Mouvement oscillatoire amorti

LES OSCILLATIONS
Un mouvement qui se r´ ep` ete ` a intervalles de temps cons´ ecutifs ´ egaux est dit
p´ eriodique.
Exemples d’oscillations :
– la balancoire, cordes d’une guitare ....
– mol´ ecules d’air qui transmettent la sensation de son,
– les atomes dans un solide qui donne la sensation de temp´ erature,
– les ´ electrons dans les antennes de radio et TV.
Il existe 2 sortes de mouvements p´ eriodiques :
–Mouvements sur une trajectoire ferm´ ee, qui peuvent ˆ etre rep´ er´ es par la
rotation p´ eriodique d’un angle autour d’un point ` a l’int´ erieur de la trajectoire
(mouvement de la Terre autour du soleil) et les mouvements de va-et-vient
sur un mˆ eme axe (chapitres 5 et 8).
–Mouvements vibratoires ou oscillatoires, mouvement p´ eriodique dont la
forme la plus simple est le mouvement sinuso¨ ıdal ou mouvement harmo-
nique simple (MHS).
Universit´ e de Gen` eve 10 -20 C. Leluc

Le mouvement harmonique simple (MHS)
Un cycle est la plus petite s´ equence qui se r´ ep` ete.
La fr´ equence, f:le nombre de cycles par seconde. Elle s’exprime en
seconde−1ou Hertz(Hz), 1 Hz = 1 cycle/s.
La p´ eriode, T:le temps qu’il faut pour que le syst` eme accomplisse un cycle :
T= 1/f.
x(t) = xmcos (ωt +φ)
–xm:l’amplitude,´ elongation maximum.
–ωt +φ: la phase.
–φ: la phase initiale d´ ependant du
d´ eplacement et de la vitesse ` at= 0. La
valeur de φn’influence pas la forme de x(t).
–ω:la fr´ equence angulaire/pulsation
x(t) = x(t+T)
xmcos (ωt +φ) = xmcos [ω(t+T) + φ]
ω(t+T) + φ= (ωt +φ)+2π
ω=2π
T= 2πf (en rad/s)
Universit´ e de Gen` eve 10 -21 C. Leluc

MHS : la vitesse
Vitesse
vx(t) = dx(t)
dt =−xmωsin (ωt +φ)
– La vitesse varie entre les limites : ±vm=±ω xm.
– La vitesse est d´ ecal´ ee vers la gauche de T /4par rapport ` ax(t)
– Amplitude maximum du d´ eplacement correspond ` a vitesse nulle.
– Amplitude minimum du d´ eplacement correspond ` a vitesse maximum vm.
Avec φ= 0, on a la repr´ esentation suivante
Universit´ e de Gen` eve 10 -22 C. Leluc

MHS : l’acc´ el´ eration
Acc´ el´ eration
ax(t) = dvx(t)
dt =−xmω2cos (ωt +φ) = −ω2x(t)
L’acc´ el´ eration est proportionelle ` a son ´ elongation et de signe oppos´ e.
Ceci est la caract´ eristique d’un mouvement harmonique simple.
– L’acc´ el´ eration varie entre les limites : ±am=±ω2xm.
– L’acc´ el´ eration est d´ ecal´ ee vers la gauche de T /4par rapport ` av(t)
– Amplitude maximum du d´ eplacement correspond ` a une acc´ el´ eration
n´ egative maximale.
– Un d´ eplacement nul correspond ` a une acc´ el´ eration nulle.
Avec φ= 0, on a la repr´ esentation suivante
Universit´ e de Gen` eve 10 -23 C. Leluc

Force pour un mouvement harmonique simple
Prenons un bloc de masse, m, attach´ e` a un ressort. On tire sur le ressort et
on am` ene la masse en position xm, puis on lache. On n´ eglige les frottements.
Le ressort exerce une force de rappel,
Fe=−kx (Loi de Hooke). Le signe −
indique que cette force de rappel est dans
le sens oppos´ e.
D’apr` es la 2eme loi de Newton, F=mA,
on a :
Fe=−kx =ma =md2x
dt2
md2x
dt2+k x = 0
Equation diff´ erentielle du 2eme degr´ e dont la solution g´ en´ erale est :
x(t) = Acos (ωt +φ)
Il faut d´ eterminer A, ω et φpour le mouvement du ressort.
Universit´ e de Gen` eve 10 -24 C. Leluc