Harmonisation en algèbre linéaire

Harmonisation en algèbre linéaire
Thomas Cluzeau
[email protected]
École Nationale Supérieure d’Ingénieurs de Limoges
16 rue d’atlantis, Parc ester technopole
87068 Limoges CEDEX

Ce cours d’harmonisation est destiné aux élèves de première année de l’École Nationale
Supérieure d’Ingénieurs de Limoges (ENSIL) nécessitants certains rappels en algèbre linéaire
afin de pouvoir suivre au mieux les enseignements de mathématiques en tronc commun. L’ob-
jectif est de donner (ou rappeler) un certain nombre de notions d’algèbre linéaire, nécessaires
pour suivre les cours suivants. Autant que de transmettre des connaissances, ce cours a pour
but de donner un certain savoir-faire aux étudiants, de leur apprendre à manipuler les dif-
férentes notions. La plupart des résultats sont énoncés sans preuve et une grande partie du
cours est réservée aux exemples et exercices.
Le cours est séparé en quatre chapitres :
1. Chapitre 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires ;
2. Chapitre 2 : Matrices et Déterminants ;
3. Chapitre 3 : Résolution de systèmes linéaires ;
4. Chapitre 4 : Diagonalisation des endomorphismes.
Ce cours a été préparé essentiellement à partir des deux cours suivants :
– le cours d’harmonisation en algèbre linéaire donné par Driss Boularas (Université de
Limoges) à l’ENSIL en 2005 ;
– le cours d’algèbre linéaire donné par Anne Fredet (Université de Paris 13 - IUT de
Saint Denis) à l’IUT de Saint Denis.
Je les remercie tous les deux pour leur aide.
2

Chapitre 1
Espaces vectoriels et applications
linéaires
1.1 Espaces vectoriels
Les espaces vectoriels sont les objets de base de l’algèbre linéaire.
1.1.1 Définition et sous-espaces vectoriels
Définition 1. Un espace vectoriel Esur un corps K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble
non-vide d’éléments, appelés vecteurs, muni d’une addition (loi de composition interne) et
d’une multiplication par des éléments de K, appelés scalaires, (loi de composition externe)
satisfaisant certains axiomes.
– addition +:∀a, b ∈E, a +b∈E,
– multiplication par un scalaire .:∀a∈E, ∀λ∈K, λ.a ∈E.
La définition précise des axiomes n’a pas d’intérêt pour ce cours.
Dans ce cours, nous supposerons que le corps Kest soit le corps des réels Rsoit le corps
des complexes C.
Deux exemples fondamentaux :
1. le produit cartésien Knd’éléments de Kmuni des lois de composition suivantes :
– addition : (x1, . . . , xn)+(y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn);
– multiplication par un scalaire : λ.(x1, . . . , xn)=(λ x1,...,λxn);
2. L’ensemble F(I, E)des fonctions d’un ensemble non-vide Idans un K-espace vectoriel
Emuni des lois de composition suivantes :
– addition : f+g:I→E;x7→ f(x) + g(x);
– multiplication par un scalaire : λ.f :I→E;x7→ λ f(x).
3

Autres exemples
– L’ensemble K[x]des polynômes en une variable et à coefficients dans K.
– L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires homogène à coefficients
dans K.
– L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire à coefficients dans K.
Définition 2. Soit Eun espace vectoriel sur K. Soit Fun sous-ensemble non-vide de E.
On dit que Fest un sous-espace vectoriel de Esi pour tout x, y ∈Fet pour tout λ, µ ∈K,
on a λ x +µ y ∈F.
Exemples
– L’ensemble C(I, E)des fonctions d’un ensemble non-vide Idans un K-espace vectoriel
Econtinues sur Iest un sous-espace vectoriel de F(I, E).
– L’ensemble Dp(I, E)des fonctions continûment dérivables sur Ijusqu’à l’ordre pest
un sous-espace vectoriel de C(I, E).
– L’ensemble D∞(I, E)des fonctions infiniment dérivables est un sous-espace vectoriel
de Dp(I, E).
– On a donc l’inclusion suivantes d’espaces vectoriels :
D∞(I, E)⊂ · · · ⊂ Dp(I, E)⊂ Dp−1(I, E)⊂ · · · ⊂ D0(I, E) = C(I, E)⊂ F(I, E).
1.1.2 Combinaisons linéaires et familles génératrices
Définition 3. On appelle (K-)combinaison linéaire d’éléments x1, . . . , xnd’un K-espace vec-
toriel Etout vecteur de la forme λ1x1+· · · +λnxnoù λ1, . . . , λnappartiennent à K.
Notons que toute combinaison linéaire de Ereste un élément de E.
Définition 4. On appelle combinaison linéaire d’éléments d’une partie Gde Etoute com-
binaison linéaire d’un nombre fini d’éléments de G.
L’intérêt de cette définition est que l’ensemble Gn’est pas nécessairement fini.
Théorème et Définition 1. Soit Gun sous-ensemble non-vide d’un K-espace vectoriel E.
On note CL(G)l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de G. C’est un sous-espace
vectoriel de Eappelé sous-espace vectoriel engendré par G.
L’espace vectoriel CL(G)est aussi le plus petit sous-espace vectoriel de Equi contient
G.
Définition 5. Soit Gun sous-ensemble non-vide d’un K-espace vectoriel E. On dit que G
est une partie génératrice de Eou que Gengendre Esi E=CL(G).
Exemples
–Knest engendré par {(1,0,...,0),...,(0,...,0,1)}.
4

– Le K-espace vectoriel Kn[x]des polynômes à coefficients dans Kde degré inférieur ou
égal à nest engendré par {1, x, . . . , xn}.
Définition 6. Soit Eun K-espace vectoriel. On dit que Eest de dimension finie (sur K)si
il est engendré par une partie Gcontenant un nombre fini d’éléments.
Exemples
–Knet Kn[x]sont des espaces vectoriels de dimension finie.
– L’espace vectoriel K[x]n’est pas de dimension finie.
1.1.3 Dépendance linéaire
Définition 7. Soit x1, . . . , xndes vecteurs d’un K-espace vectoriel E. On dit que les vecteurs
x1, . . . , xnsont linéairement dépendants ou liés si l’un d’entre eux est combinaison linéaire
des autres. Dans le cas contraire, on dit que les vecteurs sont linéairement indépendants ou
libres.
Caractérisation : pour que les vecteurs x1, . . . , xnsoient libres, il faut et il suffit que :
∀λ1, . . . , λn∈K, λ1x1+· · · +λnxn= 0 ⇒λ1=· · · =λn= 0.
Exemple
– Dans R2, les vecteurs (1,2) et (1,−1) sont libres. Par contre les vecteurs (1,−2),(2,3)
et (1,0) sont liés.
1.1.4 Bases et dimension d’un espace vectoriel
Définition 8. Soit Eun K-espace vectoriel. Une base de Eest une famille libre et génératrice
de E.
Exemples
– La famille {(1,0,...,0),...,(0,...,0,1)}est une base de Knappelée base canonique
de Kn.
– La famille {1, x, . . . , xn}est une base de Kn[x].
– La famille {(1,2),(1,−1)}est une base de R2.
Caractérisation : La famille B= (x1, . . . , xn)constitue une base de Esi et seulement si
tout élément xde Ese décompose de manière unique sur Bc’est-à-dire si il existe un unique
n-uplet (λ1, . . . , λn)d’éléments de Ktel que x=λ1x1+· · · +λnxn.
Théorème 1. Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base.
Théorème et Définition 2. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie. Toutes les
bases de Epossèdent le même nombre d’éléments que l’on appelle la dimension de E.
5