COURS : TRIGONOMÉTRIE
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C4 Trigonométrie Troisième COURS C HAPITRE 4 C OURS : T RIGONOMÉTRIE Numéro G9 G10 G11 G12 Capacités Connaître les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle Déterminer une longueur d’un triangle rectangle en utilisant le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu Déterminer à l’aide de la calculatrice des valeurs approchées de l’angle aigu dont on connait le cosinus, le sinus ou la tangente b sin A b 2 + (sin A) b 2 = 1 et tan Ab = Connaître et utiliser les égalités (cos A) cos Ab Pour toi ä ä ä ä 1 Relations trigonométriques Définition : Soit ABC un triangle rectangle en A ; on notera α b l’angle AC B. Alors on a : cos α b= Côté adjacent AC = Hypoténuse BC sin α b= Côté opposé AB = Hypoténuse BC tan α b= Côté opposé AB = Côté adjacent AC Illustration : b A Côté opposé à α b B Côté adjacent à α b b Hypoténuse b α b N. SANS page 1 C Lycée Jean Giono Turin C4 Trigonométrie Troisième COURS 2 Pour quoi faire ?... 2.1 ... Pour calculer des longueurs Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’un des côtés ainsi que la mesure de l’un des angles aigus, on peut calculer les longueurs des deux autres côtés. Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12 cm et α b = 30◦ . Alors on peut calculer la longueur du côté [AC ] en utilisant la formule de la tangente : tan α b= d’où AB AC AB 12 = ≃ 20.8 cm tan α b tan 30◦ De même on peut calculer la longueur du côté [BC ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en utilisant la formule du sinus : AB sin α b= BC d’où AB 12 BC = = = 24 cm sin α b sin 30◦ AC = 2.2 ...Pour calculer des mesures d’angles Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux des côtés, on peut calculer les mesures des deux angles aigus du triangle. Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12 cm et AC = 16 cm. Alors on peut calculer la mesure de l’angle AC B en utilisant la formule de la tangente : AB 12 = = 0, 75 AC 16 tan AC B= tan−1 tan , d’où, à l’aide de la calculatrice et de sa touche AC B ≃ 36, 9◦ Comme les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la me par : sure approchée de l’angle ABC = 90◦ − AC ABC B ≃ 90 − 36, 9 = 53, 1◦ 3 Formules trigonométriques Propriété n°1 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α b quelconque. Alors on a, pour toute valeur de x : 0 < cos x < 1 et 0 < sin x < 1 Preuve : N. SANS page 2 Lycée Jean Giono Turin C4 Trigonométrie COURS Troisième Cela provient du fait que, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long : supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α b = AC B dans un triangle ABC rectangle en A (voir figure page 1). AC On a alors cos x = cos α b= avec AC < BC (car [BC ] est l’hypoténuse), et donc il vient BC cos x < 1. De plus, comme AC et BC sont des longueurs, on a AC > 0 et BC > 0 ; AC >0 par conséquent cos x = cos α b= BC Propriété n°2 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α b quelconque. Alors on a, pour toute valeur de x : cos2 x + sin2 x = 1 Remarques : Ï On écrit cos2 x pour (cos x)2 , et ceci dans le but d’éviter toute confusion avec cos x 2 , dans le cas où l’on oublierait d’écrire les parenthèses... Ï Cette formule peut permettre d’obtenir le sinus d’un angle aigu lorsque l’on connaît son cosinus, et vice-versa. Preuve : Supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α b = AC B dans un triangle ABC rec- tangle en A (voir figure page 1). AB AC et sin x = sin α b= . On a alors cos x = cos α b= BC BC Ainsi on peut écrire que ¶ µ ¶ µ AB 2 AC 2 AB 2 AC 2 + AB 2 AC 2 2 2 + = + = cos x + sin x = BC BC BC 2 BC 2 BC 2 Or, le triangle ABC étant rectangle en A, le théorème de Pythagore nous dit que AB 2 + AC 2 = BC 2 . On peut donc conclure : AC 2 + AB 2 BC 2 2 2 = =1 cos x + sin x = BC 2 BC 2 Propriété n°3 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α b quelconque. Alors on a, pour toute valeur de x : sin x tan x = cos x Preuve : Supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α b = AC B dans un triangle ABC rectangle en A (voir figure page 1). AC AB On a alors cos x = cos α b= et sin x = sin α b= . BC BC Ainsi on peut écrire que AB ✟ AB BC sin x AB BC AB ✟ BC = × = ✟× = = tan x = AC cos x BC AC ✟ AC BC AC BC N. SANS page 3 Lycée Jean Giono Turin C4 Trigonométrie Troisième COURS 4 Mais qui a bien pu inventer tout ça, et pourquoi ? Hipparque de Nicée -190/-120 Celui que l’on peut considérer comme le père historique de la trigonométrie (trigonos = triangle, et metron = mesure en grec) est sans doute HIPPARQUE DE NICEE, brillant astronome grec de l’antiquité (né dans l’actuelle Turquie au IIème siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (donnant des valeurs de ce que l’on appelle aujourd’hui des sinus d’angles), et qui s’en servit pour recenser les positions exactes de plus de 1000 étoiles au moyen de l’une de ses inventions, l’astrolabe (qui permet de mesurer la hauteur des astres sur l’horizon). Ces mesures d’angles permirent l’essor de la navigation, qui nécessite de connaître précisément la position des étoiles sur la voûte céleste. Il est à noter que c’est lui qui a le premier utilisé la division du cercle en 360 degrés, empruntée aux Babyloniens, toujours d’actualité aujourd’hui. PTOLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et compléta l’oeuvre d’HIPPARQUE, notamment dans un ouvrage demeuré célèbre, intitulé l’Almageste, traité complet d’astronomie, compilant le savoir scientifique des Grecs de l’antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques extrêmement précises. Ptolémée 90/168 Al Khwarizmi 780/850 Les calculs seront encore affinés par les mathématiciens Indiens et surtout Arabes entre le VIème et le Xème siècle ; citons notamment le mathématicien indien ARYABHATA, mais surtout les mathématiciens arabes AL KHWARIZMI et AL WAFA ("inventeur" de la tangente) à Bagdad. AL KHWARIZMI est un immense mathématicien, né dans l’actuel Ouzbékistan au IXème siècle, et considéré comme le père de l’algèbre (al-jabr en arabe, terme repris du titre de son oeuvre majeure, intitulée Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’al-Muqàbala, traitant de la résolution des équations) L’astronome et mathématicien allemand REGIOMONTANUS, au XVème siècle, est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. Après avoir pris connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie comme branche à part entière des mathématiques (aujourd’hui on dirait même "pilier" des mathématiques !), indépendante de l’astronomie, dans un traité fondateur intitulé De triangulis planis etspherici libri quinque, una cum tabuli sinuus, publié de façon posthume en 1561. Regiomontanus 1436/1476 Les applications actuelles de la trigonométrie sont nombreuses et fondamentales : les fonctions sinus et cosinus sont certainement celles les plus rencontrées dans les sciences ! En astronomie (depuis l’Antiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfraction), en électricité (courant alternatif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hertziennes ?), en mécanique, etc... N. SANS page 4 Lycée Jean Giono Turin
