Interpolation et bases de noyaux reproduisant dans les espaces de

Universit´e LYON I
cours de DEA
Interpolation et bases de noyaux
reproduisant dans les espaces de
Hardy
Emmanuel Fricain
—-2002-2003—

Table des mati`eres
Table des mati`eres 2
1 G´en´eralit´es sur les bases dans les espaces de Banach 5
1.1 Compl´etude et ind´ependance lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 BasesdeSchauder .......................... 8
1.3 Bases inconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 BasesdeRiesz............................. 22
2 Noyaux reproduisant dans les espaces Hp35
2.1 Quelques rappels sur les espaces de Hardy . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Formule de Cauchy et de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Suites de Blaschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3 S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4 Dual des espaces Hp, 16p < ∞............... 38
2.1.5 Noyaux reproduisants de Hp................. 43
2.1.6 Sous-espaces ferm´es de Hp, invariants par le backward-shift 45
2.2 Suites minimales et uniform´ement minimales de noyaux reprodui-
sants dans Hp............................. 47
2.3 Bases de noyaux reproduisants dans H2............... 51
2.3.1 Th´eor`eme de Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 Mesures de Carleson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 Crit`ere de Carleson-Shapiro-Shields . . . . . . . . . . . . . 59
3 Interpolation et bases inconditionnelles de noyaux reproduisant
dans Hp63
3.1 Approche op´eratorielle de D. Sarason . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1 Op´erateurs de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.2 Th´eor`eme de Nehari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.3 Op´erateurs mod`eles et calcul fonctionnel . . . . . . . . . . 69
3.1.4 Th´eor`eme du rel`evement du commutant . . . . . . . . . . 76
3.2 R´esolution du probl`eme de Nevanlinna-Pick . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Suites d’interpolation H∞....................... 80
3.4 Suites d’interpolation Hp....................... 82

4 TABLE DES MATI` ERES
3.4.1 D´efinition et premi`eres remarques . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.2 Caract´erisation des suites d’interpolation Hpet bases de
noyaux reproduisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Appendice 88
A Quelques compl´ements d’analyse fonctionnelle 89
A.1 Sur le th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.2 Quelques grands classiques d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . 91
A.3 Th´eor`eme de dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Bibliographie 93

Chapitre 1
G´en´eralit´es sur les bases dans les
espaces de Banach
Soient Xun espace de Banach complexe, s´eparable, de dimension infinie et
X= (xn)n>1une suite de vecteurs de X. Nous noterons par Lin(xn:n>1)
l’espace vectoriel (non ferm´e) engendr´e par les xn,n>1 et par Span(xn:n>1) la
fermeture de Lin(xn:n>1).
1.1 Compl´etude et ind´ependance lin´eaire
D´efinition 1.1.1 La suite X= (xn)n>1est dite :
1. compl`ete dans Xsi
Span(xn:n>1) = X;
2. finiment libre si toute sous-suite finie de Xest lin´eairement ind´ependante ;
3. ω-topologiquement libre si
(αn)n>1⊂C,X
n>1
αnxn= 0!=⇒αn= 0,∀n>1 ;
4. minimale si, pour tout n>1,xn6∈ Span(xk:k∈N\ {n});
5. uniform´ement minimale si
δ(X) := inf
n>1dist xn
kxnk,Span(xk:k∈N\ {n})>0.
δ(X)est appel´ee la constante d’uniforme minimalit´e de la suite X.
Enfin, si X∗= (x∗
n)n>1est une suite d’´el´ements du dual de X, on dit que X∗est
une suite biorthogonale associ´e `a Xsi
x∗
k(xn) = δn,k =1,si n=k;
0,sinon.