Groupes

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© Christian Squarcini 2003
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E F
f
E/Rf(E)
si
f
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Préliminaires :
Soient E et F deux ensembles, une application f de E dans F et une relation d’équivalence R sur E. On peut
définir l’application f (de E/R dans F) par :
f( x ) = f(x) (où x désigne la classe de x)
à condition que f(x) ne dépende pas du représentant choisi dans
x c’est-à-dire si on a pour tout x et x’ de E :
x R x’ ⇒ f(x) = f(x’).
On dit alors que la relation R est compatible avec l’application f et que f « passe au quotient ».
On a :
f injective ssi la relation R est définie par : x R x’
⇔
f(x) = f(x’).
Dans ce cas on a le diagramme suivant :
où s est la surjection canonique et i l’injection canonique.
On a : f = i
o f o s (décomposition canonique de f) et f est une bijection de E/R
dans f(E).
Si maintenant E est muni d’une loi de composition interne
∗
et d’une relation
d’équivalence R on peut définir de même sur l’ensemble quotient E/R la loi de
composition interne ∗ par :
x ∗ y = yx ∗ (pour tout x et y de E)
à condition que
yx ∗ ne dépende pas des représentants choisis dans x et y c’est-à-dire si on a :
(x R x’ et y R y’) ⇒ (x
∗
y R x’
∗
y’).
On dit alors que la relation R est compatible avec la loi de composition interne
∗
, et la loi ∗ est appelée « loi
quotient ».
On dit que la relation d’équivalence R est compatible à gauche (resp. à droite) avec
∗
ssi pour tout y de E on a :
x R x’ ⇒ (y
∗
x) R( y
∗
x’) (resp. (x
∗
y)R(x’
∗
y).
On voit facilement qu’une relation d’équivalence est compatible avec une loi ssi elle est compatible à gauche et
à droite avec cette loi.
1. Groupes : généralités
1.1 Définitions
Un ensemble G muni d’une loi de composition interne
∗
est un groupe ssi :
(i)
∗
est associative
(ii)
∗
possède un élément neutre e
(iii) tout élément de G admet un symétrique pour la loi
∗
Si la loi
∗
est commutative on dit que le groupe G est commutatif ou abélien. On note en général la loi du
groupe multiplicativement : x
∗
y = x.y = xy; le symétrique d’un élément x se note alors x–1 et l’élément neutre e.
Si le groupe est commutatif on note additivement la loi : x
∗
y = x + y; le symétrique d’un élément x se note dans
ce cas – x et l’élément neutre 0.
On peut définir dans un groupe xn par récurrence en posant x0 = e et xn+1 = xn x si n
∈
n et xn = (x–n)–1 si n
∈
z–.
On notation additive on définirait de même nx pour n
∈
z.
Exemples : (z
, +), ( r , +), ( r
*
, ×) sont des groupes commutatifs.

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(S(E),
o ), où S(E) désigne l’ensemble des bijections de l’ensemble E dans lui-même, est un groupe, non
commutatif si Card E
≥ 3, appelé groupe symétrique. On note Sn pour E = {1, ... , n}.
Exercice 1
1°/ Dans z la relation Rn définie par : x Rn y ⇔ ∃ k
∈
z / x – y = kn (où n est un entier relatif donné) est une
relation d’équivalence (appelée « congruence modulo n »); on note x
≡
y (n). L’ensemble quotient se note z/nz
(ensemble des entiers relatifs modulo n) et possède |n| éléments si n ≠ 0.
2°/ Montrer que cette relation est compatible avec l’addition et la multiplication et que (z/nz , +) est un groupe
commutatif.
3°/ Montrer que (z/nz – {0},
×
) est un groupe ssi n est un nombre premier.
4°/ On note z/nz  l’ensemble des éléments inversibles de z/nz. Montrer que si n est distinct de 1, (z/nz ,
×) est un groupe commutatif.
Exercice 2
Soit F une figure du plan. Montrer que l’ensemble des isométries du plan laissant F globalement invariante est
un groupe pour la composition des applications.
Exercice 3
Trouver tous les groupes à 2, 3 et 4 éléments (dresser leur table de composition).
Exercice 4
Soit (G, .) un groupe et a un élément de G. Montrer que les applications
δ
a et
γ
a de G dans G définie par
δ
a(x) =
ax et
γ
a(x) = xa pour tout x de G sont bijectives (
δ
a et
γ
a sont appelées respectivement translations à gauche et
translations à droite).
Application : si p est un nombre premier et si a est un entier naturel premier avec p alors on a :
ap–1
≡
1 (p) (Théorème de Fermat) (raisonner dans le groupe (z/pz – {0}, ×)).
Exercice 5
Soit p un entier naturel ≥ 2. Montrer que :
p premier
⇔ (p – 1)! + 1
≡
0 (p) (Théorème de Wilson) (pour la condition nécessaire rechercher dans
z/pz les éléments égaux à leur inverse puis considérer 1...21 −××× p ).
1.2 Sous-groupes
Définition : soit H une partie stable d’un groupe G (i.e pour tout x et y éléments de H, xy appartient à H). On dit
que H est un sous-groupe de G ssi H muni de la loi induite par celle de G est un groupe.
Caractérisation pratique : une partie H d’un groupe G est un sous-groupe de G ssi
(i) H ≠ ∅
(ii) ∀(x, y)
∈
H × H, xy–1
∈
H.
On peut remplacer la deuxième condition par les deux suivantes : (ii) ∀(x, y)
∈
H × H, xy
∈
H et
(ii)’ ∀ x
∈
H, x–1
∈
H.
Exercice 6
L’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes de G est un sous-groupe de G.
Exercice 7
1°/ Montrer que les sous-groupes H de z sont de la forme H = nz (n
∈
z) (où n = {nx / x
∈
z}).
De plus, si H ≠ {0}, on peut prendre pour n le plus petit élément de H strictement positif.

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2°/ Si a et b sont deux entiers relatifs non nuls montrer que a
z + b z = δz , où
δ
= pgcd(a, b) (a z + b z désigne
l’ensemble {ax + by / x et y
∈
z}). Généraliser à n entiers.
En déduire le théorème de Bezout : a et b sont premiers entre eux ssi il existe (u, v)
∈
z × z tel que :
au + bv = 1.
Plus généralement n entiers a1, a2, ... , an non nuls sont premiers entre eux dans leur ensemble ssi il existe
(u1, u2, ... , un)
∈
zn tel que a1u1 + a2u2 + ... + anun = 1.
3°/ Déduire du théorème de Bezout :
si a divise bc et si est a premier avec b, alors a divise c (théorème de Gauss);
si a est premier avec b et avec c alors il est premier avec leur produit bc.
si a et b divisent c si a et b sont premiers entre eux alors ab divise c.
Définition : soit A une partie d’un groupe G. On appelle sous-groupe engendré par A l’intersection de tous les
sous-groupes de G contenant A.
On le note Gr(A) et si A = {a1, a2,...,an}, gr(A) se note < a1, a2,...,an >. Le sous-groupe engendré par A est le plus
petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe de G contenant A.
Exemples : Gr(∅) = {e}; Gr(2; 3) = z et plus généralement Gr(a, b) = pgcd(a,b)z (voir exercice 7); les demi-
tours engendrent Is+(E), groupe des déplacements de l’espace; les réflexions engendrent Is(P), groupe des
isométries du plan; Sn (groupe symétrique) est engendré par les transpositions, les cycles; il est aussi engendré
par les n–1 transpositions (1; 2), (1; 3), ... , (1, n) ou : (1,2), (2, 3), ... , (n–1, n).
Exercice 8
Montrer que si A est un ensemble non vide on a : Gr(A) = {a1a2 ... an / n
∈
n et ai
∈
A ou
1−
i
a∈ A}. En
particulier <a> = {an / n
∈
z}.
1.3 Groupes produits
Si (G, ) et (H,
∧
) sont deux groupes, l’ensemble G × H muni de la loi de composition interne :
(x, y)(x’,y’)= (x x’, y
∧
y’) est un groupe appelé groupe-produit de G et H.
On peut généraliser à un nombre quelconque de groupes.
1.4 Ordre d’un élément
Définition : soit x un élément d’un groupe G. On appelle ordre de x (ou période de x) le cardinal du sous-groupe
<x> engendré par x si ce cardinal est fini; sinon on dit que x est d’ordre infini.
On note θ(x) l’ordre de x.
Dans un groupe fini tout élément est d’ordre fini.
Exercice 9
Donner des exemples de groupes infinis où tout élément est d’ordre fini.
Théorème : Soit x un élément d’un groupe G. Alors :
(i) x est d’ordre fini dans G ssi il existe n
∈
n* tel que xn = e.
On a alors : θ(x) = Min{n
∈
n* / xn = e};
(ii) Pour tout entier relatif m on a : xm = e ⇔ m multiple de θ(x).
Démonstration :
(i) Supposons x d'ordre fini. Alors l'application de z dans <x> qui à m associe xm n'est pas injective (car
l'ensemble <x> est fini) donc il existe deux entiers p et q tels que p < q et xp = xq, soit xq – p = e.

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Réciproquement supposons qu' il existe n
∈
n* tel que xn = e. Soit A = {n
∈
n* / xn = e}. A étant non vide on
peut considérer
ν = Min A
∈
n*. Si y est élément de <x> il s’écrit xm pour un m
∈
z (exercice 8). Par division
euclidienne de m par
ν il existe (q, r)
∈
z × n tel que m = ν q + r et 0
≤
r < ν . Comme x
ν
= e on obtient xm = xr
donc <x> ⊂ {e, x, x2, ... , x
ν –1}. L’inclusion inverse étant vraie on a donc
<x> = {e, x, x2, ... , x
ν –1} et ainsi
l'élément x est d'ordre fini.
Enfin si i et j appartiennent à {0, 1, ... ,
ν – 1} avec i < j on a xi ≠ xj (sinon xj – i = e et 0 < j – i < ν ce qui
contredit la définition de
ν ); par conséquent l’ensemble {e, x, x2, ... , x
ν –1} = <x> est de cardinal
ν soit ν = θ(x).
(ii) Considérons l’ensemble B = {m
∈
z / xm = e}. B est clairement un sous-groupe de z et il est distinct de {0}
d’après le (i), donc B =
µ z avec µ = Min{n
∈
n* / xn = e} (d’après exercice 7 1°/) donc µ = θ(x) d’après le (i).
Il résulte du (i) et du (ii) que θ = θ(x) est caractérisé par :
θ
∈
n * et : ∀ m
∈
z : xm = e
⇔
m multiple de θ.
Exercice 10
Soient a et b deux éléments d’ordre fini d’un groupe G. Montrer que l’ordre de (a, b) dans le groupe G × G est
ppmc(θ(a), θ(b)).
Exercice 11
1°/ Soient x et y deux éléments d’ordre finis, premiers entre eux, d’un groupe commutatif G. Montrer que
l’ordre de xy est égal au produit des ordres de x et y.
2°/ Soit G un groupe commutatif de cardinal fini n. Montrer qu’il existe un élément de G dont l’ordre est le
ppmc des ordres des éléments de G.
(Indication : soit µ ce ppmc et
µ =
1
1
...
α
α
q
q
p
p sa décomposition en produit de facteurs premiers. Soit y1 un
élément de G d’ordre
1
1
α
p .m; montrer que
m
y
1
est d’ordre
1
1
α
p . Conclure en utilisant 1°/).
1.5 Morphismes de groupes
Définitions : Si (G, ) et (G’,
∧
) sont deux groupes, une application f de G dans G’ est un morphisme de
groupes de G dans G’ ssi ∀ (x, y)
∈
G × G, f(xy) = f(x)
∧
f(y).
f est un isomorphisme ssi f est un morphisme bijectif;
f est un endomorphisme de G ssi f est un morphisme de G dans lui-même;
f est un automorphisme de G ssi f est à la fois un isomorphisme et un endomorphisme.
Exercice 12
1°/ L’ensemble des automorphismes d’un groupe G est un groupe pour la composition des applications, noté
Aut(G).
2°/ Pour a
∈
G donné, l’application fa : x
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axa–1 de G dans G est un automorphisme de G appelé
automorphisme intérieur de G. L’ensemble Int(G) des automorphismes intérieurs de G est un sous-groupe de
Aut(G).
L’application de G dans Int(G) qui à a associe fa est un morphisme de groupes dont le noyau est
Z(G) = {x
∈
G / ax = xa} (appelé centre de G : voir l’exercice 19).
Exercice 13
Montrer que z/4z n’est pas isomorphe à z2z × z2z.
Exercice 14
Le groupe Aut(z/nz) (voir exercice 12) est isomorphe à (z/nz) (voir exercice 1).

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Propriétés : (i) Si f et g sont des morphismes de groupes de G dans G’ et G’ dans G’’ respectivement, alors g
o f
est un morphisme de G dans G’’
(ii) Si f est un morphisme de G dans G’ :
l’image par f de l’élément neutre e de G est l’élément neutre e’ de G’;
f(G) est un sous-groupe de G’;
f–1(e’) est un sous-groupe de G (appelé noyau de f et noté Kerf).
Remarque : Ker f = {e} ⇔ f injectif.
2. Groupes quotients; sous-groupes distingués
2.1 Position du problème
Soit G un groupe et ∼ une relation d’équivalence sur G. On se pose les deux questions suivantes :
1/ Peut-on munir l’ensemble quotient G/∼ de la loi quotient définie par
x
∗
y = yx ∗;
2/ Si oui (G/∼ , ∗) est-il un groupe ?
On sait que la réponse à la première question est positive ssi ∼ est compatible avec la loi du groupe. Il s’agit
donc de trouver d’abord ces relations d’équivalences.
2.2 Relations d’équivalences compatibles avec la loi d’un groupe
Le théorème suivant donne toutes les relations d’équivalences compatibles à gauche ou à droite avec la loi d’un
groupe :
Théorème : les relation d’équivalences Rg (respectivement Rd) compatibles à gauche (respectivement à droite)
avec la loi du groupe G sont celle définies par :
∀ (x, y)
∈
G × G : x Rg y ⇔ x–1 y
∈
H (respectivement x Rd y
⇔
x y–1
∈
H)
où H est un sous-groupe donné de G.
Démonstration : Soit ∼ une relation d’équivalence sur G compatible à gauche avec la loi du groupe G. Si x ∼ y
alors x–1x ∼ x–1y soit x–1y ∼ e ou encore x–1y
∈
e , classe de e. D’autre part e
∈
e donc e est non vide et si x et y
appartiennent à
e on a x ∼ e donc e ∼ x–1 (en composant à gauche par x–1); comme y ∼ e on a de même x–1 y ∼ x–1
soit x–1 y ∼ e c’est–à-dire x–1 y
∈
e . e est donc un sous-groupe de G.
Réciproquement si H est sous-groupe de G on voit facilement que la relation dans G définie par x ∼ y ssi x–
1y
∈
H est une relation d’équivalence compatible à gauche avec la loi du groupe.
De même pour les relations d’équivalences compatible à droite avec la loi du groupe.
Si H est un sous-groupe de G on note Rg (respectivement Rd) la relation d’équivalence définie par : xRgy
⇔
x–1
y
∈
H (respectivement x Rd y
⇔
x y–1
∈
H).
La classe suivant Rg d’un élément a de G est :
a = {x
∈
G / aRgx} = {x
∈
G / a–1x
∈
H} = { x = ah / h
∈
H}
noté aH et appelé classe à gauche suivant H.
De même, suivant Rd, la classe de a est a = { x = ha / h
∈
H} noté Ha et appelé classe à droite suivant H.
On note enfin (G/H)g et (G/H)d les ensemble quotients G/Rg et G/Rd.
Exercice 15
Pour tous éléments a et b de G les ensembles H, aH et Hb sont en bijection. En particulier ils ont même nombre
d’éléments si H est fini.