Analyse et Algèbre pour les sciences, 1M001 Cours - IMJ-PRG

Analyse et Algèbre pour les sciences, 1M001
Cours
Sylvie Guerre-Delabrière
Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie

Table des matières
1R, ordre, intervalles 1
1.1 Définitions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Les corps Qet R............................. 3
1.3 L’ordre sur R............................... 4
1.4 Intervalles ................................. 7
2 Limites 9
2.1 Voisinages................................. 9
2.2 Limited’unesuite............................. 10
2.3 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Propriété des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Continuité 21
3.1 Rappels et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Continuité d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Dérivabilité 27
4.1 Dérivabilité d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Fonctions dérivables sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Sensdevariation ............................. 32
5 Fonctions usuelles 37
5.1 Fonctions puissances entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Fonctions puissances quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.6 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Fonctions réciproques 53
6.1 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Réciproques des fonctions monotones, continues, dérivables . . . . . . 53
6.3 Réciproques des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 56
i

ii Table des matières
6.4 Réciproques des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7 Formules de Taylor, Développements limités 61
7.1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3 Développements limités des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . 65
8 Equations différentielles linéaires du 1er ordre 69
8.1 Equations différentielles homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 Equation différentielles avec second membre . . . . . . . . . . . . . . 70
9 Le corps Cet l’exponentielle complexe 75
9.1 Définition de C.............................. 75
9.2 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10 R2,R3, produit scalaire et produit vectoriel 81
10.1 Vecteurs dans R2et R3.......................... 81
10.2Droitesetplans.............................. 83
10.3 Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11 Polynômes, racines 89
11.1Polynômes................................. 89
11.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11.3 Racines dans C.............................. 92
11.4 Racines dans R.............................. 94
12 Fractions rationnelles 97
12.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.2 Décomposition en éléments simples dans C(X)............. 98
12.3 Décomposition en éléments simples dans R(X)............. 99
Bibliographie 101
Index 102

Chapitre 1
R, ordre, intervalles
1.1 Définitions et rappels
Définition 1.1.1. Un entier naturel est un nombre positif ou nul permettant de
dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un nombre entier s’écrit dans le
système décimal, avec une suite finie de chiffres de 0à9, sans signe et sans virgule.
L’ensemble des nombres entiers naturels est noté N.
Propriété 1.1.2. L’ensemble Nest muni de deux lois, l’addition, notée +et la
multiplication, notée ·, qui vérifient les propriétés élémentaires suivantes, pour tous
entiers m, n, p :
i) Pour l’addition :
- Associativité : m+ (n+p) = (m+n) + p;
- Elément nul : n+ 0 = 0 + n=n;
- Commutativité : m+n=n+m;
ii) Pour la multiplication :
- Associativité : m·(n·p) = (m·n)·p;
- Elément unité : n·1 = 1 ·n=n;
- Distributivité par rapport à l’addition : m·(n+p) = m·n+m·p;
- Commutativité : m·n=n·m.
Proposition 1.1.3. Division euclidienne dans N
Etant donné deux entiers naturels aet bavec b6= 0, il existe un couple unique
d’entiers naturels qet rtels que
a=bq +ret 0 ≤r < b
Démonstration. Les deux entiers aet bétant donnés avec b6= 0, on définit le sous-
ensemble Ede Npar :
E={k∈N|kb ≤a}
L’ensemble Eest non vide puisqu’il contient 0 et est borné par a. Donc il admet un
plus grand élément q. Alors, on a qb ≤aet a < (q+ 1)b.
En posant r=a−qb, on obtient bien a=bq +ravec 0≤r < b.