- 1 - APPLICATION DU CALCUL MATRICIEL A QUELQUES

Ch6 – Processus d’évolution. 2012-2013
Spé maths J. TAUZIEDE.
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APPLICATION DU CALCUL MATRICIEL A QUELQUES PROCESSUS
ALEATOIRES OU STOCHASTIQUES.
C’est dans le cadre de la macrolinguistique, qui a permis des progrès dans le domaine militaire (codage) mais
aussi dans l’analyse de documents anciens dégradés dans le but d’en retrouver des fragments partiellement
effacés que Markov (mathématicien russe 1856-1922) crée l’analyse markovienne.
En simplifiant à l'extrême, on parle de processus de Markov lorsqu'à chaque instant, l'état ultérieur du processus
ne dépend que de son état présent : c'est en quelque sorte un processus sans mémoire.
I- GENERALITES SUR LES GRAPHES.
1°) Le vocabulaire de base.
Définition.
On appelle :
Graphe un ensemble de points et de lignes reliant certains de ces points.
Sommet un point d’un graphe.
Arête une ligne d’un graphe reliant deux sommets (appelés aussi les
extrémités de l’arête).
On dit que deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête ; on parle de paire de
sommets adjacents.
Ordre d’un graphe le nombre de sommet d’un graphe.
Boucle une arête dont les extrémités sont confondues.
Degré d’un sommet le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité ; une boucle
augmente de deux le degré de ce sommet.
Un graphe est simple lorsqu’il est sans boucle et tel que, entre deux sommets, il y’a au
plus une arête.
Sous-graphe d’un graphe un graphe composé de certains sommets et des arêtes qui relient
ces sommets.
Graphe complet tout graphe dont les sommets sont adjacents ou encore lorsqu’un
sommet est relié à tous les autres sommets.
Exemple.
Graphe 1
Graphe 2
Graphe 3
Le graphe 1 comporte 10
arêtes et 6 sommets.
L’arête reliant S et P
est notée
SP ou PS ou {P,S}.
L’ordre du graphe est 6
Il est sans boucle.
Le graphe 2 comporte 4
sommets et 7 arêtes.
L’ordre du graphe est 4
Il a une boucle en A
. Ce
graphe est complet.
Le graphe 3 comporte 6
sommets, 5 arêtes. L’ordre
du graphe est 6 mais ce
graphe n’est pas complet
car tous ses sommets ne
sont pas adjacents

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A
B
C
D
E
F
Degré du
sommet
Graphe 1
4
Graphe 2
3
3
3
3
Graphe 3
2
3
2
1
1
1
Théorème.
La somme des degrés des sommets d’un graphe est égale à deux fois le nombre d’arêtes du
graphe.
Les graphes 1 et 2 sont simples mais pas le graphe 3. Pourquoi ?
Le graphe 3 n’est pas simple car il n’y a pas d’arête par exemple entre les sommets 3 et 5.
2°) Matrice associée à un graphe non orienté.
Définition.
Soit n un entier naturel non nul.
On appelle matrice associée à un graphe non orienté, la matrice à n lignes et n colonnes où le
terme situé à l’intersection de la ième ligne et jme colonne est égal au nombre d’arêtes reliant i
et j.
Exemple.
La matrice associée au graphe 1 est :
=
011100 101010 110110 101011 011101 000110
M
La matrice associée au graphe 2 est
=0
111 10
11 1101 1112
2
M
Quelle est la matrice associée au graphe 3 ?
=
010000 100000 000010 000011 001101 000110
M
On remarque que ces matrices sont symétriques car l’existence de l’arête
()
ji −
entraîne
l’existence de l’arête
( )
ij −
.
2°) Graphes orientés et matrice de transition.
Définition.
Un graphe est dit orienté lorsqu’un segment reliant deux sommets adjacents est muni d’un
sens de parcours.
Un graphe étiqueté est un graphe orienté dont les arêtes sont affectés d’une étiquette (lettre ou
nombre).

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Spe maths.
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Dans le cas où toutes les étiquettes sont des nombres positifs, on dit que le graphe est
pondéré.
II- GRAPHES PROBABILISTES ET MATRICE DE TRANSITION.
1°) Graphes probabilistes.
Définition.
On appelle graphe probabiliste, un graphe orienté pondéré tel que la somme des poids des
arêtes issues de chaque sommet donné vaut 1.
La matrice associée à un tel graphe est appelée matrice de transition.
Exemple :
Monsieur X a trois amis A, B et C. A chaque étape de sa marche aléatoire :
• s’il est chez A, il va chez B ou C avec une probabilité de
3
1
pour B ;
• s’il va chez B, il va en A ou C avec une probabilité de
4
3
pour A ;
• s’il est en C, il va chez A ou B de façon équiprobable.
Il part de chez A, B ou C et arrête sa promenade au bout de trois étapes. Chez qui a-t-il le plus
de chance de se trouver ?
On pourra noter, par exemple,
( )
CIPA
la probabilité d’aller de A vers C en une étape.
Partie A. Une nouvelle représentation : un graphe probabiliste.
On peut représenter la situation par le graphe précédent.
1°) Que représente la probabilité
3
1
inscrite le long de la flèche allant de A vers B ?
Recopier ce graphe et le compléter par les probabilités manquantes le long des flèches.
Partie B. A l’aide d’un arbre de probabilités.
1°) On suppose que Monsieur X part de chez A.
Réaliser un arbre de probabilités pour une marche à trois étapes.
2°) Calculer la probabilité que Monsieur X soit en A, en B, en C en deux étapes.
3°) Même question pour une marche en trois étapes.
Pour répondre à la question posée, il faudrait construire à nouveau deux arbres semblables au
premier, selon que Monsieur X part de B ou de C. Cette démarche vite fastidieuse, trouve ici ses
limites !

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L’utilisation de matrices va nous permettre de résoudre ce problème de façon beaucoup plus rapide.
Partie C. A l’aide d’une matrice.
On introduit une matrice M à 3 lignes et 3 colonnes, appelée matrice de transition, formées
par les probabilités de passage en une étape de A, B ou C à A, B ou C comme indiquée ci-
dessous :
() ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ()
↑
=
C
IPB
IP
AIP
CIPB
IPA
IP
CIPBIPAIP
C
B
ACBA
M
C
CC
BB
B
AAA
1°) a- Ecrire la matrice A avec tous ses coefficients.
b- Que remarque-t-on sur la somme des coefficients d’une ligne ? Justifier.
2°) a- Calculer
2
M
. Quelles probabilités reconnaît-on dans les coefficients de la première
ligne de cette matrice ?
b- Par analogie, quelle probabilité représenterait le coefficient situé en 3ème ligne et 2ème
colonne ?
c- Inversement, quelles seraient les probabilités d’aller, en deux étapes : de B à A ? de B à
B ?
3°) a- Calculer
3
M
.
b- Quelles probabilités reconnaît-on dans les coefficients de la première ligne de cette
matrice ?
c- Conjecturer les probabilités d’aller en trois étapes : de A à B ; de C à B ; de B à B.
d- A la fin d’une marche aléatoire en trois étapes, chez qui Monsieur X aurait-il le plus de
chance de terminer sa marche s’il est parti de A ? de B ? de C ?
Partie A.
1°)
3
1
est la probabilité que Monsieur X aille vers B en une étape sachant qu’il est en A. Il
s’agit de la probabilité conditionnelle
( )
BIP
A
.
2°)
Partie B.
1°) Monsieur X part de A. L’arbre de probabilités complété est le suivant :

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2°) Calcul des probabilités que Monsieur X en deux étapes soit
• en A est
( ) ( )
CA
BA
A∩
∪∩
=
. Or A et C sont deux événements contraires sont les
événements
( )
BA∩
et
( )
CA∩
sont incompatibles. D’après la formule des
probabilités totales,
() ( ) ( )( ) ( ) ( ) ()
12
7
2
1
3
2
4
3
3
1=×+
×=×
+×
=∩
+∩
=C
IP
AIP
BIPA
IPC
AIP
BA
IPAIP A
A
.
• en B est
( )
CAB ∩=
donc
( ) ( )
C
AIPAIP ∩=
. Par définition d’une probabilité
conditionnelle,
( ) ( ) ( )
3
1
2
1
3
2=
×
=×
=B
IPA
IPB
IP A
.
• en C. On trouve
( ) ( ) ( )
12
1
4
1
3
1=×=×= CIPAIPCIP
A
.
On peut résumer cela par le tableau suivant :
3°)
• en A :
( )
24
7
2
1
12
1
4
3
3
1=
×+×=
AIP
.
• en B :
( )
72
17
2
1
12
1
3
1
12
7=×
+×=BIP
.
• en C. On trouve
( )
36
17
4
1
3
1
3
2
12
7=×
+×=
CIP
.
Partie C.
1°) a- Avec la définition de la matrice de transition, on a :