Autour des polynômes

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Autour des polynômes
1
Introduction
Nous nous limiterons aux polynômes à une indéterminée X , construits sur les réels IR ou les
complexes C .
Un polynôme P est défini par :
2
n
P (X) = a0 + a1 X + a2 X + ... + an X =
k=n
X
ak X k oùles
k=0
ak sont les coefficients réels ou complexes du polynôme P .
Le degré d’un polynôme est n si an est non nul et on note d◦ P = n.
On peut calculer le polynôme dérivé de P noté P 0
P 0 (X) = a1 + 2a2 X 1 + ... + nan X n−1
Un nombre r (réel ou complexe) est une racine du polynôme P si et seulement si (ssi)
P (r) = 0
Il existe alors un polynôme Q1 unique de degré égal au degré de P moins 1, tel que
P (X) = (X − r) Q1 (X)
S’il existe un polynôme Q2 de degré égal au degré de P moins 2, tel que
P (X) = (X − r)2 Q2 (X)
avec Q2 (r) 6= 0
alors on dit que r est une racine double du polynôme P .
Plus généralement s’il existe un polynôme Qm avec d◦ Q = d◦ P − m, tel que
P (X) = (X − r)m Qm (X)
avec Qm (r) 6= 0
on dit que r est une racine multiple d’ordre m du polynôme P .
Théorème 1 Le nombre r est une racine multiple d’ordre m du polynôme P ssi
P (r) = P 0 (r) = P ”(r) = ... = P (m−1) (r) = 0
et
P (m) (r) 6= 0
où P (q) désigne la dérivée d’ordre q du polynôme P .
Théorème 2 Un polynôme à coefficients complexes de degré n positif, peut se mettre de façon
unique sous la forme
P (X) = an (X − r1 )m1 (X − r2 )m2 (X − r3 )m3 .... (X − rk )mk
avec
d◦ P
= m1 + m2 + m3 + ... + mk
et ri ∈ C
r1 , r2 , ... , rk étant des racines distinctes de multiplicité respective m1 , m2 , ... , mk .
Théorème 3 Tout polynôme à coefficients complexes de degré n, possède donc exactement n
racines dans C , chaque racine étant comptée avec son ordre de multiplicité.
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Remarque 1 Si un polynôme est à coefficients réels, il peut y avoir des racines complexes mais,
si r est racine multiple d’ordre m, alors le nombre complexe conjugué r̄ est aussi racine multiple
d’ordre m du polynôme P , (si r = α + iβ alors r̄ est r̄ = α − iβ où α et β sont des réels appelés
respectivement partie réelle et partie imaginaire de r ).
Relation entre coefficients et racines dans le cas du trinôme:
Cas d◦ P = 2, et P (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 , alors il existe r1 , r2 ∈ C tels que
a0 + a1 X + a2 X 2 = a2 (X − r1 ) (X − r2 )
= a2 (X 2 − (r1 + r2 )X + r1 r2 )
On en déduit en identifiant les relations entre coefficients et racines
a1
somme des racines = r1 + r2 = −
a2
a0
produit des racines = r1 r2 =
a2
Relation entre coefficients et racines dans le cas général
Cas d◦ P = n > 2 et P (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + ... + an X n . On a
an−1
r1 + r2 + ... + rn = −
an
X
an−2
ri rj = +
an
X
an−3
ri rj rk = −
an
r1 r2 .... rn = (−1)n
2
a0
an
Identités remarquables
Elles sont utiles pour développer ou au contraire factoriser les polynômes. On rappelle seulement
ici les puissances de (X − a)
(X − a)2 = X 2 − 2aX + a2
(X − a)3 = X 3 − 3aX 2 + 3a2 X − a3
(X − a)4 = X 4 − 4aX 3 + 6a2 X 2 − 4a3 X + a4
etc (cf triangle de Pascal )
n
(X − a)
avec Cnk =
= X n − Cn1 aX n−1 + Cn2 a2 X n−2 ...... + (−1)k Cnk ak X n−k + ... + (−1)n an
n!
k!(n−k)!
qui est le nombre de combinaisons de k objets choisis parmi n .
Il peut être utile de trouver les racines nième du nombre complexe 1 pour factoriser le
polynôme X n − 1
(X n − 1) = (X − r0 )(X − r1 )(X − r2 )(X − r3 ) .....(X − rn−1 )
avec rk = ei2πk/n
où k = 0, 1, 2, ...., n − 1,
Les rk sont les n racines nièmes de l’unité.
On remarque que r0 = 1 est racine de X n − 1 pour tout n . On a l’identité remarquable
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(X n − 1) = (X − 1)(X n−1 + X n−2 + X n−3 + ..... + 1)
utilisée le plus souvent pour calculer la somme partielle d’une série géométrique :
1 + X + ..... + X n−3 + X n−2 + X n−1 =
3
1 − Xn
1−X
Divisions des polynômes
Il y a deux sortes de division d’un polynôme par un autre:
- la division euclidienne (ou suivant les puissances décroissantes)
- la division suivant les puissances croissantes.
Division euclidienne. On dit que le polynôme Q est le quotient du polynôme P par le
diviseur D , avec un reste R ssi
P (X) = D(X)Q(X) + R(X)
avec
d◦ R < d◦ D
ou bien R = 0.
Le résultat est unique. On dit que P est un multiple de D (ou D divise P ) si R = 0.
Division selon les puissances croissantes.
On dit que le polynôme Qm est le quotient du polynôme P par le diviseur D à l’ordre m (m ∈ N)
ssi
P (X) = D(X)Qm (X) + X m Rm (X)
avec d◦ Qm < m ou Qm = 0
Cette notion de division est bien moins utile que la division euclidienne, et l’ordre m peut être
fixé arbitrairement.
4
Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est le quotient d’un polynôme P par un polynôme Q .
P est appelé le numérateur et Q le dénominateur. Si P et Q n’ont pas de racines communes,
P
la fraction rationnelle Q
est dite irréductible.
Les racines ai du dénominateur Q sont les pôles de la fraction rationnelle.
La partie entière de la fraction rationnelle est le quotient de P par Q dans la division
euclidienne (i.e. selon les puissances décroissantes).
Pour pouvoir calculer les primitives d’une fraction rationnelle, il faut la décomposer en
une somme de fonctions simples dont on sait calculer les primitives. Cette méthode, que l’on
appelle décomposition en éléments simples, est un outil indispensable pour le calcul des
intégrales. C’est également utile pour calculer une fonction dont la transformée de Laplace
est une fraction rationnelle (utilisation fréquente en automatisme).
Théorème 4 Une fraction rationnelle irréductible est la somme de sa partie entière et des
parties principales relatives à ses pôles. En notant ni la multipicité du pôle ai ∈ C , on a :
¶
X µ A1
P (x)
A2
A3
Ani
≡ E(x) +
+
+
+
...
+
Q(x)
x − ai (x − ai )2 (x − ai )3
(x − ai )ni
a
i
Les coefficients Aj sont des nombres réels ou complexes. Cette décomposition est unique.
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Si Q est à coefficients réels alors ses racines complexes sont 2 à 2 conjuguées. Plus
précisément, si αi est racine non réelle multiple d’ordre mi , alors αi est aussi racine multiple
d’ordre mi . De plus, on peut noter grâce aux relations entre coefficients et racines que
(x − αi )(x − αi ) = x2 − (αi + αi )x + αi αi
= x2 − pi x + qi
avec pi et qi
réels
Théorème 5 Une fraction rationnelle irréductible à coefficients réels peut être décomposée
en éléments ne comportant que des coefficients réels. En notant mi la multiplicité des pôles
complexes conjugués αi et αi , on a :
¶
µ
X
Ani
P (x)
A1
+ ... +
≡ E(x) +
Q(x)
x − ai
(x − ai )ni
ai pôles réels
µ
¶
X
M1 x + N1
M2 x + N2
Mmi x + Nmi
+
+
+ ... + 2
x2 + pi x + qi (x2 + pi x + qi )2
(x + pi x + qi )mi
pôles non réels
où les coefficients Aj , ai , ..., Mj , Nj , ... , pi , qi , ...sont des nombres réels.
L’intérêt pratique de cette décomposition sur les réels est d’éviter, lors de l’intégration d’une
fraction rationnelle, d’être amené à parler de logarithme de la quantité complexe x − αi .
Le calcul pratique des coefficients littéraux Aj , ..., Mj , Nj , est basé sur l’utilisation de
l’identité entre les deux expressions. On peut donc remplacer la variable x par n’importe quelle
valeur, il y a toujours égalité entre les expressions à gauche et à droite du signe ”égal”.
Pour calculer Ani on multiplie par (x − ai )ni puis on fait tendre x vers ai .
(méthode ”classique”).
Si E(x) = 0 , on peut multiplier par x puis faire tendre x vers ∞ .
On peut aussi utiliser la parité ou donner des valeurs particulières à x autres que les valeurs
des pôles.
Si l’ordre d’un pôle réel est supérieur à 3, on peut faire un changement de variable x−ai = X
puis faire une division suivant les puissances croissantes.
5
Approximation locale d’une fonction par un polynôme
Si une fonction f admet des dérivées jusqu’à l’ordre n au voisinage d’un point a et si la dérivée
nième est continue en a, on peut approcher localement en a la fonction f par un polynôme P de
degré inférieur ou égal à n de sorte que :
f (x) = P (x) + (x − a)n ε(x − a)
avec
lim ε(h) = 0
h→0
Le polynôme P est défini de façon unique par
P (x) = f (a) +
f 0 (a)
f ”(a)
f (3) (a)
f (n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 +
(x − a)3 + ... +
(x − a)n
1!
2!
3!
n!
Cette formule s’appelle la formule de Taylor. On a fait un développement limité à l’ordre
n de la fonction f au voisinage de a.
Si f est un polynôme, alors tout développement limité, d’ordre égal ou supérieur au degré de f ,
donne une expression exacte (le terme correctif ε est alors réduit à 0).
Cette démarche est utile pour analyser le comportement local d’une fonction
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• pour lever une indétermination dans le cas de la recherche d’une limite ( et alors souvent
il suffit de trouver le premier terme non nul du développement)
• pour chercher une tangente en a (alors l’ordre 1 suffit)
• en analyse numérique pour faire des calculs approchés
• etc ...
Comme le calcul des dérivées successives est souvent fastidieux, on commence par faire un
changement de variable en posant u = x − a, et on étudie alors le développement limité au
voisinage de 0 de la fonction F (u) = f (a + u). Pour ce faire, on utilise les développements
limités en zéro (dits développements limités de MacLaurin) des fonctions usuelles et que
l’on trouve dans les formulaires.
Pour trouver une asymptote éventuelle quand f (x)
x tend vers une limite finie, on pose v =
on développe vF (v) au voisinage de v = 0 avec F (v) = f ( v1 ) .
6
1
x
et
Exercices
1. Trouver une racine évidente du polynôme P (x) = x4 − 9x3 + 25x2 − 27x + 10. Préciser
la multiplicité de cette racine. En déduire les autres racines de P
Réponse : On a P (1) = 0, donc 1 est racine. Le polynôme dérivé est P 0 (x) =
4x3 −27x2 +50x−27, on a aussi P 0 (1) = 0, et P ”(x) = 12x2 −54x+50 mais P ”(1) = 8 6= 0
. Donc 1 est racine double et P (x) est divisible par (x − 1)2 .
On a P (x) = (x − 1)2 (x2 − 7x + 10). Les 2 autres racines r1 et r2 de P doivent donc vérifier
r1 + r2 = 7 et r1 r2 = 10 donc ces 2 racines sont 2 et 5 .
2. Montrer que le polynôme P (x) = 2x5 + 10x4 + 12x3 − 4x2 − 14x − 6 admet −1 comme
racine triple. En déduire les autres racines de P et écrire P sous forme de produit.
Réponse :P (x) = 2(x − 1)3 (x + 1)(x + 3)
3. Calculer le quotient et le reste des divisions euclidiennes suivantes :
2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6
x5 − 5x3 − 8x
par
x2 − 3x + 1
par x2 − 2
x3 − x2 − x + 1
par
5
x −1
par
x+i
x−1
Réponse :
2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6 = (x2 − 3x + 1)(2x2 + 3x + 11) + 25x − 5
x5 − 5x3 − 8x = (x2 − 2)(x3 − 3x) − 14x + 1
x3 − x2 − x + 1 = (x + i)(x2 − (1 + i) x − (2 − i)) + 2 + 2i
(x5 − 1) = (x − 1)(1 + x + x2 + x3 + x4 )
4. Relations entre coefficients et racines
Trouver λ pour que l’une des racines de x3 − 7x + λ soit le double d’une autre.
Réponse :λ = ±6 .
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5. Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples
R1(x) =
R3(x) =
3x − 1
− 5x + 6
x5
(x2 − 1)(x2 − 4x + 5)
2x − 5
− 1)(x − 1)
4
5x − 40
R4(x) =
(x2 − 4)2
R2(x) =
x2
(x2
Réponse :
a) La partie entière de R1 est nulle car d◦ numérateur< d◦ dénominateur, les pôles sont 2
et 3 et ils sont simples. La décomposition est donc de la forme
R1(x) ≡
A
B
+
x−2 x−3
(1)
On calcule la constante A en multipliant la relation ci-dessus par (x − 2),
B
(x − 2)R1(x) = A + (x − 2) x−3
Comme cette égalité est valable pour tout x (c’est une identité en x) , on fait tendre x
vers 2 , le dernier terme en B tend vers 0, et on obtient ainsi la valeur de la constante A
en passant à la limite dans le terme en R1 après avoir simplifié :
3x−1
3x−1
5
A = lim (x − 2) R1(x) = lim (x − 2) (x−2)(x−3)
= lim (x−3)
= −1
= −5.
x→2
x→2
x→2
x→3
x→3
x→3
De même pour calculer B, on multiplie (1) par (x − 3) puis on fait tendre x vers 3, on
obtient
3x−1
3x−1
B = lim (x − 3) R1(x) = lim (x − 3) (x−2)(x−3)
= lim (x−2)
= 81 .
b) La partie entière de R2 est nulle. Le dénominateur se factorise en (x + 1)(x − 1)2 . Le
pôle 1 est double. La décomposition est de la forme
R2(x) ≡
B
C
A
+
+
x + 1 (x − 1) (x − 1)2
(2)
On calcule A comme ci-dessus
³ car
´
B
C
(x + 1)R2(x) ≡ A + (x + 1) (x−1)
+
2
(x−1)
et donc on annule le dernier terme en faisant tendre x vers -1 , d’où
2x−5
2x−5
−7
A = lim (x + 1) R1(x) = lim (x + 1) (x+1)(x−1)
2 = lim (x−1)2 = 4
x→−1
x→−1
x→−1
On ne peut pas appliquer la même méthode au calcul de B . Car si on multiplie simplement par (x − 1)
³
´
A
C
(x − 1)R2(x) ≡ (x − 1) x+1
+ B + (x−1)
en faisant tendre x vers 1, les deux membres de l’identité tendent vers l’infini, ce qui ne
sert à rien.
2
On adapte l’idée précédente
³ en´multipliant par (x − 1) puique 1 est pôle double. On a
A
(x − 1)2 R2(x) ≡ (x − 1)2 x+1
+ (x − 1)B + C
En faisant tendre x vers 1, on obtient la valeur, non pas de B, mais de C
2x−5
2x−5
−3
C = lim (x − 1)2 R2(x) = lim (x − 1)2 (x+1)(x−1)
2 = lim (x+1) = 2 .
x→1
x→1
x→1
Il reste à touver B. L’identité (2) est valable pour tout x . Une valeur particulière menant
à des calculs très simples, est l’infini. Mais on commence par multiplier les deux membres
de (2) par x puis alors seulement on fait tendre x vers ∞ (sinon, avant, on trouve 0 = 0 )
x(2x−5)
xB
xA
xC
+ (x−1)
≡ x+1
+ (x−1)
=⇒ 0 = A + B + 0
et donc
2
(x2 −1)(x−1)
(x2
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7
7
3
2x − 5
=−
+
−
− 1)(x − 1)
4 (x + 1) 4 (x − 1) 2 (x − 1)2
6
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c) La fraction rationnelle R3(x) est à coefficients réels, et a 2 pôles réels et 2 pôles complexes conjugués car x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 s’annule pour x = 2 ± i. Comme le degré du
numérateur moins celui du dénominateur vaut 1, il faut calculer la partie entière, qui doit
être de degré 1. En faisant la division euclidienne,. on trouve x + 4 . La décomposition
est donc de la forme
x5
A
B
Cx + D
=x+4+
+
+ 2
4
3
2
x − 4x + 4x + 4x − 5
(x − 1) (x + 1) (x − 4x + 5)
(3)
On calcule la constante A en³multipliant la relation ci-dessus
part (x − 1),
´
Cx+D
B
(x − 1) R3(x) = A + (x − 1) x + 4 + (x+1) + (x2 −4x+5)
On fait tendre x vers 1 , on obtient ainsi la valeur de la constante A
(x−1)x5
x5
1
A = lim (x − 1) R3(x) = lim (x−1)(x+1)(x
2 −4x+5) = lim (x+1)(x2 −4x+5) = 4 .
x→1
x→1
x→1
De même pour trouver B, on³ multiplie par (x + 1) , d’où:
´
A
Cx+D
(x + 1) R3(x) = B + (x + 1) x + 4 + (x−1) + (x2 −4x+5)
En faisant tendre x vers -1, le dernier facteur s’annule. En levant l’indétermination dans
le premier membre on trouve
5
1
B = lim (x + 1) R3(x) = lim (x−1)(xx2 −4x+5) = 20
.
x→−1
x→−1
Pour trouver C et D , on peut donner à x des valeurs arbitraires autre que les valeurs des
pôles.
Par exemple pour x = 0 on obtient
0=0+4−A+B+ D
5
25
3×1
Pour x = 2 on a
d’où
=6+
A
1
+
B
3
+
2C+D
1
x5
1
1
117x − 190
=x+4+
+
+
x4 − 4x3 + 4x2 + 4x − 5
4 (x − 1) 20 (x + 1) 10(x2 − 4x + 5)
d) Comme (x2 − 4)2 = (x − 2)2 (x + 2)2 , R4(x) a deux pôles doubles 2 et -2. Le numérateur
et le dénominateur ont même degré, sa partie entière est de degré 0 donc c’est une constante
qui vaut 5 (inutile de chercher la valeur du reste de la division euclidien quand on connaı̂t
le quotient). La décomposition en éléments simples est donc de la forme:
R4(x) =
A
B
C
5x4 + 40
D
=5+
+
+
+
2
2
2
(x − 4)
(x − 2) (x + 2) (x − 2)
(x + 2)2
(4)
Comme 2 est pôle double, on peut calculer la constante C en multipliant (4) part (x − 2)2 et
on a :
³
´
B
D
(x − 2)2 R4(x) = (x − 2)2 5 + (x+2)
+ (x+2)
+ A(x − 2) + C
2
On fait tendre x vers 2 , on obtient ainsi la valeur de la constante C
5x4 −40
5x4 −40
5
C = lim (x − 2)2 R4(x) = lim (x − 2)2 (x−2)
2 (x+2)2 . = lim (x+2)2 . = 2 .
x→2
x→2
x→2
On calcule de la même façon
³ D:
2
2
A
(x + 2) R4(x) = (x + 2) 5 + (x−2)
+
D = lim (x + 2)2 R4(x) = lim (x +
x→−2
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x→−2
´
C
+ B(x + 2) + D
(x−2)2
2
5x4 −40
5x4 −40
2) (x−2)2 (x+2)2 . = lim (x−2)
2.
x→−2
7
=
5
2
.
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Pour trouver A et B, on peut donner à x deux valeurs arbitraires, à condition que ce ne
soient pas des pôles.
On peut aussi auparavant remarquer que la fonction R4(x) est paire donc la décomposition
en éléments simples doit vérifier la même relation
A
B
C
D
R4(x) = 5 + (x−2)
+ (x+2)
+ (x−2)
2 +
(x+2)2
R4(−x) = 5 +
A
B
C
(−x−2) + (−x+2) + (−x−2)2
B
C
D
(x−2) + (x+2)2 + (x−2)2
+
D
(−x+2)2
A
= 5 − (x+2)
−
Or la décomposition étant unique, on doit avoir A = −B et C = D .
Donc pour déterminer A sachant que B = −A et connaissant C et D, il suffit de faire dans
(4) par exemple x = 0 .
A
5
5
−40
= 5 + −2
+ −A
d’où A = 35
On a
2 + 2(2)2 + 2(2)2
4 et
(4)2
35
5x4 − 40
35
5
5
≡5+
−
+
+
2
2
2
(x − 4)
4 (x − 2) 4 (x + 2) 2 (x − 2)
2 (x + 2)2
6. Décomposer en éléments simples sur C les fractions rationnelles suivantes :
x2
;
(x − 1)(x + 2)(x + 3)
1
;
(x − 1)(x − 2)(x + 4)
x4
5x2
;
;
(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x + 2)
x2
n!
;
4
x −1
x(x − 1)(x − 2)...(x − n)
Réponse :
x2
1
9
4
(x−1)(x+2)(x+3) = 12(x−1) + 4(x+2) − 3(x+3) ;
x4
1
16
2
(x−1)(x+2) = x − x + 3 + 3(x−1) − 3(x+2)
5x2
5
20
(x−1)(x+2) = 5 + 3(x−1) − 3(x+2)
−1
1
1
1
(x−1)(x−2)(x+4) = 5(x−1) + 6(x−2) + 30(x+4) ;
2
x
1
1
i
i
= 4(x−1)
− 4(x+1)
− 4(x−i)
+ 4(x+i)
;
x4 −1
n
k
P
Cn
n!
(−1)n−k x−k
x(x−1)(x−2)...(x−n) =
k=0
7. Décomposer en éléments simples sur IR les fractions rationnelles suivantes :
x2
;
(x + 2)(x2 − 1)2
2
x
Réponse : (x+2)(x
2 −1)2 =
x2
;
(x + 1)(x2 − 1)2
1
18(x−1)
−
x2
1
1
= 16(x−1)
− 16(x+1)
+
(x+1)(x2 −1)2
1
x
= x1 − x2x+1 − (x2 +1)
2
x(x2 +1)2
x2
1
1
= 4(x−1)
− 4(x+1)
+ 2(x21+1) ;
x4 −1
x4
= 1 + x24+2 − x29+3
x4 +5x2 +6
1
2(x+1)
1
;
2
x(x + 1)2
1
12(x−1)2
1
1
− 4(x+1)
2
8(x−1)2
+
+
+
1
4(x+1)2
1
4(x+1)3
x2
;
x4 − 1
+
4
9(x+2)
8. Recherche de limites dans le cas de formes indéterminées
0
0
∞ )
( ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 00 , ∞
∞ , 0 , ∞ , 1
!
Ã
µ
¶
1
1
1
(x + 27)1/3 − 3
lim (cos x) x
lim
−
lim
x→0
x→0 x
x→0 (x + 16)1/4 − 2
ln(1 + x)
Nelly POINT
8
x4
x4 + 5x2 + 6
1
lim (cos x) x2
x→0
Version 1
ESCPI
CNAM
Réponse :
a) C’est une forme ∞ − ∞ .
La formule du d.l. du log est
2
ln(1 + x) = x − x2 + x2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 .
x→0
³
´
1
1
1
1
1
1
−
=
−
=
1
−
x
2
x
x
x
x
ln(1+x)
1− 2 +xε(x) =
2
´
³
´ x− 2 +x ³ε(x)x
− +xε(x)
1
lim x1 − ln(1+x)
= lim x1 1−2x +xε(x) = − 21 .
x→0
x→0
1
x
³
1− x2 +xε(x)−1
1− x2 +xε(x)
´
2
b) C’est une forme 00 . Or
¡
¢
x
x
x
(x + 27)1/3 = 271/3 ( 27
+ 1)1/3 = 3 1 + 13 27
+ 27
ε(x) . De même
¡
¢
x
x
x
(x + 16)1/4 = 161/4 ( 16
+ 1)1/4 = 2 1 + 14 16
+ 16
ε(x)
donc
x
x
3(1+ 1 x + 27
ε(x))−3
+ x ε(x)
(x+27)1/3 −3
= 2 1+ 31 27
= 2 27x +92x ε(x) → 32
x
x
(x+16)1/4 −2
+
ε(x)
−2
( 4 16 16
)
x→0 27
4 16
16
c) C’est une forme 1∞ .
On prend le log
1
1
x2
1
x2
2
2
x ln(cos x) = x ln(1 − 2 + x ε(x)) = x (v + v ε(v)) avec v = − 2 + x ε(x) . Ce qui donne
1
2
lim x1 ln(cos x) = lim x1 (− x2 ) = 0 donc lim (cos x) x = e0 = 1
x→0
x→0
x→0
d) Cette fois-ci
2
lim x12 ln(cos x) = lim x12 (− x2 ) =
x→0
x→0
−1
2
1
1
donc lim (cos x) x = e− 2 =
x→0
√1
e
9. Rechercher le domaine de définition de la fonction f (x) = sin(nx)
sin x avec n entier. Peut-on
prolonger cette fonction par continuité sur IR ? Préciser alors les valeurs de la fonction
obtenue.
Réponse : Le domaine de f est l’ensemble des x tels que sin x 6= 0 donc tels que x 6= kπ
avec k ∈ Z .
Pour x tendant vers kπ en posant v = x − kπ alors v → 0 et
sin(nv)
sin(n(v+kπ))
sin(ax)
nv
sin x = sin(v+kπ) = sin(v) ≈ v
donc en x = kπ, la fonction f peut être prolongée et lim f (x) = n
x→kπ
(évident avec la périodicité).
10. Rechercher l’asymptote de la courbe réprésentative de la fonction
1
f (x) = (x − 2)e− x
Réponse : Si la courbe a une asymptote, cela signifie que
1
f (x) = ax + b + ε( )
x
avec
1
lim ε( ) = 0
x
x→∞
ou encore
f (x)
1
1 1
1
= a + b + ε( )
avec
lim ε( ) = 0
x→∞ x
x
x x x
1
En posant v = x , cela revient à chercher le d.l. à l’ordre 1 de vF (v) où F (v) = f ( v1 ) =
( v1 − 2)e−v . Donc
vF (v) = (1 − 2v)e−v = (1 − 2v)(1 − v + vε(v))
= 1 − 3v + vε(v) − 2v 2 ε(v) = 1 − 3v + vε2 (v).
Donc l’équation de la droite asymptote est
y =x−3
Nelly POINT
9
Version 1