Faculté des Sciences Exactes et Naturelles L1-MA0201 2014-2015 Analyse TD3 Suites de nombres réels. Exercice 1 On définit la suite (un )n≥1 par un = n X k=1 1 pour n ≥ 1. k(k + 1) 1. Trouver deux réels α et β tels que pour x 6= 0 et x 6= −1, on a 2. En déduire que pour tout n ≥ 1, on a un = 1 − 1 α β = + . x(x + 1) x x+1 1 . n+1 3. Qu’en déduit-on sur la suite (un )n≥1 ? 4. On pose maintenant pour n ≥ 1 et pour α ≥ 2, vn = que pour tout n ≥ 2, on a vn ≤ 1 + un−1 . n X 1 . Montrer kα k=1 5. En déduire que la suite (vn )n≥1 est croissante et majorée. Qu’en déduiton ? Exercice 2 Soient a et b deux réels tels que a 6= 1. On considère la suite (un )n≥0 définie par la relation de récurrence un+1 = aun + b pour tout n ≥ 0, u0 étant donné dans R. 1. Pour quelle valeur de u0 (notée u∗ ) la suite (un )n≥0 est-elle stationnaire ? 2. Pour n ≥ 0, on pose vn = un − u∗ . Quelle est la relation de récurrence vérifiée par la suite (vn )n≥0 ? 3. En déduire l’expression de vn , puis celle de un pour tout n ≥ 0. 4. Montrer que si a est tel que |a| < 1, alors la suite (un )n≥0 converge. Quelle est la valeur de sa limite ? Exercice 3 Pour tout n ≥ 1, on pose Hn = 1 + 1 1 + ... + . 2 n 1. En utilisant une intégrale entre n et n + 1, montrer que l’on a pour tout n ≥ 0 la double inégalité 1 1 ≤ ln(n + 1) − ln(n) ≤ . n+1 n 2. En déduire que l’on a ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln(n) + 1. 3. Déterminer la limite de la suite (Hn )n≥1 . 4. Montrer que la suite (un )n≥1 définie par un = Hn − ln(n) est décroissante et positive. Qu’en déduit-on ? Exercice 4 On considère les deux suites : un = 1 + 1 1 + ··· + 1! n! 1 . n! Montrer que un et vn convergent vers un même élément de R \ Q. vn = u n + Exercice 5 Méthode d’Héron Soit a > 0. On définit la suite (un )n≥0 par u0 un réél strictement positif et 1 a un+1 = un + . 2 un √ On se propose de montrer que (un ) tend vers a. 1. Montrer que (u2n − a)2 . 4u2n √ ≥ a puis que la suite (un )n≥1 est u2n+1 − a = 2. Montrer que si n ≥ 1 alors un décroissante. √ 3. En déduire que la suite (un ) converge vers a. √ √ 4. Donner une majoration de un+1 − a en fonction de un − a. (Indication : penser à l’identité remarquable a2 − b2 = (a − b)(a + b)). 2 5. Si u1 − √ a ≤ k, montrer que pour n ≥ 1 : un − 6. Application : calculer en prenant u0 = 3. √ √ √ a≤2 a k √ 2 a 2n−1 . 10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, Exercice 6 Soient (un )n∈N et (vn )n∈N , deux suites de nombres réels telles que • limn−→+∞ un = l • ∀n ∈ N, vn ≥ 0, et lim n−→+∞ 1 = 0. v1 + v2 + · · · + v n Pn 1 uk vk P 1. Montrer que lim = l. Quand (vn )n∈N est la suite constante n n−→+∞ 1 vk égale à 1, on dit que (un )n∈N converge au sens de Césaro. √ √ √ 1 + 2 + 3 3 + ··· + n n 2. En déduire lim . n−→+∞ n 3. Que pensez-vous de la réciproque ? (prendre un = (−1)n par exemple). 3