Cours d`Introduction au Calcul des Probabilités

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
Bât. M2, F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex
Introduction au
Calcul des Probabilités
Probabilités à Bac+2 et plus si affinités. . .
Charles SUQUET
L2 2007–2008

Table des matières
1 Espaces Probabilisés 1
1.1 Introduction ............................ 1
1.2 Événements ............................ 2
1.3 La probabilité comme fonction d’ensembles ........... 5
1.4 Exemples ............................. 13
1.5 Remarques sur le choix d’un modèle ............... 17
1.6 Exercices .............................. 19
2 Conditionnement et indépendance 29
2.1 Probabilités conditionnelles ................... 29
2.1.1 Introduction ........................ 29
2.1.2 Propriétés ......................... 31
2.1.3 Quelques exemples .................... 34
2.2 Indépendance ........................... 36
2.2.1 Indépendance de deux événements ............ 36
2.2.2 Indépendance mutuelle .................. 39
2.2.3 Épreuves répétées ..................... 40
2.3 Exercices .............................. 42
3 Variables aléatoires discrètes 51
3.1 Introduction ............................ 51
3.2 Généralités ............................ 52
3.2.1 Variable aléatoire discrète ................ 52
3.2.2 Loi d’une variable aléatoire discrète ........... 53
3.2.3 Fonction de répartition .................. 54
3.3 Lois discrètes classiques ..................... 58
3.3.1 Lois de Bernoulli ..................... 58
3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de réels ....... 58
3.3.3 Lois binomiales ...................... 58
3.3.4 Lois hypergéométriques .................. 59
3.3.5 Lois géométriques ..................... 61
i

3.3.6 Lois de Poisson ...................... 63
3.3.7 Sur le caractère universel de la loi de Poisson ...... 70
3.4 Exercices .............................. 73
4 Vecteurs aléatoires discrets 83
4.1 Introduction ............................ 83
4.2 Vecteurs aléatoires ........................ 84
4.3 Variables aléatoires indépendantes ................ 86
4.4 Exercices .............................. 90
5 Moments des v. a. discrètes 97
5.1 Espérance ............................. 97
5.2 Moments d’ordre r........................105
5.3 Variance ..............................107
5.4 Covariance .............................113
5.5 Exercices ..............................118
6 Loi des grands nombres 129
6.1 Deux modes de convergence ...................129
6.2 Loi faible des grands nombres ..................131
6.3 Estimation d’une proportion inconnue ..............132
6.4 Convergence presque sûre des fréquences ............134
6.5 Discussion .............................138
6.6 Exercices ..............................145
7 Approximation gaussienne 151
7.1 La courbe en cloche ........................151
7.2 Étude graphique .........................155
7.3 Le théorème de De Moivre-Laplace ...............159
7.4 Preuve du théorème de De Moivre-Laplace ...........162
7.4.1 Évaluation asymptotique de b(k, n, p)..........163
7.4.2 Sommes de Riemann ...................168
7.5 Vitesse de convergence ......................171
7.6 Exercices ..............................174
8 Variables aléatoires réelles 181
8.1 Sortie du cadre discret ......................181
8.2 Notion de variable aléatoire réelle ................185
8.3 Variables à densité ........................188
8.3.1 Densité ..........................188
8.3.2 Moments des variables à densité .............192
ii

8.4 Lois à densité classiques .....................193
8.4.1 Lois uniformes .......................193
8.4.2 Lois exponentielles ....................195
8.4.3 Lois gaussiennes ......................198
8.5 Exercices ..............................201
A Ensembles et dénombrements 205
A.1 Généralités ............................205
A.2 Ensembles finis ..........................207
iii