comme un fil autour du cercle trigonométrique. On
obtient ainsi un point M unique du cercle trigonométrique.
Le nombre réel x est une mesure en radians de l’arc d’origine A et d’extrémité M.
Définition 3 : Soit un nombre réel x et M le point du cercle trigonométrique associé par
l’enroulement de l’axe des nombres réels autour du cercle trigonométrique.
- L’abscisse du point M s’appelle le cosinus du nombre réel x et se note cos( x ).
- L’ordonnée du point M s’appelle le sinus du nombre réel x et se note sin( x ).
2) Propriétés élémentaires
Propriété 2 : Pour tout x réel, -1 ≤ cos x ≤ 1 ; -1 ≤ sin x ≤ 1 et cos² x + sin² x = 1
Démonstration : Le cercle trigonométrique c a pour rayon 1, alors tout point de c a une
abscisse et une ordonnée comprise entre – 1 et 1.
A
B
M
H
K
O
x
A
B
M
H
K
O

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De plus, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM, on obtient :
( ) ( )
2 2
2 2 2
cos sinOM OH HM= + = +
x x
.
Comme M appartient à C, alors OM = 1. D’où
( ) ( )
2 2
cos sin 1
+ =
x x
, que l’on écrit également
2 2
cos sin 1
+ =
x x
.
Propriété 3 : Quel que soit le réel x, cos( x, + k
×
2π) = cos x, et sin( x, + k
×
2π) = sin x
, avec k entier.
Démonstration : Aux points de la droite orientée d'abscisses x et
2k
π
+
x
ont fait
correspondre le même point du cercle trigonométrique.
3) Valeurs remarquables
Il est utile de connaître ou de savoir retrouver rapidement les valeurs des sinus et cosinus
des angles suivants :
Mesures en degrés 0 30 45 60 90 180
Mesures en radians 0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
sinus 0
2
1
2
2
2
3 1 0
cosinus 1
2
3
2
2
2
1
0 - 1
3. Angles associés
Définition 4 : Deux angles sont dits associés s’ils admettent des cosinus et des sinus
égaux ou opposés.

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Propriétés 4 : Pour tout réel θ,
Oi
→
j
→
A
B
A'
B'
Oi
→
j
→
A
B
A'
B'
(
)
cos cos
− =
θ θ
(
)
sin sin
− = −
θ θ
(
)
cos cos
+ = −
π θ θ
(
)
sin sin
+ = −
π θ θ
(
)
cos cos
− = −
π θ θ
(
)
sin sin
− =
π θ θ
cos sin
2
− =
π
θ θ
sin cos
2
− =
π
θ θ
cos sin
2
+ = −
π
θ θ
sin cos
2
+ =
π
θ θ
Démonstration : Pour des raisons de symétrie, on obtient les résultats suivants :
1) Les points
(
)
M
θ
et
(
)
M
θ
−
sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Ils ont la
même abscisse mais des ordonnées opposées.
2) Les points
(
)
M
θ
et
(
)
M
π θ
−
sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Ils ont
la même ordonnée mais des abscisses opposées.
3) Les points
(
)
M
θ
et
(
)
M
π θ
+
sont symétriques par rapport au point O. Ils ont des
abscisses et des ordonnées opposées.
4) Les points
(
)
M
θ
et
2
Mπ
θ
−
sont symétriques par rapport à la première bissectrice
d’équation
=
y x
. Leurs coordonnées sont « échangées ».
θ
-
θ
π
+
θ
π
–
θ
2
π
−
θ
2
π
+
θ