Autour des polynômes

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Autour des polynˆomes
1 Introduction
Nous nous limiterons aux polynˆomes `a une ind´etermin´ee X, construits sur les r´eels IR ou les
complexes C.
Un polynˆome Pest d´efini par :
P(X) = a0+a1X+a2X2+... +anXn=
k=n
X
k=0
akXko`ules
aksont les coefficients r´eels ou complexes du polynˆome P.
Le degr´e d’un polynˆome est nsi anest non nul et on note d◦P=n.
On peut calculer le polynˆome d´eriv´e de Pnot´e P0
P0(X) = a1+ 2a2X1+... +nanXn−1
Un nombre r(r´eel ou complexe) est une racine du polynˆome Psi et seulement si (ssi)
P(r) = 0
Il existe alors un polynˆome Q1unique de degr´e ´egal au degr´e de Pmoins 1, tel que
P(X) = (X−r)Q1(X)
S’il existe un polynˆome Q2de degr´e ´egal au degr´e de Pmoins 2, tel que
P(X) = (X−r)2Q2(X) avec Q2(r)6= 0
alors on dit que rest une racine double du polynˆome P.
Plus g´en´eralement s’il existe un polynˆome Qmavec d◦Q=d◦P−m, tel que
P(X) = (X−r)mQm(X) avec Qm(r)6= 0
on dit que rest une racine multiple d’ordre mdu polynˆome P.
Th´eor`eme 1 Le nombre rest une racine multiple d’ordre mdu polynˆome Pssi
P(r) = P0(r) = P”(r) = ... =P(m−1)(r) = 0 et P(m)(r)6= 0
o`u P(q)d´esigne la d´eriv´ee d’ordre qdu polynˆome P.
Th´eor`eme 2 Un polynˆome `a coefficients complexes de degr´e npositif, peut se mettre de fa¸con
unique sous la forme
P(X) = an(X−r1)m1(X−r2)m2(X−r3)m3.... (X−rk)mk
avec d◦P=m1+m2+m3+... +mket ri∈C
r1, r2, ... , rk´etant des racines distinctes de multiplicit´e respective m1, m2, ... , mk.
Th´eor`eme 3 Tout polynˆome `a coefficients complexes de degr´e n, poss`ede donc exactement n
racines dans C, chaque racine ´etant compt´ee avec son ordre de multiplicit´e.
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Remarque 1 Si un polynˆome est `a coefficients r´eels, il peut y avoir des racines complexes mais,
si rest racine multiple d’ordre m, alors le nombre complexe conjugu´e ¯rest aussi racine multiple
d’ordre mdu polynˆome P, (si r=α+iβ alors ¯rest ¯r=α−iβ o`u αet βsont des r´eels appel´es
respectivement partie r´eelle et partie imaginaire de r).
Relation entre coefficients et racines dans le cas du trinˆome:
Cas d◦P= 2,et P(X) = a0+a1X+a2X2, alors il existe r1, r2∈Ctels que
a0+a1X+a2X2=a2(X−r1) (X−r2)
=a2(X2−(r1+r2)X+r1r2)
On en d´eduit en identifiant les relations entre coefficients et racines
somme des racines = r1+r2=−a1
a2
produit des racines = r1r2=a0
a2
Relation entre coefficients et racines dans le cas g´en´eral
Cas d◦P=n > 2 et P(X) = a0+a1X+a2X2+... +anXn. On a
r1+r2+... +rn=−an−1
an
Xrirj= +an−2
an
Xrirjrk=−an−3
an
r1r2.... rn= (−1)na0
an
2 Identit´es remarquables
Elles sont utiles pour d´evelopper ou au contraire factoriser les polynˆomes. On rappelle seulement
ici les puissances de (X−a)
(X−a)2=X2−2aX +a2
(X−a)3=X3−3aX2+ 3a2X−a3
(X−a)4=X4−4aX3+ 6a2X2−4a3X+a4
etc (cf triangle de Pascal )
(X−a)n=Xn−C1
naXn−1+C2 na2Xn−2...... + (−1)kCk nakXn−k+... + (−1)nan
avec Ck
n=n!
k!(n−k)! qui est le nombre de combinaisons de kobjets choisis parmi n.
Il peut ˆetre utile de trouver les racines ni`eme du nombre complexe 1 pour factoriser le
polynˆome Xn−1
(Xn−1) = (X−r0)(X−r1)(X−r2)(X−r3).....(X−rn−1)
avec rk=ei2πk/n o`u k= 0,1,2, ...., n −1,
Les rksont les nracines ni`emes de l’unit´e.
On remarque que r0= 1 est racine de Xn−1 pour tout n. On a l’identit´e remarquable
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(Xn−1) = (X−1)(Xn−1+Xn−2+Xn−3+..... + 1)
utilis´ee le plus souvent pour calculer la somme partielle d’une s´erie g´eom´etrique :
1 + X+..... +Xn−3+Xn−2+Xn−1=1−Xn
1−X
3 Divisions des polynˆomes
Il y a deux sortes de division d’un polynˆome par un autre:
- la division euclidienne (ou suivant les puissances d´ecroissantes)
- la division suivant les puissances croissantes.
Division euclidienne.On dit que le polynˆome Qest le quotient du polynˆome Ppar le
diviseur D, avec un reste Rssi
P(X) = D(X)Q(X) + R(X) avec d◦R < d◦Dou bien R= 0.
Le r´esultat est unique. On dit que Pest un multiple de D(ou Ddivise P)si R= 0.
Division selon les puissances croissantes.
On dit que le polynˆome Qmest le quotient du polynˆome Ppar le diviseur D`a l’ordre m(m∈N)
ssi
P(X) = D(X)Qm(X) + XmRm(X) avec d◦Qm< m ou Qm= 0
Cette notion de division est bien moins utile que la division euclidienne, et l’ordre mpeut ˆetre
fix´e arbitrairement.
4 Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est le quotient d’un polynˆome Ppar un polynˆome Q.
Pest appel´e le num´erateur et Qle d´enominateur. Si Pet Qn’ont pas de racines communes,
la fraction rationnelle P
Qest dite irr´eductible.
Les racines aidu d´enominateur Qsont les pˆoles de la fraction rationnelle.
La partie enti`ere de la fraction rationnelle est le quotient de Ppar Qdans la division
euclidienne (i.e. selon les puissances d´ecroissantes).
Pour pouvoir calculer les primitives d’une fraction rationnelle, il faut la d´ecomposer en
une somme de fonctions simples dont on sait calculer les primitives. Cette m´ethode, que l’on
appelle d´ecomposition en ´el´ements simples, est un outil indispensable pour le calcul des
int´egrales. C’est ´egalement utile pour calculer une fonction dont la transform´ee de Laplace
est une fraction rationnelle (utilisation fr´equente en automatisme).
Th´eor`eme 4 Une fraction rationnelle irr´eductible est la somme de sa partie enti`ere et des
parties principales relatives `a ses pˆoles. En notant nila multipicit´e du pˆole ai∈C, on a :
P(x)
Q(x)≡E(x) + X
aiµA1
x−ai
+A2
(x−ai)2+A3 (x−ai)3+... +Ani (x−ai)ni¶
Les coefficients Ajsont des nombres r´eels ou complexes. Cette d´ecomposition est unique.
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Si Qest `a coefficients r´eels alors ses racines complexes sont 2 `a 2 conjugu´ees. Plus
pr´ecis´ement, si αiest racine non r´eelle multiple d’ordre mi, alors αiest aussi racine multiple
d’ordre mi.De plus, on peut noter grˆace aux relations entre coefficients et racines que
(x−αi)(x−αi) = x2−(αi+αi)x+αiαi
=x2−pix+qiavec piet qir´eels
Th´eor`eme 5 Une fraction rationnelle irr´eductible `a coefficients r´eels peut ˆetre d´ecompos´ee
en ´el´ements ne comportant que des coefficients r´eels. En notant mila multiplicit´e des pˆoles
complexes conjugu´es αiet αi, on a :
P(x)
Q(x)≡E(x) + X
aipˆoles r´eels µA1
x−ai
+... +Ani
(x−ai)ni¶
+X
pˆoles non r´eels µM1x+N1
x2+pix+qi
+M2x+N2
(x2+pix+qi)2+... +Mmix+Nmi (x2+pix+qi)mi¶
o`u les coefficients Aj,ai, ..., Mj,Nj, ... , pi,qi,...sont des nombres r´eels.
L’int´erˆet pratique de cette d´ecomposition sur les r´eels est d’´eviter, lors de l’int´egration d’une
fraction rationnelle, d’ˆetre amen´e `a parler de logarithme de la quantit´e complexe x−αi.
Le calcul pratique des coefficients litt´eraux Aj, ..., Mj,Nj, est bas´e sur l’utilisation de
l’identit´e entre les deux expressions. On peut donc remplacer la variable xpar n’importe quelle
valeur, il y a toujours ´egalit´e entre les expressions `a gauche et `a droite du signe ”´egal”.
Pour calculer Anion multiplie par (x−ai)nipuis on fait tendre xvers ai.
(m´ethode ”classique”).
Si E(x) = 0 , on peut multiplier par xpuis faire tendre xvers ∞.
On peut aussi utiliser la parit´e ou donner des valeurs particuli`eres `a xautres que les valeurs
des pˆoles.
Si l’ordre d’un pˆole r´eel est sup´erieur `a 3, on peut faire un changement de variable x−ai=X
puis faire une division suivant les puissances croissantes.
5 Approximation locale d’une fonction par un polynˆome
Si une fonction fadmet des d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre nau voisinage d’un point aet si la d´eriv´ee
ni`eme est continue en a, on peut approcher localement en ala fonction fpar un polynˆome Pde
degr´e inf´erieur ou ´egal `a nde sorte que :
f(x) = P(x)+(x−a)nε(x−a) avec lim
h→0ε(h) = 0
Le polynˆome Pest d´efini de fa¸con unique par
P(x) = f(a) + f0(a)
1! (x−a) + f”(a) 2! (x−a)2+f(3)(a) 3! (x−a)3+... +f(n)(a) n!(x−a)n
Cette formule s’appelle la formule de Taylor. On a fait un d´eveloppement limit´e `a l’ordre
nde la fonction fau voisinage de a.
Si fest un polynˆome, alors tout d´eveloppement limit´e, d’ordre ´egal ou sup´erieur au degr´e de f,
donne une expression exacte (le terme correctif εest alors r´eduit `a 0).
Cette d´emarche est utile pour analyser le comportement local d’une fonction
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•pour lever une ind´etermination dans le cas de la recherche d’une limite ( et alors souvent
il suffit de trouver le premier terme non nul du d´eveloppement)
•pour chercher une tangente en a(alors l’ordre 1 suffit)
•en analyse num´erique pour faire des calculs approch´es
•etc ...
Comme le calcul des d´eriv´ees successives est souvent fastidieux, on commence par faire un
changement de variable en posant u=x−a, et on ´etudie alors le d´eveloppement limit´e au
voisinage de 0 de la fonction F(u) = f(a+u).Pour ce faire, on utilise les d´eveloppements
limit´es en z´ero (dits d´eveloppements limit´es de MacLaurin) des fonctions usuelles et que
l’on trouve dans les formulaires.
Pour trouver une asymptote ´eventuelle quand f(x)
xtend vers une limite finie, on pose v=1 xet
on d´eveloppe vF (v) au voisinage de v= 0 avec F(v) = f(1
v) .
6 Exercices
1. Trouver une racine ´evidente du polynˆome P(x) = x4−9x3+ 25x2−27x+ 10.Pr´eciser
la multiplicit´e de cette racine. En d´eduire les autres racines de P
R´eponse : On a P(1) = 0,donc 1 est racine. Le polynˆome d´eriv´e est P0(x) =
4x3−27x2+50x−27,on a aussi P0(1) = 0,et P”(x) = 12x2−54x+50 mais P”(1) = 8 6= 0
. Donc 1 est racine double et P(x) est divisible par (x−1)2.
On a P(x) = (x−1)2(x2−7x+10).Les 2 autres racines r1et r2de Pdoivent donc v´erifier
r1+r2= 7 et r1r2= 10 donc ces 2 racines sont 2 et 5 .
2. Montrer que le polynˆome P(x)=2x5+ 10x4+ 12x3−4x2−14x−6 admet −1 comme
racine triple. En d´eduire les autres racines de Pet ´ecrire Psous forme de produit.
R´eponse :P(x) = 2(x−1)3(x+ 1)(x+ 3)
3. Calculer le quotient et le reste des divisions euclidiennes suivantes :
2x4−3x3+ 4x2−5x+ 6 par x2−3x+ 1
x5−5x3−8xpar x2−2
x3−x2−x+ 1 par x+i
x5−1 par x−1
R´eponse :
2x4−3x3+ 4x2−5x+ 6 = (x2−3x+ 1)(2x2+ 3x+ 11) + 25x−5
x5−5x3−8x= (x2−2)(x3−3x)−14x+ 1
x3−x2−x+ 1 = (x+i)(x2−(1 + i)x−(2 −i)) + 2 + 2i
(x5−1) = (x−1)(1 + x+x2+x3+x4)
4. Relations entre coefficients et racines
Trouver λpour que l’une des racines de x3−7x+λsoit le double d’une autre.
R´eponse :λ=±6 .
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