20. SIMILITUDES LINÉAIRES La composée de deux similitudes

20. SIMILITUDES LINÉAIRES
Dans la suite, on suppose que E est un plan vectoriel euclidien. On désignera par la même
notation un angle et sa mesure en degré.
20.1. Similitude linéaire directe
Soit dans E l’homothétie linéaire hµ de rapport positif µ et la rotation linéaire rα d’angle α .
Si m ∈ E , alors rα o hµ (m) = rα(µm) = µ ·rα(m) = hµ o rα (m) . Donc hµ o rα = rα o hµ .
Cette application composée est appelée similitude linéaire directe de rapport µ et d’ angle α .
On pourra la noter sim(µ,α) .
sim(µ,α)(m)
hµ
rα(m)
hµ° rα
rα° hµ
rα
rα
0
hµ
m
hµ (m)
Figuration d’un point et de son image par la similitude linéaire directe de rapport µ et d’angle α .
20.1.1.
Composition des similitudes linéaires directes
Soit deux similitudes linéaires directes s = sim(µ,α) et s' = sim(µ',α') .
On a s o s' = hµ o rα o hµ' o rα' = hµ o hµ' o rα o rα' = (hµ o hµ') o (rα o rα') = hµµ' o rα+α' .
Donc s o s' est la similitude de rapport µµ' et d’angle α + α' . Naturellement s o s' = s' o s .
La composée de deux similitudes linéaires directes
est une similitude linéaire directe,
ayant pour rapport le produit des rapports
et pour angle la somme des angles
des deux similitudes linéaires directes données.
20.1.2.
Réciproque d’une similitude linéaire directe
Soit s et s' les similitudes directes de rapports µ et µ1 et d’angles α et - α respectivement.
D’après ce qui précède s' o s = h 1 o r- α o hµ o rα = h 1 .µ o r- α+α = h1o rω = id , ce qui montre que
µ
µ
s' est la réciproque de s . Donc :
Toute similitude linéaire directe a pour
réciproque la similitude linéaire directe
ayant pour rapport l’inverse du rapport
et pour angle l’opposé de l’angle de la similitude donnée.
20.1.3.
Groupe des similitudes linéaires directes
Soit S l’ensemble des similitudes linéaires directes. On vient de démontrer que o est une loi
de composition interne et commutative dans S . On sait en plus que o est toujours
associative.
Montrons que ( S , o ) est un groupe. En effet :
• L’élément neutre id pour la loi o est un élément de S . En effet h1o r0 = id .
• Tout s ∈ S a un symétrique pour la loi o : s-1 ∈ S .
Donc ( S , o ) est bien un groupe commutatif.
Si µ = 1 alors hµ o rα = rα . Donc si R est l’ensemble des rotations linéaires, alors ( R , o )
est un sous-groupe de ( S , o ) .
Si α = 0 alors hµ o rα = hµ . Donc si H est l’ensemble des homothéties linéaires de rapport
positif, alors ( H , o ) est un sous-groupe de ( S , o ) .
20.1.4.
Similitudes linéaires directes dans R2×1
• Supposons que E = R2×1 et que
s = hµ o rα . Soit m =  y  un point arbitraire de R2×1.
x
cos α - sin α· x  = µ ·cos α
On a hµ o rα(m) = µ 

 sin α cos α   y   µ ·sin α
- µ ·sin α   x  a - b   x 
=
·
.Donc la
·
µ ·cos α   y b a   y 
 a = µ · cos α
a -b
similitude directe linéaire s a pour matrice b a  avec 
.
 b = µ ·sin α
a -b
• Réciproquement, soit f une application linéaire de E ayant une matrice de la forme 
b a  .
a -b
a' - b'
a
b
Posons µ = a2 + b2 , a' = et b' = . On a alors b a  = µ b' a'  .




µ
µ
2 + b2
a
Or a'2 + b'2 =
= 1 . Il existe donc α , [mod 2π ] , tel que cos α = a' et sin α = b' .
µ2
a -b
cos α -sin α , ce qui montre que f est la similitude de rapport µ et d’angle α .
Donc b a  = µ 

 sin α cos α 
Donc :
Dans R2×1, canoniquement euclidien,
une application linéaire est une
similitude directe de rapport µ et d’angle α ,
 a - b
.
ssi sa matrice est de la forme 
b a 
a
b
On a : µ = a2 + b2 et cos α = , sin α = .
µ
µ
Exemple :
Soit dans R2×1 , canoniquement euclidien, l’application linéaire f :
a -b
On a mat (f ) = b a  , avec a = 1 et b =
 x  a  x − y 3  .
 y
x 3 + y 
3 . Donc f est une similitude directe. Comme a2 + b2 = 4 , son
rapport vaut µ = 2 . Si α est son angle, on a cos α =
1
3
π
et sin α =
, ce qui montre que α = .
2
2
3
20.2. Similitude linéaire indirecte
Soit dans E l’homothétie linéaire hµ , de rapport positif µ , et la symétrie linéaire s∆ , d’axe
la droite vectorielle ∆ . Si m ∈ E , alors s∆ o hµ (m) = s∆(µm) = µ ·s∆(m) = hµ o s∆ (m) .
Donc hµ o s∆ = s∆ o hµ .Cette application composée est appelée similitude linéaire indirecte de
rapport µ et d’axe ∆ . On pourra la noter sim( µ , ∆) .
Figuration :
sim(α,∆)(m)
hµ
hµ° s∆
s∆(m)
s∆
s∆° hµ
s∆
∆
0
hµ
m
hµ (m)
Figuration d’un point et de son image par la similitude linéaire indirecte de rapport µ et d’axe ∆ .
20.2.1.
Composition de similitudes linéaires indirectes
Soit deux similitudes linéaires indirectes s = sim (µ , ∆) et s' = sim (µ', ∆') .
On a s o s' = hµ o s∆ o hµ' o s∆' = hµ o hµ' o s∆ o s∆' = (hµ o hµ') o (s∆ o s∆') . Or hµ o hµ' = hµµ' et s∆ o s∆' est une
rotation, donc s o s' est une similitude directe ayant de rapport µµ' . Cherchons l’angle de sa rotation.
Soit B = (e1 , e2) une base orthonormée de E , α et α' (mod π) les angles polaires de ∆ et ∆' par rapport B .
cos α
cos α'
Les vecteurs u et u' tels que (u)B = 
 sin α  et (u')B =  sin α'  sont des vecteurs directeurs de ∆ et ∆' .
a b
cos2 α − sin2 α
2.cos α. sin α
On sait alors que matB(s∆) = b - a  avec a =
= cos 2α et b =
= sin 2α . Donc :
cos2 α + sin2 α
cos2 α + sin2 α
Si ∆ est l’axe d’une symétrie orthogonale s∆ et si ∠(∆) ≡ α (mod π) ,
a
b
alors mat (s∆) = b - a avec a = cos 2α et b = sin 2α .


a' b'
On a donc aussi matB(s∆') = b' - a' avec a' = cos 2α' et b' = sin 2α' .Donc matB(s∆ o s∆')


a b a' b' aa' + bb' ab' − ba'
= b - a·b' - a' = 
 où aa' + bb' = cos(2α − 2α') et ba' − ab' = sin(2α − 2α') .
ba' − ab' aa' + bb'
^
Ceci montre que s∆o s∆' est la rotation d’angle 2(α − α') = 2(∆' , ∆) . Donc :
La composée s∆ o s∆' de deux symétries
linéaires orthogonales, d’axes ∆' et ∆ ,
^
est la rotation linéaire d’angle 2(∆' , ∆) .
De même:
La composée sim (µ , ∆) o sim (µ' , ∆')
de deux similitudes linéaires indirectes
est une similitude linéaire directe ayant
^
pour rapport µ'µ et pour angle 2(∆' , ∆) .
^
^
En effet : sim (µ , ∆) o sim (µ', ∆') = hµ o s∆ o hµ' o s∆' = hµ o hµ' o s∆ o s∆' = h µ ·µ' o rot 2(∆' , ∆) = sim (µ'· µ , 2(∆' , ∆)) .
20.2.2.
Réciproque d’une similitude linéaire indirecte
On a sim (µ , ∆) o sim ( 1 , ∆) = sim (1 , ω) = idE , ce qui montre que toute similitude linéaire
µ
indirecte a une réciproque et qu’en plus elles ont même axe et des rapports inverses.
Une similitude linéaire indirecte a pour
réciproque la similitude linéaire indirecte
ayant même axe et un rapport inverse.
20.2.3.
Similitude linéaire indirecte dans R2××1
x
Supposons que E = R2×1 et que s = hµ o s∆ . Soit m =  y  un point arbitraire de R2×1.
cos α sin α   x  µ·cos α µ·sin α   x  a b   x 
a = µ·cos α

 sin α - cos α · y  =  µ·sin α -µ·cos α · y = b - a · y  , avec  b = µ·sin α .
a b
Réciproquement, soit f une application linéaire de E ayant une matrice de la forme b - a  .
On a hµ o s∆(m) = µ 
a
b
a2 + b2
et b' = . On a alors a' 2 + b' 2 =
=1.
µ
µ
µ2
a b
cos α sin α 
Il existe donc α (mod 2π ) tel que cos α = a' et sin α = b' . Donc b - a  = µ 
 sin α - cos α  ,
α
ce qui montre que f est la similitude indirecte de rapport µ et dont l’axe a pour angle polaire .
Posons µ =
a2 + b2 puis a' =
2
Dans R2×1, une application linéaire est une
similitude indirecte de rapport µ et dont l’axe a pour angle polaire α
a b
,
 b -a 
ssi sa matrice est de la forme 
avec : µ =
a2 + b2 et cos 2α =
a
b
, sin 2α = .
µ
µ
Exemple :
Soit dans R2×1 , canoniquement euclidien, l’application linéaire f :
 x  a x + y . On a mat (f ) =  a b 
 y
b - a 
x − y
avec a = 1 et b = 1 . Donc f est une similitude indirecte. Comme a2 + b2 = 2 , son rapport vaut µ = 2 .
2
2
π
Si α est l’angle polaire de son axe, on a cos 2α =
et sin 2α =
, ce qui montre que α ≡
[mod π] .
2
2
8
20.3. Groupe non commutatif des similitudes linéaires ( S , o )
Soit S l’ensemble des similitudes linéaires (directes et indirectes). On a montré que la
composée de deux similitudes, soit directes soit indirectes, est une similitude directe et que la
composée de deux similitudes, dont l’une est directe et l’autre indirecte, est une similitude
indirecte.
La loi o est donc une loi de composition interne dans S . Comme toujours cette loi est
associative; par contre elle n’est pas commutative dans S , car si on compose, des deux
façons possibles, deux similitudes, dont l’une au moins est indirecte, les résultats sont en
général différents.
On a également vu que l’application identique, neutre pour la loi o , était un élément de S et
que toute similitude avait une réciproque qui était également une similitude.
De ces résultat on déduit que ( S , o ) est un groupe non commutatif appelé groupe des
similitude linéaires .
On vérifie immédiatement que ( S , o ) contient les sous-groupes commutatifs formés par les
sous-ensembles suivants de S :
• L’ensemble des homothéties de rapport strictement positif ( α = 0 ) .
• L’ensemble des homothéties de rapport non nul ( α = 0 ou α = π ) .
• L’ensemble des rotations linéaires ( µ = 1 ) .
• L’ensemble des similitudes linéaires directes.