Rappels sur la trigonométrie

Lycée A. Argouges - Grenoble
BTS GO
Année 2008-2010
Rappels sur la trigonométrie
I. Propriétés et valeurs remarquables
1. Propriétés
Propriété 1 :
Par définition, pour tout k ∈ ℤ ,   2 k  étant une autre mesure de l'angle de vecteur  i , 
ON  ,
on a
{
cos   2 k   = cos  , k ∈ ℤ
.
sin    2 k  =sin 
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodique de période 2  .
Propriété 2 :
Soit  et  deux nombres réels.
2
.

2
La fonction t  sin   t    est périodique de période
.

La fonction t  cos   t   est périodique de période
Propriété 3 :
Pour tout réel x, on a −1 cos x 1 et −1 sin x 1 .
En utilisant le croquis 1, nous pouvons obtenir :
Propriété 4 :
➢
Par symétrie par rapport à (OI), on a
➢
Par symétrie par rapport à (OJ), on a
➢
Par symétrie par rapport à O, on a
= cos x
{sincos−x−x=−sin
x
− x  =−cos x
{sincos−
x  =sin x
.
 x  =−cos x
{sincos
x  =−sin x
{
.
.
2 
cos  − x =sin x
➢
Par symétrie par rapport à (OB), on a
.

sin
− x = cos x
2

2. Angles remarquables
À l'aide du croquis 2, nous pouvons remarquer les valeurs particulières des fonctions cosinus et sinus
pour certaines mesures d'angles.
M ∈C
I
 =  i , 
ON 
0
cos 
1
sin 
0
A
B
C
J
I'

6
3
2
1
2

4
2
2
2
2

3
1
2
3
2

2

0
–1
1
0
Grâce aux formules de symétrie vue précédemment, on peut ainsi déterminer précisément beaucoup
de valeurs des fonctions cosinus et sinus.
Page 1 / 3
Lycée A. Argouges - Grenoble
BTS GO
Année 2008-2010
II. Résolution d'équations
1. Résolution de sin x =a
Pour tout x ∈ ℝ , −1 sin x  1. Donc :
Si a ∉ [−1,1 ] , l'équation sin x =a n'a pas de solution.
[
Si a ∈ [−1,1 ] , on constate qu'il existe un unique  ∈ −
]
 
,
tel que sin  =a. Donc tous les nombres de
2 2
la forme  2 k   k ∈ ℤ  sont solutions.
De plus, on sait que sin  −  =sin  . Donc sin  −  =a
Donc tous les nombres de la forme  −  2 k   k ∈ ℤ  sont solutions.
Conclusion :
[
]
 
,
tel que sin  =a .
2 2
Ainsi les solutions de l'équation sont tous les nombres s'écrivant sous la forme x = 2 k  ou
x = −  2 k   k ∈ ℤ  .
Pour résoudre l'équation sin x =a avec a ∈ [−1,1 ] , on cherche  ∈ −
Exemples :



 3
⇔ x =  2   ou x = − =
2 
4
4
4
4
1


7
 2 
 sin x =− ⇔ x =−  2   ou x =− − =
2
6
6
6
 sin x =sin
 
2. Résolution de cos x = a
Pour tout x ∈ ℝ , −1 cos x 1. Donc :
Si a ∉ [−1,1 ] , l'équation cos x =a n'a pas de solution.
Si a ∈ [−1,1 ] , on constate qu'il existe un unique  ∈ [ 0 ,  ] tel que cos  =a . Donc tous les nombres de la
forme  2 k   k ∈ ℤ  sont solutions.
De plus, on sait que cos −  = cos  . Donc cos −  = a
Donc tous les nombres de la forme − 2 k   k ∈ ℤ  sont solutions.
Conclusion :
Pour résoudre l'équation cos x =a avec a ∈ [−1,1 ] , on cherche  ∈ [ 0 ,  ] tel que cos x =a . Ainsi
les solutions de l'équation sont tous les nombres s'écrivant sous la forme x = 2 k  ou x =− 2 k 
 k ∈ ℤ.
Exemples :
 cos x =cos
 cos x =−
 3  ⇔ x = 3  2  ou x =− 3  2 
 2 ⇔ x = 3   2   ou x =− 3   2 
2
4
4
III. Résolution d'inéquations
1. Résolution de sin x a ou sin x a
Si a1 , l'équation sin x a n'a aucune solution et l'équation sin x a admet ℝ comme ensemble de solution.
 
Si a ∈[ – 1; 1 ] , la résolution de l'équation sin x =a nous donne deux solutions 1 ∈ − ;
et
2 2
 3
2 ∈ ;
, chacune définie à 2  prés.
2 2
[
[
]
Conclusion :
sin x a ⇔ –

3
2  x1 2  et 2 2 x
2 
2
2
sin x a ⇔  1 2  x 2 2 
Page 2 / 3
]
Lycée A. Argouges - Grenoble
BTS GO
Année 2008-2010
N.B. : En traçant un cercle trigonométrique et en prenant la "bonne valeur" pour 2 , nous pouvons écrire :
sin x a ⇔  2 2 x 1  2 
sin x a ⇔ 1 2  x 2  2 
Exemples :
y
1
B

 sin x sin  ⇔   2   x  3   2  
4
4
4
a
A
O0
-1
1 x
-1
y
1
 sin x − 1 ⇔− 5   2   x −   2  
2
6
6
O0
-1
1 x
a
B
A
-1
2. Résolution de cos xa ou cos xa
Si a1 , l'équation cos x a n'a aucune solution et l'équation cos x a admet ℝ comme ensemble de solution.
Si a ∈[ – 1; 1 ] , la résolution de l'équation cos x =a nous donne deux solutions 1 ∈ [ 0 ; ] et 2 ∈[−; 0 ] ,
chacune définie à 2  prés.
Conclusion :
cos xa ⇔ 1  2x 2  et − 2  x2 2 
cos xa ⇔2 2 x 1 2
N.B. : En traçant un cercle trigonométrique et en prenant la "bonne valeur" pour 2 , nous pouvons écrire :
cos x a ⇔  1x 2 2 
cos x a ⇔  2  2 x 1 2 
Exemples :
y
1
 
 cos x cos  ⇔   2   x  5   2  
3
3
3
A
a
O0
-1
-1
1 x
B
y
1
A
 cos x −  2 ⇔ − 3   2    x  3   2 
2
4
4
a
O0
-1
B
-1
Page 3 / 3
1 x