+Coniques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1
Coniques
Définition monofocale
Exercice 1 [ 01299 ] [Correction]
Soit Dune droite du plan Pet Fun point non situé sur D.
(a) Justifier que par tout point Mdu plan Pnon situé sur D ∪ {F}passe une unique
conique Cde foyer Fet de directrice D.
(b) Préciser la nature de Csuivant les positions du point M.
Exercice 2 [ 01300 ] [Correction]
Soient S,S0deux points différents. Montrer que par tout point Mdifférent de Set S0, et
non situé sur trois droites ni sur un cercle à préciser, il existe une conique à centre et une
seule passant par Met admettant Set S0pour sommets situés sur un même axe (focal ou
non).
Paraboles
Exercice 3 [ 01301 ] [Correction]
Soit Dune droite du plan Pet Mun point non situé sur D.
Quel est l’ensemble des foyers des paraboles de directrice Dpassant par M?
Exercice 4 [ 01302 ] [Correction]
Soit Dune droite, Aun point non situé sur Det dun réel positif.
Déterminer les points Mtels que AM +d(M,D)=d.
Exercice 5 [ 01303 ] [Correction]
Soit Γune parabole de foyer F.
Quel est le lieu des projections orthogonales de Fsur les tangentes à Γ?
Exercice 6 [ 02934 ] [Correction]
Soient Dune droite et Pun point du plan. Quel est l’ensemble des points Mdu plan tels
que MP =d(M,D) ?
Ellipses
Exercice 7 [ 01304 ] [Correction]
On connaît un foyer Fet les deux sommets focaux Aet A0d’une ellipse.
Construire les deux autres sommets de cette ellipse.
Exercice 8 [ 03455 ] [Correction]
Soit Eune ellipse de grand axe [A;A0]. Pour M∈ E \ {A,A0}, la tangente en MàEcoupe
les tangentes aux sommets A,A0en deux points Pet P0. Montrer que la quantité −−→ AP.−−−→ A0P0
est constante.
Hyperboles
Exercice 9 [ 01305 ] [Correction]
On connaît un foyer Fet les deux sommets Aet A0d’une hyperbole.
Construire les asymptotes cette hyperbole.
Exercice 10 [ 01306 ] [Correction]
Montrer que les hyperboles d’asymptotes orthogonales sont celles d’excentricité √2. On
les appelle hyperboles équilatères.
Equations polaires
Exercice 11 [ 01307 ] [Correction]
Donner la nature, l’excentricité et les sommets des coniques d’équations polaires :
(a) ρ=1
1+sin θ
(b) ρ=1
2+cos θ
(c) ρ=2
1+2 cos θ
(d) ρ=2
√2+cos θ+sin θ
Exercice 12 [ 01308 ] [Correction]
Soit Γla conique d’équation polaire
ρ=p
1+ecos θ
dans un repère orthonormé direct (O;~ i,~ j).
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 2
(a) Quelle est l’équation polaire de la tangente à Γau point de paramètre θ0?
(b) Montrer que la portion de tangente entre le point de contact et la directrice est vue du
foyer sous un angle droit.
Exercice 13 [ 02917 ] [Correction]
Trouver l’image du cercle unité par f:C\nj,j2o→Cdéfinie par
f:z→1
1+z+z2
Réduction d’équation du second degré
Exercice 14 [ 01309 ] [Correction]
Donner la nature, le centre, l’excentricité, les foyers, les sommets et les directrices des
coniques d’équations cartésiennes :
(a) 20x2+36y2−80x−216y−316 =0 (b) 16x2−9y2−64x−54y−161 =0
Exercice 15 [ 01310 ] [Correction]
Donner la nature et l’excentricité de la conique d’équation cartésienne :
(a) 2x2+y2+√3xy =1
(b) x2+6xy +y2+4√2(x+y)=0
(c) x2+2xy +y2+4√2(x−y)=0.
Exercice 16 [ 03456 ] [Correction]
Soit P(x)=x3+ax2+bx +cun polynôme de degré 3.
Montrer que la courbe
Γ:P(x)=P(y)
est la réunion d’une droite et d’une courbe qui, lorsqu’elle n’est pas triviale, est une
ellipse dont on précisera l’excentricité.
Exercice 17 [ 00630 ] [Correction]
Donner la nature de la conique d’équation
16x2−24xy +9y2+25x−50y=0
Préciser les sommet, foyer et directrice.
Exercice 18 [ 03014 ] [Correction]
Réduire la conique d’équation :
3x2−2xy +3y2−8x+8y+6=0
Donner, sa nature et ses éléments caractéristiques.
Exercice 19 [ 02930 ] [Correction]
Donner l’équation réduite et la nature de la conique donnée par
x2+3xy +2y2−x−2y+1=0
Exercice 20 [ 02932 ] [Correction]
Soient des réels a,b,a0,b0. Montrer que les courbes du plan géométrique d’équation
respectives
(ax +by)2+(a0x+b0y)2=1 et (ax +a0y)2+(bx +b0y)2=1
sont isométriques.
Exercice 21 [ 02933 ] [Correction]
Reconnaître et tracer la courbe d’équation
13x2−32xy +37y2=5
Exercice 22 [ 01562 ] [Correction]
Soient A(1,0) et B(0,2) dans un repère orthonormé (Oxy).
Déterminer une équation cartésienne de la parabole passant par Aet B, et tangente
respectivement à (Ox) et (Oy) en ces points.
Exercice 23 [ 03356 ] [Correction]
On considère la courbe
Γ = n(x,y)∈R+2|√x+√y=1o
Déterminer la nature de la courbe Γ.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 3
Exercice 24 [ 03511 ] [Correction]
Déterminer l’excentricité de la conique d’équation
x2+8xy −5y2−28x+14y+3=0
Exercice 25 [ 02578 ] [Correction]
Natures, axes et équation réduite de la conique d’équation
2x2+3xy +2y2−4x−3y=0
Exercice 26 [ 02545 ] [Correction]
Allure de la courbe d’équation cartésienne
y2−(3x2+2x+1) =0
Lieu des points Md’affixe ztels que les points d’affixes z,z2et z5soit alignés ?
Problèmes géométriques
Exercice 27 [ 01312 ] [Correction]
Soient Aun point et Dune droite du plan tels que A<D.
(a) Déterminer le lieu des foyers des paraboles admettant Dcomme directrice et passant
par A.
(b) Quel est l’ensemble des sommets de ces paraboles ?
Exercice 28 [ 02928 ] [Correction]
Soient Hune hyperbole, Det D0ses asymptotes sécantes en Oet Mun point sur H.
On note A(resp. A0) l’intersection de la tangente en MàHsur D(resp. D0).
Montrer que l’aire du triangle OAA0est indépendante de M.
Exercice 29 [ 02931 ] [Correction]
Soit rdans R∗
+. Dans le plan euclidien P, soient Aet A0deux points tels que
−−→
AA0 =3r
On considère aussi C(resp. C0) le cercle de centre A(resp. A0) et de rayon r(resp. 2r).
Décrire
M∈P|d(M,C)=d(M,C0)
Exercice 30 [ 03814 ] [Correction]
Soient Cet Dun cercle et une droite disjoints. Déterminer l’ensemble des centres des
cercles tangents à la fois à Cet D.
Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
Exercice 31 [ 02569 ] [Correction]
(a) Tracer Pdéfinie par O+t
~
i+at2~ javec a>0 et préciser son axe.
(b) Déterminer tangente et normale à Pau point M0de paramètre t0.
(c) Factoriser
P(X)=X3−(t2
1+t2 2+t1t2)X+(t1t2 2+t2 1t2)
en produit de polynômes de degré 1.
(d) Montrer que les normales en trois points de Psont concourantes si, et seulement si,
le centre de gravité du triangle formé par ses points est sur l’axe de P.
Exercice 32 [ 01311 ] [Correction]
Soit Cun cercle de centre Fet de rayon 2a.
(a) Soit F0un point à l’intérieur du cercle C.
Quel est le lieu des points Mcentre des cercles passant par F0et tangent à C?
(b) Même question pour F0extérieur à C.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Corrections 4
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(a) La seule conique possible est celle d’excentricité : e=MF
d(M,D).
(b) Si MF <d(M,D)onaaffaire à une ellipse
Si MF =d(M,D)onaaffaire à une parabole
Sinon on a affaire à une hyperbole.
Exercice 2 : [énoncé]
Soit Dla droite (S S 0) et ∆,∆0les droites orthogonales à Den S,S0.
Soit Cle cercle de diamètre [S;S0]. Appelons Oson centre.
Soit Mun point non situé sur les 3 droites précédentes ni sur le cercle proposé.
Soit une conique solution du problème posé.
Dans le cas où le point Mse situe entre les droites ∆et ∆0, cette conique est une ellipse de
centre Oet donc d’équation x2
a2+y2 b2=1 (avec a,b>0) dans le repère ce centre Oet dont
(S S 0) est l’axe des abscisses.
Comme cette ellipse passe par Set Mon a a=OS et bdéterminé de manière unique.
Inversement une telle ellipse est solution.
Dans le cas où le point Mse situe d’un même côté par rapport à ∆et ∆0, cette conique est
une hyperbole et la résolution est identique.
Exercice 3 : [énoncé]
Un tel foyer doit se trouver à la distance d(M,D) du point Met donc situé sur le cercle C
correspondant privé du projeté de Msur D. La réciproque est immédiate.
Exercice 4 : [énoncé]
Notons D0et D00 les droites parallèles à Dsituées à la distance dde D.
Pour tout point Mcompris entre Det D0on a d(M,D0)=d−d(M,D).
L’égalité AM +d(M,D)=dconduit alors à AM =d(M,D0) ce qui nous amène à
considérer la portion de parabole de foyer Ade directrice D0comprise entre Det D0.
Pour tout point Mcompris entre Det D00 un même raisonnement nous amène aussi à
considérer la portion de parabole de foyer Ade directrice D00 comprise entre Det D00.
Pour tout autre point Mon a d(M,D)>det ce point ne peut être solution.
L’ensemble solution est la réunion des deux portions de paraboles précédentes.
Exercice 5 : [énoncé]
L’équation réduite de Γest y2=2px dans le repère d’origine Ssommet de Γ.
Soit M(x0,y0)∈Γ.
On a y2
0=2px0et la tangente Ten Ma pour équation yy0=p(x+x0)i.e.
−px +y0y=px0.
Soit H
x
yle projeté orthogonal de F
p/2
0sur T. On a −−→
FH 
x−p/2
y.
(−px +y0y=px0(1)
y0x+py =py0/2(2) y0(2) −p(1) donne x=0 et y=y0
2donc Happartient à la
tangente à Γen son sommet et la décrit intégralement.
Exercice 6 : [énoncé]
Si le point Pn’appartient pas à la droite, on obtient la parabole de foyer Pet de directrice
D.
Si le point Pappartient à la droite, on obtient la perpendiculaire à Dpassant par P.
Exercice 7 : [énoncé]
O=m[A;A0] est le centre de l’ellipse. On intersecte la droite orthogonale à (AA0) passant
par Oavec le cercle de centre Fet de rayon a. Les points obtenus sont Bet B0.
Exercice 8 : [énoncé]
On introduit un repère orthonormé du plan dans lequel Ea pour équation réduite
x2
a2+y2 b2=1
avec A(a,0) et A0(−a,0).
Pour M(x0,y0)∈ E avec y0,0, l’équation de la tangente à Een Mest par dédoublement
x0x
a2+y0y b2=1
On détermine alors aisément les coordonnées des points Pet P0et l’on obtient
−−→
AP.−−−→ A0P0=1−x0
ab2 y01+x0 ab2 y0
=
1−x2
0
a2
b4
y2
0
=b2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Corrections 5
Exercice 9 : [énoncé]
O=m[A;A0] est le centre de l’hyperbole. Les asymptotes passent par O.
On a a=OA et c=OF. Ceci permet de déterminer b=√c2−a2comme côté d’un
triangle rectangle d’hypoténuse c. On peut construire celui-ci en considérant le cercle de
centre Opassant par Fet les points d’intersection de celui-ci avec une des tangentes aux
sommets de notre hyperbole. Les droites passant par Oet l’un des deux points définis
ci-dessus correspondent aux asymptotes voulues.
Exercice 10 : [énoncé]
Avec les notations standards, les asymptotes sont les droites d’équation y=b
axet
y=−b
ax.
Elles sont orthogonales si, et seulement si, a2=b2.
Cela implique c2=2a2puis e=√2. Réciproque immédiate.
Exercice 11 : [énoncé]
(a) ρ=1
1+sin θ=1 1+cos(θ−π/2) . Il s’agit d’une parabole(e=1) d’axe focal
vertical(α=π/2), son sommet est le point de coordonnée polaires (1/2, π/2).
(b) ρ=1
2+cos θ=1/2
1+1
2cos θ. Il s’agit d’une ellipse(e=1/2) d’axe focal horizontal(α=0).
Ses sommets sont obtenus pour θ=0 et θ=π.
(c) ρ=2
1+2 cos θ. Il s’agit d’une hyperbole(e=2) d’axe focal horizontal(α=0).
Ses sommets sont obtenus pour θ=0 et θ=π.
(d) ρ=√2
1+cos(θ−π/4) . Il s’agit d’une parabole(e=1) d’axe focal d’équation θ=π/4, son
sommet est le point de coordonnées polaire 1/√2, π/4.
Exercice 12 : [énoncé]
(a) La tangente a pour équation polaire
ρ=p
cos(θ−θ0)+ecos θ
(b) La directrice a pour équation polaire
ρ=p
ecos θ
Pour θ=θ0+π/2, on obtient le point d’intersection de la tangente et de la directrice
et il en découle la propriété voulue.
Exercice 13 : [énoncé]
Pour z∈U\nj,j2o, on peut écrire z=eiθ, et on vérifie
f(z)=1
1+eiθ+e2iθ=e−iθ
1+2 cos θ
Les f(z) parcourent donc la courbe d’équation polaire
r=1
1+2 cos(−θ)
soit encore
r=1
1+2 cos(θ)
Il s’agit d’une hyperbole de foyer O, d’excentricité 2 et d’axe focal (Ox).
Exercice 14 : [énoncé]
(a) On parvient à l’équation réduite
(x−2)2
62+(y−3)2
(2 √5)2=1
C’est une ellipse.
Centre Ω(2,3), axe focal (Ω,x).
a=6,b=2√5,c=√a2−b2=4,e=c/a=2/3.
Sommets A(8; 3), A0(−4,3), B(2,3+2√5) et B0(2,3−2√5).
Foyers F(6,3) et F0(−2,3)..
Directrices D:x=2−9,D0:x=2+9.
(b) On parvient à l’équation réduite
(x−2)2
32−(y+3)2 42=1
C’est une hyperbole.
Centre Ω(2,−3), axe focal (Ω,x).
a=3,b=4,c=√a2+b2=5,e=5/3.
Sommets A(5,−3) et A0(−1,−3).
Foyers F(7,−3) et F0(−3,3).
Directrices D:x=2+9
5,D0:x=2−9 5.
Exercice 15 : [énoncé]
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD