TD3 Suites de nombres réels. Exercice 1 On définit la suite (un)n≥1

 Faculté des Sciences
Exactes et Naturelles
L1-MA0201
2014-2015
Analyse
TD3
Suites de nombres réels.
Exercice 1
On définit la suite (un )n≥1 par un =
n
X
k=1
1
pour n ≥ 1.
k(k + 1)
1. Trouver deux réels α et β tels que pour x 6= 0 et x 6= −1, on a
2. En déduire que pour tout n ≥ 1, on a un = 1 −
1
α
β
= +
.
x(x + 1)
x x+1
1
.
n+1
3. Qu’en déduit-on sur la suite (un )n≥1 ?
4. On pose maintenant pour n ≥ 1 et pour α ≥ 2, vn =
que pour tout n ≥ 2, on a vn ≤ 1 + un−1 .
n
X
1
. Montrer
kα
k=1
5. En déduire que la suite (vn )n≥1 est croissante et majorée. Qu’en déduiton ?
Exercice 2
Soient a et b deux réels tels que a 6= 1. On considère la suite (un )n≥0 définie
par la relation de récurrence un+1 = aun + b pour tout n ≥ 0, u0 étant donné
dans R.
1. Pour quelle valeur de u0 (notée u∗ ) la suite (un )n≥0 est-elle stationnaire ?
2. Pour n ≥ 0, on pose vn = un − u∗ . Quelle est la relation de récurrence
vérifiée par la suite (vn )n≥0 ?
3. En déduire l’expression de vn , puis celle de un pour tout n ≥ 0.
4. Montrer que si a est tel que |a| < 1, alors la suite (un )n≥0 converge. Quelle
est la valeur de sa limite ?
Exercice 3
Pour tout n ≥ 1, on pose Hn = 1 +
1
1
+ ... + .
2
n
1. En utilisant une intégrale entre n et n + 1, montrer que l’on a pour tout
n ≥ 0 la double inégalité
1
1
≤ ln(n + 1) − ln(n) ≤ .
n+1
n
2. En déduire que l’on a ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln(n) + 1.
3. Déterminer la limite de la suite (Hn )n≥1 .
4. Montrer que la suite (un )n≥1 définie par un = Hn − ln(n) est décroissante
et positive. Qu’en déduit-on ?
Exercice 4
On considère les deux suites :
un = 1 +
1
1
+ ··· +
1!
n!
1
.
n!
Montrer que un et vn convergent vers un même élément de R \ Q.
vn = u n +
Exercice 5 Méthode d’Héron
Soit a > 0. On définit la suite (un )n≥0 par u0 un réél strictement positif et
1
a
un+1 =
un +
.
2
un
√
On se propose de montrer que (un ) tend vers a.
1. Montrer que
(u2n − a)2
.
4u2n
√
≥ a puis que la suite (un )n≥1 est
u2n+1 − a =
2. Montrer que si n ≥ 1 alors un
décroissante.
√
3. En déduire que la suite (un ) converge vers a.
√
√
4. Donner une majoration de un+1 − a en fonction de un − a.
(Indication : penser à l’identité remarquable a2 − b2 = (a − b)(a + b)).
2
5. Si u1 −
√
a ≤ k, montrer que pour n ≥ 1 :
un −
6. Application : calculer
en prenant u0 = 3.
√
√
√
a≤2 a
k
√
2 a
2n−1
.
10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule,
Exercice 6
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N , deux suites de nombres réels telles que
• limn−→+∞ un = l
• ∀n ∈ N, vn ≥ 0, et
lim
n−→+∞
1
= 0.
v1 + v2 + · · · + v n
Pn
1 uk vk
P
1. Montrer que lim
= l. Quand (vn )n∈N est la suite constante
n
n−→+∞
1 vk
égale à 1, on dit que (un )n∈N converge au sens de Césaro.
√
√
√
1 + 2 + 3 3 + ··· + n n
2. En déduire lim
.
n−→+∞
n
3. Que pensez-vous de la réciproque ? (prendre un = (−1)n par exemple).
3