Espaces vectoriels

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Espaces vectoriels
Dans tout le chapitre K = R ou C
I Structure d'espaces vectoriels
A) Dénition, exemples
Dénition :
On appelle K− espace vectoriel, un ensemble E muni de
G d'une opération, noté + vériant :
K ∀x, y ∈ E, x + y ∈ E
K ∀x, y ∈ E, x + y = y + x
K ∀x, y, z ∈ E, x + (y + z) = (x + y) + z
K ∃x0 ∈ E, ∀x ∈ E, x + x0 = x0 + x = x.
Cet élément est appelé élément nul de E et est noté 0E .
K ∀x ∈ E, ∃y ∈ E, x + y = y + x = 0E .
Cet élément est unique et est appelé symétrique (ou opposé) de x et est noté −x.
G d'une loi de composition externe : K × E → E vériant :
(λ, x) 7→ λ.x
K ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, λ.x ∈ E
K ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E, λ.(x + y) = λ.x + λ.y
K ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E, (λ + µ).x = λ.x + µ.x
K ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E, (λµ).x = λ.(µ.x)
K ∀x ∈ E, 1.x = x
On notera souvent λ.x = λx.
Les éléments de E sont appelés vecteurs.
Les éléments de K sont appelés scalaires.
Exemple :
G R est un R−espace vectoriel.
G C est un C−espace vectoriel et aussi un R-espace vectoriel.
G Kn est un K-espace vectoriel.
©
G KN est un K-espace vectoriel.
G Si F est un K-espace vectoriel et X un ensemble.
F X , l'ensemble des fonctions de X dans F est un K-espace vectoriel.
G Mn,p (K) est K-espace vectoriel
G K[X] est K-espace vectoriel
Proposition :
E un K-espace vectoriel.
G ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, λx = 0E ⇐⇒ λ = 0K ou x = 0E
G ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E, (λ − µ)x = λx − µx
G ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E, λ(x − y) = λx − λy
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B) Sous-espace vectoriel
Dénition :
Soit E un K− espace vectoriel et F ⊂ E .
F est un sous-espace vectoriel si et seulement si
F 6= ∅
∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ K, λx + y ∈ F
Remarque:
Si F est un sous-espace vectoriel de E alors 0E ∈ F .
Proposition :
Soit (E, +, .) un espace vectoriel sur K et F un sous-ev.
Alors (F, +, .) est un espace vectoriel sur K.
Exemple :
G F = {(x, y, z) ∈ R3 , x + y + z = 0}.
©
G G = {(x, x, x) ∈ R3 , x ∈ R}.
G L'ensemble des fonctions paires, des fonctions impaires, continues
G Kn [X]
C) Intersection de sous-espaces vectoriels
Proposition :
Soit E un K− espace vectoriel et (Fi )1≤i≤n une famille de sous-espaces vectoriels de E .
Alors F = ∩ Fi est sous-espace vectoriel.
1≤i≤n
Démonstration :
Remarque:
En général, F1 ∪ F2 n'est pas un sous espace vectoriel.
(Sauf si F1 ⊂ F2 ou le contraire).
D) Espace vectoriel engendré
Dénition :
Soit F = (x1 , x2 , . . . , xn ) une famille nie de vecteurs de E .
On appelle sous-espace vectoriel engendré par F et on note Vect(F) l'ensemble :
Vect(F) =
( n
X
)
λi xi , (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Kn
i=1
C'est l'ensemble des combinaisons linéaires construites à partir de F .
Exemple :
© R2 = Vect(e1 , e2 ) où e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1).
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Proposition :
Soit F = (x1 , x2 , . . . , xn ) une famille nie de vecteurs de E .
Alors Vect(F) est un sous-espace vectoriel contenant F .
De plus si F est un sous-espace vectoriel contenant F alors Vect(F) ⊂ F .
Démonstration :
II Familles de vecteurs
A) Familles libres, familles liées
Dénition :
E un espace vectoriel, F = (xi )1≤i≤n une famille nie de vecteurs de E .
G On dit que F est une famille libre si et seulement si
∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn ,
n
X
λi xi = 0E =⇒ ∀1 ≤ i ≤ n, λi = 0K
i=1
G On dit que F est une famille liée dans le cas contraire, c'est-à-dire
∃(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , (λ1 , . . . , λn ) 6= (0K , . . . , 0K ),
n
X
λi xi = 0E
i=1
Exemple :
G Famille d'un seul vecteur : F = (x).
F est libre si et seulement si x 6= 0.
©
G Famille de deux vecteurs : F = (x1 , x2 ).
F est libre si et seulement si (x1 , x2 ) non colinéaires.
Cette propriété est fausse dès qu'il y a plus de trois vecteurs.
Dans R2 : x1 = (1, 1), x2 = (2, 1), x3 = (−1, 0).
Remarque:
G Tout sur-famille d'une famille liée est encore liée.
G Tout sous-famille d'une famille libre est encore libre.
Démonstration :
Comment montrer qu'une famille (xi )1≤i≤n est libre ? est liée ?
Méthode
Soit x ∈ E . Soient (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn .
Ecrire x =
n
X
λi xi et chercher à trouver les (λi ).
i=1
â On trouve une unique solution qui est (0, . . . , 0) : la famille est libre
â On trouve, en plus de la solution de (0, . . . , 0), une autre solution : la famille est liée.
Proposition :
E un espace vectoriel, F = (xi )1≤i≤n une famille libre.
Soit xn+1 ∈
/ Vect(x1 , . . . , xn ).
Alors (x1 , . . . , xn , xn+1 ) est libre.
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Proposition : Un exemple important
G Soit (Pi )i∈I une famille nie de polynômes non nuls.
On suppose que tous les polynômes sont de degrés distincts.
Alors cette famille est libre.
Un cas particulier : Famille de degré étagé
G
Soit (P0 , P1 , . . . , Pn ) une famille de polynômes vériant : ∀0 ≤ i ≤ n, deg(Pi ) = i.
Démonstration :
B) Familles génératrices
Dénition :
E un espace vectoriel, F = (xi )1≤i≤n une famille nie de vecteurs de E .
On dit que F est génératrice dans E si et seulement si Vect(F) = E .
C'est-à-dire :
n
∀x ∈ E, ∃(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , x =
X
λi xi
i=1
Exemple :
G ((1, 0), (0, 1))
G ((1, 0), (0, 1), (1, 1))
©
G ((1, 0))
G (1, i)
Remarque:
Toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice.
Comment montrer qu'une famille (x1 , . . . , xn ) est génératrice ?
â Prendre x ∈ E et chercher à l'écrire comme combinaison linéaire de (x1 , . . . , xn ) :
Méthode
x=
n
X
λi xi
i=1
â Chercher les λi ...
Un raisonnement par analyse synthèse peut-être nécessaire.
Dans Kn , cela se traduit souvent par la résolution d'un système linéaire.
â Si on trouve que (λi )1≤i≤n existe sans condition sur x, la famille est génératrice.
C) Bases
Dénition :
E un espace vectoriel, B = (xi )1≤i≤n une famille nie de vecteurs de E .
On dit que B est une base dans E si et seulement si B est libre et génératrice.
Exemple :
Dans R2 :
©
G ((1, 0), (0, 1))
G ((1, 0), (0, 1), (1, 1))
G ((1, 0))
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Proposition :
E un espace vectoriel, B = (xi )1≤i≤n une famille nie de vecteurs de E .
B est une base de E ⇐⇒ ∀x ∈ E, ∃!(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , x =
n
X
λ i xi
i=1
Les scalaires (λ1 , . . . , λn ) sont appelés coordonnées de x dans la base B.
Démonstration :
Exemple :
©
Dans R2 , déterminer les coordonnées de (x, y) dans les deux bases :
G ((1, 0), (0, 1)) .
G ((1, 1), (0, 2)) .
Bases usuelles
Exemple : Rn
On note pour 1 ≤ i ≤ n, ei = (0, . . . , 1, 0 . . . , 0).
© Alors (e1 , . . . , en ) est une base de Rn ,n appelée base canonique.
Pour x = (x1 , x2 , . . . , xn ), on a x =
X
xi e i .
i=1
Exemple : Kn [X]
© (1, X, X 2 , . . . , X n ) est une base de Kn [X], appelée base canonique.
Exemple :
Mn,p (K)
On note pour 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p
Ei,j
©
j
↓


0 ... 0


=  ... 1 ...  ← i
0 ... 0
Alors (Ei,j )1≤i≤n est une base de Mn,p (K), appelée base canonique.
1≤j≤p
Pour A = (ai,j )1≤i≤n , on a A =
1≤j≤p
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X
ai,j Ei,j .
1≤i≤n
1≤j≤p
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III Espace vectoriel de dimension nie
A) Dénition
Dénition :
On dit qu'un espace est de dimension nie si et seulement si il admet une famille génératrice de
cardinal ni.
On dit que E est de dimension innie dans le cas contraire.
Exemple :
G Rn est de dimension nie
©
G RR est de dimension innie
G RN est de dimension innie
G K[X] est de dimension innie
B) Théorème de la base incomplète
Théorème : Théorème de la base incomplète
Soit E un espace vectoriel de dimension nie.
Soit G = (x1 , . . . , xn ) une famille génératrice de E .
Soit L = (y1 , . . . , yp ) une famille libre de E .
On peut compléter la famille L avec des éléments de G pour obtenir une base.
Théorème : Théorème fondamental
Tout espace vectoriel de dimension nie admet une base de cardinal ni.
C) Théorème de la dimension
Théorème : Théorème de la dimension
Soit E un espace vectoriel de dimension nie.
Alors toutes les bases de E sont de cardinal ni et de même cadinal.
Ce cardinal commun est appelé dimension de E et est noté dim E
Exemple :
G dim Rn = n
©
G dim Kn [X] = n + 1
D) Caractérisation des bases
Soit E un ev de dimension nie. n = dim(E).
Proposition :
G Toute famille libre a au plus n éléments.
G Toute famille génératrice a au moins n éléments.
Remarque:
Toute famille de n + 1 éléments est liée.
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Proposition :
Soit F une famille de E .
Les propositions suivantes sont équivalentes :
1◦ ) F est une base.
2◦ ) F est libre et card(F) = n.
3◦ ) F est génératrice et card(F) = n.
IV Sous-espaces vectoriels d'un ev de dimension nie
A) Sous-espace vectoriel
Proposition :
Soit E un espace vectoriel de dimension nie.
Soit F un sous-espace vectoriel.
Alors F est de dimension nie et dim(F ) ≤ dim(E).
Démonstration :
Proposition :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E .
On a
F ⊂G
=⇒ F = G
dim(F ) = dim(G)
Démonstration :
B) Rang d'une famille de vecteurs
Dénition :
Soit E un espace vectoriel Soit F une famille nie de vecteurs de E .
On appelle rang de F et on note :
rg(F) = dim(Vect(F))
Proposition :
On a :
G rg(F) ≤ card(F)
G rg(F) = card(F) ⇐⇒ F est libre.
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Un mathématicien et un physicien suivent une conférence où il est question d'un espace de dimension
17. Le physicien : "Vraiment, un espace de dimension 17... Trois je vois, quatre avec le temps, ça va, mais
17, j'ai du mal à imaginer !" Le mathématicien :" Mais non, ce n'est pas compliqué. Il sut d'imaginer un
espace de dimension n puis de prendre n=17"
© Exercice 1: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EV/EV05.tex
Parmi les ensembles suivants, déterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels des espaces vectoriels
classiques :
polynômes de degré n} ∪ {0}
◦
2 ) { polynômes de degré inférieur à n}
3◦ ) { polynômes de degré supérieur à n} ∪ {0}
8◦ ) {(x, y, z) ∈ R3 /5x + 3y − z = 0}
1◦ ) {
9◦ ) {(x, y, z) ∈ R3 /5x + 3y − z = 2}
10◦ ) {(x, y, z) ∈ R3 /5x2 + 3y − z = 0}
4◦ ) {f : R → R/f (1) = 0}
5◦ ) {f : R → R/f (0) = 1}
11◦ ) {(x, y, z) ∈ R3 /(3x − 2y)(5x − y + 2z) = 0}
6◦ ) {(un ) ∈ RN /∀n ∈ N, un+2 = 4un+1 + 3un }
12◦ ) {(x, y, z) ∈ R3 /(3x − 2y)2 + (5x + 2z)2 = 0}
7◦ ) {(un ) ∈ RN /∀n ∈ N, un+2 = 4u2n+1 + 3un }
© Exercice 2: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EV/EV06.tex
Soit : F le sous-espace vectoriel de R3 engendré par u = (3, −1, 2) et v = (−1, 2, 0)
.
0
3
0
0
F le sous-espace vectoriel de R engendré par u = (7, −4, 4) et v = (−6, 7, −2)
Montrer que F = F 0 .
© Exercice 3: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EV/EV15.tex
Écrire les ensembles suivants comme des espaces vectoriels engendrés par une famille de vecteurs :
1◦ ) {(x, y, z) ∈ R3 , x + 2y + z = 0}
2◦ ) {(x, y, z) ∈ R3 , x + 2y + z = 0, x − y = 0}
3◦ ) {(x1 , . . . , xn ) ∈ Kn ; x1 + · · · + xn = 0}
4◦ ) {P ∈ Kn [X]; P (a) = 0 = P (b)}
, où (a, b) ∈ K2 avec a 6= b
5◦ ) {(un )n∈N ∈ KN ; ∀n ∈ N, un+1 = 5un }
6◦ ) {(un )n∈N ∈ KN ; ∀n ∈ N, un+2 = 4un+1 − 4un }
7◦ ) {(un )n∈N ∈ KN ; ∀n ∈ N, un+2 = 3un+1 − 2un }
8◦ ) {M ∈ M3 (K);t M = −M }
9◦ ) {P ∈ Kn [X]; P (a) = P 0 (a) = 0}
où a ∈ K
© Exercice 4: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie43.tex
Dans l'espace vectoriel des fonctions C ∞ (R, R), on souhaite étudier la liberté de la famille
(sin, sin ◦ sin, sin ◦ sin ◦ sin)
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Exercices : I
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Exercices : Espaces vectoriels
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1◦ ) Donner
le développement limité de sin à l'ordre 5.
En déduire le développement limité de sin ◦ sin à l'ordre 5.
3◦ ) La famille est-elle libre ?
2◦ )
© Exercice 5: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie27.tex
Soient u = (1, 2, 0, 1), v = (−1, 1, 0, 2), w = (2, 1, 1, 0).
Compléter cette famille pour obtenir une base de R4 .
© Exercice 6: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie28.tex
On considère dans R3 :
x = (2, 3, −1) y = (1, −1, −2)
u = (3, 7, 0)
v = (5, 0, −7)
Montrer que Vect(x, y) = Vect(u, v).
© Exercice 7: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/EVDimnie/EVdimnie09.tex
Dans R4 , soient :
a = (1, 2, 3, 4), b = (1, 1, 1, 3), c = (2, 1, 1, 1), d = (−1, 0, −1, 2), e = (2, 3, , 0, 1)
Soient U = V ect(a, b, c) et V = vect(d, e).
Calculer la dimension de U, V, U ∩ V, U + V .
© Exercice 8: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Matrices/Matrices02.tex
1 1
1 0
Soient I =
, J=
, E = {M (x, y) = xI + yJ; (x, y) ∈ R2 }.
0 1
0 1
1◦ ) Montrer
que E est un R-espace vectoriel. En donner une base et la dimension.
Montrer : ∀M1 , M2 ∈ E, M1 M2 ∈ E .
3◦ ) Quels sont les éléments inversibles de E ? Montrer que dans ce cas, l'inverse est élément de E .
4◦ ) Résoudre, dans E , les équations :
2◦ )
X 2 = I,
5◦ ) Pour (x, y) ∈ R2 ,
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X 2 = 0,
X2 = X
calculer M (x, y)n .
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Exercices : II
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Exercices : Espaces vectoriels
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© Exercice 9: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Matrices/Matrices15.tex
Préliminaire :
Soit M ∈ M3 (R). On appelle trace de M le réel, noté Tr(M ) = m1,1 + m2,2 + m3,3 .
Montrer que Tr : M3 (R) → R
est linéaire, c'est-à-dire :
7→ Tr(M )
M
∀M, M 0 ∈ M3 (R), ∀λ ∈ R, Tr(M + λM 0 ) = Tr(M ) + λ Tr(M 0 )
On appelle matrice semi-magique, une matrice M = (mi,j ) ∈ M3 (R) qui vérie la propriété :
∀i ∈ [1, 3], mi,1 + mi,2 + mi,3 = σ(M )
∃σ(M ) ∈ R,
∀j ∈ [1, 3], m1,j + m2,j + m3,j = σ(M )
On note SM G3 l'ensemble des matrices semi-magiques.
On appelle matrice magique, une matrice M = (mi,j ) ∈ M3 (R) qui vérie la propriété :
M ∈ SM G3
et σ(M ) = Tr(M )
On note M G3 l'ensemble
des matrices
.


 magiques

1
1 1 1



On note : E = 1 1 1 et V = 1
1
1 1 1
1
1◦ ) Montrer
re
Partie : Propriétés générales
que M ∈ M3 (R) est semi-magique si et seulement si il existe λ ∈ R tel que :
M V = λV et t M V = λV
Dans ce cas, on a λ = σ(M ).
En déduire que SM G3 est un sous espace-vectoriel de M3 (R).
Vérier que SM G3 est stable par produit.
Montrer que M G3 est un sous-espace vectoriel de M3 (R).
◦
3 ) Montrer que la transposée d'une matrice magique est magique.
4◦ ) Montrer que E est magique et vérie la propriété : ∀p ≥ 1, E p = 3p−1 E .
5◦ ) Montrer : ∀M ∈ SM G3 , EM = σ(M )E = M E .
2◦ )
2
e
Partie : Base de M G3
1◦ ) Montrer
que toute matrice M de M G3 est la somme d'une matrice magique symétrique et d'une
matrice magique antisymétrique, et que cette décomposition est unique.
◦
2 ) Construire toutes les matrices magiques antisymétriques. Préciser une base et la dimension de cet
espace.
◦
3 ) Construire toutes les matrices magiques symétriques, de trace nulle. Préciser une base et la dimension
de cet espace.
4◦ ) En
1
remarquant que M − T r(M )E a une trace nulle, en déduire toutes les matrices magiques symé3
triques.
5◦ ) En déduire une base et la dimension de M G3 .
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Exercices : III