Exercices sur le chapitre 1

Université Blaise Pascal
Département de Mathématiques et Informatique
Module A/B Mathématiques
Année 2013-2014
Exercices sur le chapitre 1
Exercice 1. On considère l’ensemble R2={(x, y), x ∈R, y ∈R}muni de l’addition
et de la multiplication terme à terme. S’agit-il d’un corps ? Si oui, le vérifier à partir des
axiomes. Si non, quels sont ceux qui ne sont pas satisfaits ?
Exercice 2. On considère l’ensemble Cdes nombres complexes représentés sous forme
de couples (x, y)avec x, y ∈R.
1. Pour tous x, x′, y ∈R, calculer
(a) (x, 0) + (x′,0) et (x, 0)(x′,0) ;
(b) (x′,0)(x, y);
(c) (x, 0) + (0, y);
(d) (0,1)(y, 0) ;
(e) (0,1)(0,1) ;
(f) (x, y)(x, −y).
2. À quelles conditions portant sur x, y ∈Ra-t-on le droit d’écrire 1
(x, y)? Que vaut
alors ce nombre complexe ? Vérifier que Cest un corps.
3. Donner la représentation algébrique de chacun des nombres complexes des questions
précédentes.
Exercice 3. Donner la représentation algébrique des nombres complexes suivants :
1. (4 −i) + (5 + 2i),
2. (2 −5i)2,(3 + i)(−1 + 4i),
3. (4 + i)−1,(3 −4i)−1
4. −4 + i
4 + i,8−3i 5−12i,
5. (3 −i)(1 −3i)(2 + 5i)(5 + 2i),
6. α−i
4α+i(α2−4),où αest un réel donné.
Exercice 4. Représenter l’ensemble des nombres complexes ztels que le nombre z+ 1
z+i
soit
1. réel,
2. imaginaire pur (c’est-à-dire de la forme ib, avec b∈R).
Exercice 5. On considère un arbre associé à un schéma de Bernoulli d’ordre n≥1(c’est-
à-dire de paramètres (n, p)où p∈[0,1] est un réel quelconque représentant la probabilité
d’un succès). Montrer que le nombre de chemins menant à ksuccès avec 0≤k≤nvaut
n
k=n!
k!(n−k)!.
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Exercice 6. Montrer par récurrence que pour tout entier n≥4, on a 2n≥n2.
Exercice 7. Montrer que quels que soient net kentiers ≥1, on a (kn)!
(n!)k∈N.
[Indication : raisonner par récurrence sur k.]
Exercice 8. Montrer que quels que soient n≥0et t≥1, on a
t−1
X
k=0 n+k
n=n+t
n+ 1,
c’est-à-dire sous forme développée
n
n+n+ 1
n+···+n+t−1
n=n+t
n+ 1.
Exercice 9.
1. Calculer à la main le coefficient de x6dans le développement de (x2−3)5, puis celui
de x3dans le développement de (1 −x)3(x+ 2)6.
2. Calculer de tête 9993.
Exercice 10. Montrer que pour tout n≥1, on a 2n=
n
X
k=0 n
k.
[Indication : utiliser la formule du binôme de Newton.]
Exercice 11. Soient zet z′deux nombres complexes tels que |z+z′|=|z|+|z′|.
1. Illustrer cette situation sur quelques exemples. Que constatez-vous ?
2. Montrer que l’on a Re(zz′) = |zz′|.
3. En déduire qu’il existe ρ≥0tel que z′=ρz.
Exercice 12. Soient a, b deux nombres complexes. Montrer l’égalité
|a+b|2+|a−b|2= 2 |a|2+|b|2.
Exercice 13. Étant donné z∈C\ {i}, on pose f(z) = iz−1
z−i.
1. Montrer que pour tout z∈C\ {i}, on a |f(z)|= 1. Quelles sont les solutions de
l’équation f(z) = 1 + i?f(z) = 1 ? Les représenter graphiquement.
2. Trouver les points fixes de f, c’est à dire les nombres complexes z∈C\{i}tels que
f(z) = z.
Exercice 14 (Examen intermédiaire, 2012 −2013).
1. Déterminer les nombres complexes ztels que 4z2+ 8|z|2−3 = 0.
[Indication : on pourra chercher zsous forme algébrique.]
2. Déterminer les nombres complexes ztels que z=z3.
[Indication : si zest solution, que vaut son module ?]
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Exercice 15. On définit la fonction réelle tangente, notée tan, par la formule tan x=sin x
cos x.
1. Déterminer l’ensemble de définition Dde la fonction tan et montrer qu’elle est
périodique.
2. Pour un angle de mesure αdonné, où se lit tan αsur le cercle trigonométrique ?
3. Soient a, b deux réels tels que a,bet a+bappartiennent à D. Montrer que l’on a
tan(a+b) = tan a+ tan b
1−tan atan b.
Exercice 16.
1. Soient a, b, ω des nombres réels. Montrer qu’il existe A∈Ret ϕ∈[0,2π[tels que
pour tout réel ton ait acos(ωt) + bsin(ωt) = Acos(ωt +ϕ).
2. En utilisant l’égalité π
12 =π 4−π 6, calculer cos(π/12) et sin(π/12). Proposer une
méthode similaire pour le calcul de cos(π/8) et sin(π/8).
Exercice 17.
1. Quel est l’argument d’un nombre réel ?
2. Décrire l’ensemble des nombres complexes zvérifiant :
(a) arg(z7)≡π(mod 2π);
(b) arg(z+i)≡arg(z) + arg(i) (mod 2π).
Exercice 18. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
1. 1 + i,1−√3i,−√3−i,−2 + 2i,
2. 1 + i
i−1,2i
√3−i,1 + √3i
1 + i,7√3 + 7i 6−6i,
3. 1 + isin α
cos αpour α∈h0,π 2h∪iπ 2, πi,
4. 1 + cos(α) + isin(α)pour α∈[0,2π[.
Exercice 19. Justifier sans calcul que les nombres suivants sont respectivement réels et
imaginaires purs, puis les déterminer à l’aide de la forme trigonométrique :
αn= (1 + i√3)n+ (1 −i√3)n, βn= (1 + i√3)n−(1 −i√3)n,
avec nentier quelconque.
Exercice 20 (Examen final, 1ère session, 2011 −2012).Soit x∈[0,2π[un nombre réel.
1. Exprimer 1 + cos xet sin xen fonction de sin x
2et cos x 2.
2. Déterminer le module et l’argument (lorsqu’il existe) des nombres complexes
1 + cos x+isin xet 1−cos x−isin x.
Exercice 21. Soient z, z′deux nombres complexes. Montrer les égalités suivantes :
1. ezez′=ez+z′;
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2. 1
ez=e−z;
3. (ez)n=enz quel que soit n∈Z;
4. |ez|=eRe(z).
Exercice 22.
1. A l’aide des formules d’Euler, linéariser cos xsin2x,cos3x,sin xcos3xet sin4x.
2. A l’aide de la formule de De Moivre, exprimer cos(3x),sin(5x)et sin(3x) cos(2x)en
fonction de sin xet cos x.
Exercice 23. Soit aun nombre complexe. Quelles sont les solutions complexes zde
l’équation ez=a?
Exercice 24. Donner la représentation exponentielle du nombre complexe eiθ +eiϕ où
θ, ϕ sont deux nombres réels de l’intervalle [0,2π[.
Exercice 25. Déterminer sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique les
solutions complexes de l’équation z3=−(1 + i).
Exercice 26. Résoudre dans Cl’équation 1 + iz −z2−iz3+z4= 0.
Exercice 27.
1. Déterminer sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique les racines car-
rées de 1 + i.
2. En déduire cos π
8et sin π 8.
3. Déterminer les entiers positifs ntels que (1 + i)nsoit un réel positif.
Exercice 28.
1. Calculer les racines carrées complexes de :
(a) 5 + 12i,
(b) 2 + 2i√3, sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
2. Calculer les racines cubiques complexes de :
(a) √3 + i,
(b) eiπ/4−√2.
Exercice 29 (Examen intermédiaire, 2012 −2013).
1. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes (−1−i)3et (1 + 2i)3.
2. Résoudre l’équation z3= 2 −2i. On donnera les solutions sous forme algébrique.
3. Résoudre l’équation z3=−11 −2i. On donnera les solutions sous forme algébrique.
4. Résoudre l’équation z6+ (9 + 4i)z3−26 + 18i= 0.
Exercice 30. Résoudre dans Cles équations suivantes :
1. z6=z
2. z2= 3 −4i
3. z2+iz −1 + i= 0
4. z=z2(On pourra d’abord étudier |z|).
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