Mouvement oscillatoire amorti

LES OSCILLATIONS
Un mouvement qui se répète à intervalles de temps consécutifs égaux est dit
périodique.
Exemples d’oscillations :
– la balancoire, cordes d’une guitare ....
– molécules d’air qui transmettent la sensation de son,
– les atomes dans un solide qui donne la sensation de température,
– les électrons dans les antennes de radio et TV.
Il existe 2 sortes de mouvements périodiques :
– Mouvements sur une trajectoire fermée, qui peuvent être repérés par la
rotation périodique d’un angle autour d’un point à l’intérieur de la trajectoire
(mouvement de la Terre autour du soleil) et les mouvements de va-et-vient
sur un même axe (chapitres 5 et 8).
– Mouvements vibratoires ou oscillatoires, mouvement périodique dont la
forme la plus simple est le mouvement sinusoı̈dal ou mouvement harmonique simple (MHS).
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10 -20
C. Leluc
Le mouvement harmonique simple (MHS)
Un cycle est la plus petite séquence qui se répète.
La fréquence, f : le nombre de cycles par seconde. Elle s’exprime en
seconde−1 ou Hertz(Hz), 1 Hz = 1 cycle/s.
La période, T : le temps qu’il faut pour que le système accomplisse un cycle :
T = 1/f .
x(t) = xm cos (ωt + φ)
– xm : l’amplitude, élongation maximum.
– ωt + φ : la phase.
– φ : la phase initiale dépendant du
déplacement et de la vitesse à t = 0. La
valeur de φ n’influence pas la forme de x(t).
– ω : la fréquence angulaire/pulsation
x(t) = x(t + T )
xm cos (ωt + φ) = xm cos [ω(t + T ) + φ]
ω(t + T ) + φ = (ωt + φ) + 2π
2π
ω =
= 2πf (en rad/s)
T
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10 -21
C. Leluc
MHS : la vitesse
Vitesse
vx(t) =
dx(t)
= −xm ω sin (ωt + φ)
dt
– La vitesse varie entre les limites : ±vm = ±ω xm.
– La vitesse est décalée vers la gauche de T /4 par rapport à x(t)
– Amplitude maximum du déplacement correspond à vitesse nulle.
– Amplitude minimum du déplacement correspond à vitesse maximum vm.
Avec φ = 0, on a la représentation suivante
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10 -22
C. Leluc
MHS : l’accélération
Accélération
ax(t) =
dvx(t)
= −xm ω 2 cos (ωt + φ) = −ω 2 x(t)
dt
L’accélération est proportionelle à son élongation et de signe opposé.
Ceci est la caractéristique d’un mouvement harmonique simple.
– L’accélération varie entre les limites : ±am = ±ω 2 xm.
– L’accélération est décalée vers la gauche de T /4 par rapport à v(t)
– Amplitude maximum du déplacement correspond à une accélération
négative maximale.
– Un déplacement nul correspond à une accélération nulle.
Avec φ = 0, on a la représentation suivante
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C. Leluc
Force pour un mouvement harmonique simple
Prenons un bloc de masse, m, attaché à un ressort. On tire sur le ressort et
on amène la masse en position xm, puis on lache. On néglige les frottements.
Le ressort exerce une force de rappel,
Fe = − kx (Loi de Hooke). Le signe −
indique que cette force de rappel est dans
le sens opposé.
D’après la 2eme loi de Newton, F = mA,
on a :
d2x
Fe = −kx = ma = m 2
dt
m
d2x
dt2
+ kx=0
Equation différentielle du 2eme degré dont la solution générale est :
x(t) = A cos (ωt + φ)
Il faut déterminer A, ω et φ pour le mouvement du ressort.
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10 -24
C. Leluc
Force pour un mouvement harmonique simple (suite)
Vérifions que cette solution convient :
dx
dt
d2x
= −A ω sin (ωt + φ)
= −A ω 2 cos (ωt + φ)
dt2
Reportons dans l’equation générale :
m
d2x
dt2
+ k x = −m A ω 2 cos (ωt + φ) + k A cos (ωt + φ) = 0
m ω2 = k
s
k
Cette solution convient. On appelle fréquence angulaire naturelle, ωo = m
r
et la période, T = 2π m
.
k
Regardons les conditions aux limites : à t = 0 : x(t = 0) = xm = A cos φ,
et v(t = 0) = −A ω sin φ = 0. Donc φ = 0[2π] et A = xm. Finalement
pour notre ressort, on trouve que l’équation du mouvement est donnée par :
v
u
u
u
u
u
t
x(t) = xm cos (
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10 -25
k
m
t)
C. Leluc
Energie dans un mouvement harmonique simple (MHS)
EN RESUME
Dès que l’on sait que l’accélération varie en fonction du temps, on peut utiliser
la 2eme loi de Newton pour apprendre quelle force doit agir sur une masse
pour lui donner cette accélération.
On combine la 2eme loi de Newton avec a(t) = −ω 2 x(t), soit
F = ma = −(mω 2) x
On trouve que la force est proportionelle au déplacement, mais de signe opposé.
Le mouvement harmonique simple (MHS) est le mouvement d’une particule
de masse m soumise à une force proportionelle à son déplacement, mais de
signe opposé.
x(t) = xm cos (ω t + φ)
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C. Leluc
Exemple : MHS
Pour un MHS, au temps t = 0, on mesure xm = −8, 5cm, v(0) = −0, 92m/s,
et a(0) = +47, 0m/s2.
– (a) trouver ω et f ? ?
x(0) = xm cos φ,
v(0) = −ω xm sin φ,
a(0) = −ω 2xm cos φ
On a 3 équations et 3 inconnues xm, φ et ω
ω =
v
u
u
u
u
u
u
t
−a(0)
x(0)
= 23, 5 rad/s et f =
ω
2π
= 3, 74Hz
– (b) Valeur de la phase initiale ? ?
v(0)
x(0)
=
−ωxm sin φ
= −ω tan φ
xm cos φ
v(0)
= −0.461
tan φ = −
ω x(0)
Soit φ = −25◦ et φ = 155◦.
– (c) Valeur de xm ? ?
x(0)
Avec φ = 155◦, on trouve : xm = cosφ
= 0.094m. Avec φ = −25◦, on
trouve : xm = −9, 4cm. L’amplitude doit toujours être positive, φ = 155◦.
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C. Leluc
Energie dans un mouvement harmonique simple (MHS)
L’énergie mécanique totale d’un système en mouvement harmonique simple
est constante. Il se produit un échange continuel entre l’énergie cinétique et
l’énergie potentielle.
– L’énergie potentielle d’un oscillateur linéaire
est associée entièrement au ressort et
dépend si le ressort est étiré ou comprimé
1
1
2
Ep =
kx =
k x2m cos2 (ωt + φ)
2
2
– L’énergie cinétique est associée entièrement
au bloc et dépend de sa vitesse
1
1
2
Ec = mv = mω 2x2m sin2 (ωt + φ)
2
2
1
= k x2m sin2 (ωt + φ)
2
Energie mécanique totale Em = Ep + Ec
1
1
2
2
2
Em = k xm cos (ωt + φ) + sin (ωt + φ) =
k x2m
2
2
L’énergie mécanique totale est proportionelle au carré de l’amplitude
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C. Leluc
Exemple : Force de rappel élastique
Le chariot a une masse de 1,00 kg. On le déplace de 5,00 cm vers la droite
avec une force horizontale de 10,0 N. (a) En supposant qu’il n’y a pas de
frottement, quelle est la période d’oscillation quand on a laché le chariot ?
(b) Où sera-t-il au bout de 0,20 s ? (c) Que sera la constante d’élasticité du
système si l’un des 2 ressorts identiques est supprimé ? (d) Déterminer la
nouvelle fréquence.
SOLUTION : (a) Comme la force appliquée F produit
un déplacement x, tel que F = k x, alors
k =
F
=
10, 00N
= 200N/m
x
0, 05m
C’est la constante d’élasticité du système, c-a-d celle du ressort qui produirait
le même vibration si le chariot était fixé à son extrémité. Ainsi
T = 2π
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v
u
u
u
u
t
m
k
= 2π
v
u
u
u
u
u
t
1, 0kg
200N/m
10 -29
= 0, 444s
C. Leluc
Exemple : Force de rappel élastique (suite)
(b) Pour trouver le déplacement au temps t = 0, 2s, il faut d’abord déterminer
les paramètres de l’équation du mouvement : x = xm cos (ωt + φ). Au
temps t = 0, v(t = 0) = 0 = −ωxm sin φ. Donc φ = 0. Comme
xm = 0, 050m et ω = 2π/T , on trouve :
x(t = 0, 2s) = (0, 05m) cos (2π/0, 444s) (0, 2s) = −0, 0476m
(c) Si on suprime l’un des 2 ressorts, pour effectuer le même déplacement, il
suffit de la moitié de la force précédente.
Donc k = 0, 100 kN/m.
√
(d) La nouvelle fréquence sera 1/ 2 ce qu’elle était avant, soit 1,59 Hz.
Pour déplacer horizontalement le chariot, on doit lui
fournir de l’énergie. Cette énergie est conservée et
se transforme sans perte, d’énergie potentielle en
énergie cinétique et vice-versa, pendant que le chariot oscille sinusoı̈dalement avec amplitude constante.
En réalité, l’oscillation est amortie : son amplitude diminue progressivement jusqu’à ce que toute l’énergie
soit transformée en énergie thermique par les frottements et les pertes internes dans les ressorts.
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10 -30
C. Leluc
Le pendule physique
Un pendule composé est un corps solide, libre d’osciller dans un plan
vertical autour d’un axe. Le moment de force par rapport au point O :
τ = −(m g h) sinθ. Le signe − indique que le moment de force tend
toujours à reduire l’angle θ à 0. La 2eme loi de Newton concernant le mouvement de rotation, τ = I α, où I est le moment d’inertie, donne :
−m g h sin θ = Iα = I
d2θ
dt2
Pour de petits déplacements, sin θ ∼ θ
d2θ
dt2
+
mgh
θ =0
I
On retrouve l’équation du MHS. Ici x est remplacé par θ et k/m par mgh/I.
Le mouvement d’un pendule physique avec petits déplacements angulaires
est :
θ(t) = θm cos (ωt + φ)
v
r
u
u I
avec pour fréquence angulaire ω = mgh /I et pour période T = 2π t mgh
.
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10 -31
C. Leluc
Le pendule simple
Un pendule simple est constitué d’une corde inextensible de longueur L, de
masse négligeable, à laquelle est fixée une masse ponctuelle, m.
Les forces agissant sont la tension du
fil, FT , et le poids, mg, de la masse
que l’on décompose en une force radiale mg cos θ et une force tangentielle
mg sin θ. Cette dernière s’oppose au
déplacement et tend à ramener la masse
à sa position d’équilibre (θ = 0).
F = −mg sin θ ∼ −mgθ
mg
l
)l
= −mg = −(
L
L
On retrouve
l’eq. de Hooke avec k =
s
r
mg
1
– ω = ( L )( m ) = g/L
r
s
m
– T = 2π mg/L = 2π L/g
–f =
1
T
=
1
2π
mg
.
L
r
g/L
La période ne dépend pas de la masse, mais uniquement de la longueur.
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10 -32
C. Leluc
Pendule à torsion
On tourne le disque d’un angle θm par rapport à sa position de repos, puis on
le lache. Il oscille selon un MHS. La torsion d’un fil crée un moment de force
de rappel.
τ = −κ θ
κ : constante de torsion qui dépend de la longueur,
du diamètre et du matériau du fil. La 2eme loi de
Newton donne :
d2θ
τ = Iα = I
dt2
I : moment d’inertie, α : accélération angulaire.
L’équation du mouvement :
d2θ
dt2
avec ω =
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+
κθ
= 0 (MHS)
I
κ/I, f =
r
10 -33
1
2π
r
r
κ/I, T = 2π I/κ.
C. Leluc
MHS et mouvement circulaire uniforme
Soit une particule P qui se déplace sur un cercle de centre O et de rayon A
à vitesse constante vmax dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
A tout instant la position de la particule est définie par l’angle θ. Comme la
vitesse linéaire est constante, la vitesse angulaire correspondante ω l’est
aussi puisque v = rω. La position angulaire à l’instant t est θ = ω t (voir
chapitre 8). La projection de P perpendiculairement à l’axe des x est un point
Q qui oscille entre +xmax et −xmax pendant que P décrit le cercle à vitesse
constante.
Le déplacement de Q mesuré à partir de O pris comme origine est donné par :
x(t) = xm cos (ωt + φ) = A cos (ωt + φ)
La projection d’un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre du cercle
représente un mouvement harmonique simple.
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10 -34
C. Leluc
Mouvement oscillatoire amorti
Considérons un système oscillatoire harmonique simple sous l’action d’une
force de rappel F = −kx. A cette force de rappel, s’ajoute une force
d’amortissement qui provient en général de la résistance de l’air et du frottement qui se produit à l’intérieur du système oscillant. On observe que l’amplitude des oscillations va diminuer jusqu’à ce que les oscillations s’arrêtent
complètement. C’est un mouvement oscillatoire amorti. La force d’amortissement dépend de la vitesse de l’objet oscillant et peut être considérée comme
.
proportionnelle à sa vitesse : Famor = −b dx
dt
La 2eme loi de Newton donne :
d2x
dx
− kx
m 2 = −b
dt
dt
et l’équation du mouvement est :
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ kx = 0
dont la solution est :
b
x(t) = xm e− 2m t cos (ω 0t + φ) = x0m cos (ω 0t + φ)
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10 -35
C. Leluc
Mouvement oscillatoire amorti (suite)
b
− 2m
t
x(t) = xm e
cos (ω 0t + φ) = x0m cos (ω 0t + φ)
Le mouvement oscillatoire a une amplitude décroissant exponentiellement,
une période plus longue que la période naturelle de l’oscillateur et donc une
fréquence ω 0 moindre. C’est un résultat logique puisque le frottement tend à
ralentir le mouvement.
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10 -36
C. Leluc
Mouvement oscillatoire amorti (suite)
0
r
– b = 0, ω = ωo = k/m
Il n’y a√pas d’amortissement.
– b = 2 km, amortissement critique
v
u
u
2
0
u k
b
(ω
= 0). Il n’y a pas d’oscillations, le
u
0
t
ω = u
−
système revient à sa position d’équilibre sans
m
4m2
la dépasser.
√
– b ≤ 2 km, amortissement sous-critique
C’est le cas d’un pendule ordinaire dont l’amplitude diminue lentement. Le mouvement
est oscillatoire mais non périodique car son
amplitude
√ diminue.
– b ≥ 2 km, amortissement sur-critique
Le système n’oscille plus du tout, et met
plus de temps pour revenir à sa position
d’équilibre.
L’énergie mécanique n’est pas constante ici. Elle diminue en fonction du
temps. Si l’amortissement est petit, on peut trouver Em(t) en remplaçant
xm par xme−bt/2m. L’énergie mécanique diminue exponentiellement avec le
temps, mais l’énergie totale est conservée.
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10 -37
C. Leluc
Exemple : Mouvement oscillatoire amorti
Dans l’oscillateur amorti précédent, on a : m = 250g, k = 85N/m et b =
70g/s. (a) Calculer la période ? ? (b) Combien de temps faut-il attendre pour
que son amplitude d’oscillation diminue de moitié ? ? (c) Combien de temps
faut-il pour que l’énergie
√ mécanique diminue de moitié ? ?
– (a) Comme b ≤ km = 4, 6 kg/s, la période peut être approximée par
celle d’un oscillateur non amorti :
T = 2π
v
u
u
u
u
t
m
= 2π
v
u
u
u
u
u
t
0, 25kg
= 0.34s
k
85N/m
– (b) A t = 0, son amplitude vaut xm. Il faut trouver la valeur de t telle que
xme−bt/2m = 12 xm. En simplifiant, prenant le log : ln 1/2 = −bt/2m
t =
−2m ln 1/2
b
=
−(2)(0, 25 kg)(ln 1/2)
0, 070 kg/s
= 5.0 s
– (c) Au temps t = 0, Em vaut 1/2kx2m. On doit trouver le temps t tel que :
1/2kx2me−bt/m = 1/2(1/2kx2m)
−m ln 1/2
−(0, 25 kg)(ln 1/2)
t =
=
= 2.5 s
b
0, 07 kg/s
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10 -38
C. Leluc
Oscillations forcées, résonances
Pour maintenir les oscillations malgré l’amortissement, il faut apporter continuellement de l’énergie au système. Une force effectue un travail moteur
sur le système, pour compenser la perte d’énergie produite par les frottements. Si on pousse un enfant sur une balançoire, il peut continuer à osciller malgré les frottements ; pour être efficace, il faut pousser la balançoire
quand elle atteint le maximum de hauteur et commence à descendre, la force
que vous exercez est alors parrallèle au déplacement et le travail est moteur.
Soit un ressort ou une masse suspendue à un long
élastique : donnez au système une courte impulsion
et observez sa fréquence propre,fo. Arrêtez les vibrations et faites monter et descendre votre main avec
une amplitude de ∼ 2cm et une basse fréquence
fe ∼ 0, 3Hz( fo). Le système suit votre mouvement, il se déplace en phase avec votre mouvement
mais avec une amplitude plus faible.
On a un comportement semblable quand fe est beaucoup plus grande que fo.
Mais quand fe approche fo, l’amplitude des oscillations résultantes est très
grande : il y a résonance.
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10 -39
C. Leluc
Oscillations forcées, résonances
L’application d’une force externe périodique, Fext = Fe cos ωet, à un système
qui peut osciller, produit des oscillations forcées. Le mouvement résultant est
une oscillation forcée ou entretenue dont l’équation est :
d2x
dx
m 2 + b
+ kx = Fe cos ωet
dt
dt
et la solution x(t) = Xm cos (ωet + φ0)
On a une oscillation à la fréquence angulaire de la force extérieure.
Ici φ0 n’est pas une constante, mais une fonction de ωe et ωo la fréquence naturelle. L’amplitude Xm est aussi une fonction compliquée
de ωe et ωo. Elle est maximale pour ωe = ωo :
C’est le phénomène de résonance. Si l’amortissement est faible, l’amplitude peut devenir considérable et entrainer la rupture du
système mécanique.
Toute structure mécanique a une ou plusieurs fréquences propres, et si la
structure est soumise à une force extérieure dont la fréquence correspond
à l’une de ces fréquences propres, il peut y avoir des oscillations tellement
violentes que la structure se casse.
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10 -40
C. Leluc