cours L1 UE4 Les équations différentielles.

Daniel Abécassis.
Année universitaire 2010/2011
Cours LO/L1 biostatistiques. UE4
PARTIE ANALYSE
Chapitre I. Intégrales et équations différentielles.
I.1 Calcul des primitives.
1. Définition :
Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que
F est dérivable sur I et que , pour tout x de I, on a F’(x)=f(x).
Le but de ce paragraphe n’est pas donner un cours académique sur la notion qui concerne le
calcul des primitives. Il a pour but de rendre simple et accessible ces notions .
On rappelle que lors du calcul d’une primitive ( et donc d’une intégrale ) il est important de
mettre en évidence le caractère licite de ce calcul. Celui-ci sera mis en évidence par le théorème suivant :
Théorème1 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle fermé I. f admettra des primitives F sur cet intervalle
fermé Si et Seulement Si f est définie et continue sur cet intervalle.
2. Calcul d’une primitive simple.
La méthode que nous allons aborder ici permettra au lecteur de déterminer de façon simple et
rigoureuse la primitive d’une fonction f définie et continue sur un intervalle.
On rappelle, pour ce faire, que :
∀n ∈ R
[u n +1 ]' = (n + 1)u '.u n
Cette relation met en évidence deux cas simples :
1er cas : n ≠ −1 on a alors
[u n +1 ]'
u n +1
= u '.u n ⇔ [
]' = u '.u n
n +1
n +1
f = u '.u n
Si
alors
F=
u n +1
+ K où K est une constante quelconque.
n +1
2nd Cas. : Si n = −1 . on se trouve en face d’un cas particulier :
f =
u'
u
alors F = ln u + K où K est une constante quelconque.
Prenons, pour illustrer ceci un exemple simple.
Soit f définie par f ( x) =
1
( x + 3) 2
f est définie pour tout x ≠ −3
Pour tout x ∈] − 3;+∞[ il est clair que f soit définie et continue en tant que composées de fonctions
continues sur cet intervalle. A ce titre, f admet des primitives F sur cet intervalle.
On a alors f ( x) = 1( x + 3) −2 = 1.u ( x) −2 avec u(x)=x+3 or u’(x)=1 d’où
f ( x ) = u ' ( x ).u ( x ) −2
Il est alors clair qu’une primitive F de f aura pour expression :
u ( x) −1
1
F ( x) =
=−
−1
( x + 3)
Théorème 2.
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et s’il existe une primitive F de f sur I alors, pour
tourte autre primitive G il existe un réel k tel que
∀x ∈ I , on, a, G ( x ) = F ( x ) + k
Cela montre que toutes les primitives de f sont définies à une constante près
Remarque : la valeur de la constante rendra licite le caractère unique d’une primitive F de f.
Théorème 3.
a est un réel donné d’un intervalle I et b est un réel donné. Si F est une primitive de f sur I, alors il
existe une unique primitive G de f sur I telle que : G(a)=b.
Exercice : Soit f la fonction définie par f ( x) =
5
( 2 x + 3) 2
3
1. Déterminer l’ensemble des primitives de f sur l’intervalle ] − ;+∞[
2
2. Quelle est la primitive de f qui s’annule pour x=4 ?
I.2 Notions d’intégrales.
1. Définition.
Soit a et b deux réels quelconques d’un intervalle I et f une fonction continue sur cet intervalle. Par
définition, on appellera intégrale de f entre a et b la valeur :
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
Où F est une primitive de f sur I.
Remarque : Par la suite et par abus de langage, la notation sans les bornes
∫ f ( x)dx
signifiera que l’on
considère une primitive de f sur un intervalle adéquat.
Théorème 1.
Soit f une fonction CONTINUE sur un intervalle I. La primitive de f qui s’annule en un point a de I est la
fonction définie sur I par
x
G ( x) = ∫ f (t )dt
a
2. Propriétés des intégrales.
On rappelle les principales propriétés des intégrales.
1. La linéarité :
b
b
b
a
a
a
∫ (αf + βg )( x)dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx
2. La relation de Chasles.
∫
b
a
c
c
b
a
f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx
Cette relation est licite pour tout a,b et c de I (quelque soit l’ordre )
3.
Si f est une fonction définie continue sur I. Si f est positive sur un intervalle [a ;b], alors
∫
b
a
f ( x)dx ≥ 0
4. Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I et si a et b sont deux réels de I avec a ≤ b et si
∀x ∈ [ a; b] on a f ( x ) ≤ g ( x )
alors
∫
b
a
b
f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx
a
Attention : LA RECIPROQUE EST FAUSSE.
5. Intégrale et valeurs absolues.
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ;b]
∫
b
a
b
f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx
a
6. Théorème
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ;b] telle que , ∀x ∈ [ a; b] , il existe deux réels m et M
m ≤ f ( x) ≤ M
b
alors m(b − a) ≤ ∫a f ( x)dx ≤ M (b − a )
7. Valeur moyenne d’une fonction.
f est une fonction définie et CONTINUE sur un intervalle [a ;b] avec a < b , la valeur moyenne de f sur
l’intervalle [a ;b] est le réel défini par
1 b
f ( x ) dx
b − a ∫a
I. 3 Calcul par parties d’une intégrale.
Lorsque le calcul des primitives simples ne sera pas possible, il faudra mettre en place une
intégration par parties.
On rappelle que cette intégration consiste à utiliser la formulation suivante :
b
b
∫ u' x).v( x) = [u( x).v( x)] − ∫ u( x).v' ( x)dx
b
a
a
a
Remarque : le calcul d’une primitive ou d’une intégrale par parties se fera à chaque fois que la
première méthode ne pourra plus être exploitée. En effet, nous avons mis en évidence que la première
méthode consistait à placer la fonction dont on désire déterminer une primitive sous la forme :
f = u '.u n
Contre exemple :
Soit f la fonction définie par : f ( x) =
x
( x + 3) 2
f est définie,continue et dérivable sur [0;+∞[ en tant que fonction rationnelle. A ce titre, f admet une
primitive sur cet intervalle. Par ailleurs :
f ( x) =
x
= x ( x + 3) − 2 = x.u ( x ) n avec u(x)=x+3 et n = −2 on a alors u’(x)=1 d’où
2
( x + 3)
f ( x ) = x.u ' ( x ).u ( x ) n
Que faire de la variable x restante. On constate bien ici la limite de cette méthode. L’utilisation de la
méthode de recherche d’une primitive par partie prendra en l’occurrence, tout son caractère licite.
I.4. Interprétation géométrique d’une intégrale.
Soit f une fonction POSITIVE et continue sur in intervalle [a ;b] et © sa courbe représentative dans un
→ →
repère orthonormé direct (O; i ; j )
Par définition, l’aire du domaine plan délimité par la courbe ©, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x=a et x=b est, en unités d’aires (u.a)
b
A = ∫ f ( x)dx (u.a)
a
Attention : cette interprétation géométrique montre bien qu’une intégrale n’est pas nécessairement sur
surface. Pour qu’il en soit effectivement ainsi, il faut et il suffit que la courbe représentative de f soit au
dessus de l’axe des abscisses ie que f ( x ) > 0 sur l’intervalle considéré.
Si cela n’est pas le cas l’intégrale aura, d’après les théorèmes précédents, une valeur négative. Pour
calculer la surface, il faudra considérer une valeur absolue.
Dans ce cas, la surface du domaine plan délimité par la courbe représentative de f , l’axe des abscisses et
les droites d’équation x=a et x=b sera, en unités d’aires ;
b
b
a
a
A = ∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x)dx
Remarque : pour avoir la surface en cm 2 il faudra multiplier l’intégrale précédente par les deux
échelles de l’axe des abscisses et de l’axes des ordonnées.
Par exemple si l’unité de l’axe des abscisses est 2cm et celle de l’axe des ordonnées est 3 cm alors
la surface en cm 2 sera :
b
b
a
a
A = [ ∫ f ( x)dx] × 2 × 3 = 6∫ f ( x)dx.(cm 2 )
I.5. Equations différentielles.
1. Généralités.
On appelle équation différentielle toute équation faisant intervenir une fonction y=f(x), continue
dérivable ( le plus souvent plusieurs fois) et ses dérivées.
Dans le cadre de ce cours, les seules équations différentielles qui sont à notre programme sont les
équations du premier ordre ( ie seule la dérivée première de y=f(x) interviendra) linéaire, à coefficients
réels et avec second membre.
De telles équations auront pour modèle mathématique :
ay ' ( x ) + by ( x ) = g ( x)
(E)
a et b sont des réels. Ce sont les coefficients de l’équation.
y(x) est la fonction solution de l’équation différentielle.
g(x) est une fonction quelconque caractérisant le second membre.
2. Equation homogène.
On appelle l’équation homogène associée à l’équation différentielle (E ), l’équation sans second membre.
(H)
ay ' ( x) + by ( x) = 0
3. Théorèmes fondamentaux.
1. Théorème 1.
Toute combinaison linéaire de solutions d’une équation différentielle est solution de la même équation
Si y1 ( x) et y 2 ( x) sont deux solution d’une équation différentielle (E ) alors
∀(α , β ) ∈ R 2 la fonction définie par y( x) = α . y1 ( x) + β . y 2 ( x) est solution de l’équation (E)
2. Théorème 2.
Ce théorème est la conséquence directe du théorème précédent. Il permet la détermination des fonctions
définies et dérivables sur un intervalle I solution de l’équation différentielle (E)
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) ay ' ( x ) + by ( x) = g ( x ) est l’ensemble des
fonctions y(x) définies, continues et dérivables sur un intervalle I telles que :
y( x) = y1 ( x) + y 2 ( x)
Avec :
y1 ( x), solution, de, ( H )


 y 2 ( x), solution, particulière, de, ( E )
Remarque : Qu’appelle-t-on solution particulière ?
y 2 ( x) sera dite solution particulière de l’équation différentielle (E) Si et Seulement Si y 2 ( x) vérifie
l’équation
a. y' 2 ( x) + b. y( x) = g ( x)
Attention : Généralement, une solution particulière de (E ) sera de la forme du second membre.
Si g (x ) est un polynôme, la solution particulière sera un polynôme.
Si g ( x ) = α cos(ω .x ) alors y 2 ( x) = a. cos(ω.x) + b. sin(ω.x)
Si g ( x ) = β sin(ω .x ) alors y 2 ( x) = a. cos(ω.x) + b. sin(ω.x)
Si g ( x) = P ( x).e u ( x )
alors y 2 ( x) = Q ( x).e u ( x )
Si g ( x ) = P( x ). ln[u ( x )] alors y 2 ( x) = Q( x). ln[u ( x)]
Théorème 3.
Ce théorème permet la détermination de la solution de l’équation homogène (H)
Les solutions de l’équation différentielle homogène (H) ay ' ( x ) + by ( x ) = 0 est l’ensemble des
fonctions y1 ( x) définies, continues et dérivables sur un intervalle I telles que :
y1 ( x ) = C.e
−b
x
a
C est une constante.