1 Rappels sur l`indépendance 2 Convergence de variables

ISFA Semestre automne 2016-2017
Probabilités avancées - Master Économétrie et Statistique
Hugo Vanneuville, Institut Camille Jordan, Lyon 1, bureau 219
http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/vanneuville/
Deuxième séance
Convergence de variables aléatoires
Si vous avez des questions, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à l’adresse v[email protected]on1.fr.
1 Rappels sur l’indépendance
Exercice 1. Rappeler la définition d’indépendance pour :
1. deux événements,
2. deux variables aléatoires réelles,
3. nvariables aléatoires réelles pour n≥2.
Rappel : La propriété suivante est très importante :
Soient X1, ..., Xndes v.a. réelles. Elles sont indépendantes si et seulement si, pour tout choix de fonctions
g1, ..., gncontinues bornées de Rvers Con a :
E[g1(X1)...gn(Xn)] = E[g1(X1)] ...E[gn(Xn)] .
2 Convergence de variables aléatoires réelles
Dans le cours, vous avez vu quatre types de convergence :
2.1 La convergence presque sûre
Définition 1 Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles et soit Xune variable aléatoire réelle.
On dit que (Xn)n∈Nconverge presque sûrement vers Xsi l’événement {Xn→X}a probabilité 1.
On reviendra sur la notion de convergence presque sûre quand on fera des rappels sur les espaces de
probabilité.
2.2 La convergence Lp
Définition 2 Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles et soit Xune variable aléatoire réelle.
Soit p≥1. On dit que (Xn)n∈Nconverge dans Lpvers Xsi :
E[|X−Xn|p]−→
n→+∞0.
Par exemple, on dit que (Xn)n∈Nconverge dans L2vers Xsi :
Eh(X−Xn)2i−→
n→+∞0.
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2.3 La convergence en probabilité
Définition 3 Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles et soit Xune variable aléatoire réelle.
On dit que (Xn)n∈Nconverge en probabilité vers Xsi, pour tout  > 0:
P[|X−Xn| ≥ ]−→
n→+∞0.
2.4 La convergence en loi
Définition 4 Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles et soit Xune variable aléatoire réelle.
On dit que (Xn)n∈Nconverge en loi vers Xsi, pour toute fonction continue bornée g:R→Ron a :
E[g(Xn)] −→
n→+∞
E[g(X)] .
2.5 Liens entre les différents modes de convergence
Dans le cours, vous avez vu les implications suivantes :
1. Si (Xn)n∈Nconverge presque sûrement vers X, alors (Xn)n∈Nconverge en probabilité vers X.
2. Si (Xn)n∈Nconverge dans Lpvers X, alors (Xn)n∈Nconverge en probabilité vers X.
3. Si 1≤p≤qet (Xn)n∈Nconverge dans Lqvers X, alors (Xn)n∈Nconverge dans Lpvers X.
4. Si (Xn)n∈Nconverge en probabilité vers X, alors (Xn)n∈Nconverge en loi vers X.
On propose, dans l’Exercice 3, de montrer la deuxième propriété ci-dessus.
3 Indépendance et fonction caractéristique : application à la conver-
gence en loi
On va réviser les notions étudiées lors de la dernières séance et les appliquer à la preuve du TCL et
de la loi (faible) des grands nombres dans un cas particulier. Avant cela, faisons un rappel sur la
convergence en loi :
Un des théorèmes les plus importants concernant la convergence en loi est le suivant (où on note ϕXla
fonction caractéristique de Xi.e. ϕXest la fonction : R→Cdéfinie par ϕX(u) = EeiuX ) :
Théorème 1 (Théorème de Lévy) Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles et soit X
une variable aléatoire réelle. (Xn)n∈Nconverge en loi vers Xsi et seulement si, pour tout u∈R,
ϕXn(u)−→
n→+∞ϕX(u).
Exercice 2. (Cf l’Exercice 2de la feuille de TD 3.) Soient X1, X2, ... des v.a. i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre 1. On pose Yn=Pn
i=1 Xi.
1. Calculer ϕYn(u)pour tout u∈R.
2. Que vaut lim
n→+∞ϕYn/n(u)pour tout u∈R? Que remarquez-vous ?
3. On pose :
Zn=Yn−n
√n.
Calculer ϕZn(u)puis lim
n→+∞ϕZn(u)pour tout u∈R. Que remarquez-vous ? (On rappelle que si V
est une variable Gaussienne centrée réduite alors ϕV(u) = e−u2/2.)
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4 Inégalité de Markov : application à la convergence dans L2et à la
convergence en probabilité
Exercice 3.
1. Rappeler l’inégalité de Markov.
2. En déduire que la convergence dans L2implique la convergence en probabilité.
5 Bonus 1 : Probabilités sachant un événement : la formule de Bayes
Exercice 4. Soient Bun événement vérifiant P[B]∈]0,1[ et Aun événement vérifiant P[A]6= 0.
1. Pourquoi est-ce que PhA
Biet PhA Bcisont bien définies ?
2. Montrer que :
P[A] = PhA
BiP[B] + PhA BciP[Bc].
3. En déduire la formule de Bayes :
PhB
Ai=
PhA
BiP[B]
PhA
BiP[B] + PhA BciP[Bc]
.
Le but de la formule de Bayes est de pouvoir calculer PhB
Ailorsqu’on a accès à P[B],PhA Bi
et PhA
Bci, Cf l’exercice 5ci-dessous.
Comme dans l’Exercice 6de la séance précédente, le but de l’exercice ci-dessous est de montrer qu’il faut
faire très attention lorsque l’on veut interpréter des résultats de probabilité.
Exercice 5. Test pour la maladie de la vache folle. On a les données suivantes sur le test de la vache
folle : (1) quand il est appliqué à une vache malade, il est positif (i.e. il indique “la vache est malade”)
dans 99,8% des cas ; (2) quand il est appliqué à une vache saine, il est négatif dans 99,6% des cas. Par
ailleurs, on sait qu’une vache sur 100 000 est malade.
Quelle est la probabilité qu’une vache soit malade sachant que le test qu’on lui a appliqué est positif ?
6 Bonus 2 : Des rappels de calculs d’intégrales et de séries
1. Des séries usuelles :
(a) Série géométrique : Soit θ6= 1 et soit n∈N. On a :
n
X
k=0
θk=1−θn+1
1−θ.
Et donc, si θ∈[0,1[, alors :
+∞
X
k=0
θk=1
1−θ.
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(b) Série exponentielle : Soit x∈R. On a :
+∞
X
k=0
xk
k!=ex.
Le résultat reste vrai pour x∈C.
2. La formule de changement de variable : Soit fune fonction définie sur un intervalle de R,
soit ϕ: [a, b]→Rune fonction C1(i.e. dérivable et de dérivée continue) à valeur dans l’ensemble
de définition de f. Alors :
Zb
a
f(ϕ(x)) ϕ0(x)dx =Zϕ(b)
ϕ(a)
f(t)dt .
3. Un théorème de convergence vers une exponentielle : Soit vnune suite à valeurs dans Cet soit
a∈Ctel que vn=a
n+o1 n. Alors :
(1 + vn)n−→
n→+∞ea.
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