Formulaire de mathématiques - EPAI ICT

1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Arithmétique ...................................................................................................... 3
1.1.
Produits remarquables ............................................................................... 3
1.2.
Puissances et racines ................................................................................ 3
ème
1.3.
Equations du 2
degré ............................................................................ 4
1.4.
Inéquations ................................................................................................. 5
Les fonctions .................................................................................................... 6
2.1.
Les droites .................................................................................................. 6
2.2.
Les paraboles ............................................................................................. 7
2.3.
Les hyperboles ........................................................................................... 8
2.4.
La fonction racine ....................................................................................... 9
2.5.
La fonction valeur absolue ......................................................................... 9
Les suites ........................................................................................................ 10
3.1.
Les Suites arithmétiques (addition) .......................................................... 10
3.2.
Les Suites géométriques (multiplication) ................................................. 10
Les logarithmes .............................................................................................. 11
4.1.
Définition .................................................................................................. 11
4.2.
Propriétés ................................................................................................. 11
Les vecteurs .................................................................................................... 12
5.1.
Les vecteurs en 2 dimensions ................................................................. 12
5.2.
Les vecteurs en 3 dimensions ................................................................. 14
Le triangle ........................................................................................................ 15
6.1.
Notation .................................................................................................... 15
6.2.
Somme des angles .................................................................................. 15
6.3.
Aire d’un triangle ...................................................................................... 15
6.4.
Triangle rectangle .................................................................................... 16
6.5.
Triangle équilatéral................................................................................... 16
6.6.
Théorème de Thalès ................................................................................ 17
6.7.
Trigonométrie dans le triangle rectangle.................................................. 17
6.8.
Cercle trigonométrique ............................................................................. 17
6.9.
Théorème du sinus .................................................................................. 18
6.10. Théorème du cosinus............................................................................... 18
Polygones et parties de cercle ...................................................................... 19
Les volumes .................................................................................................... 21
8.1.
Le parallélépipède rectangle .................................................................... 21
8.2.
Le cube .................................................................................................... 21
8.3.
La pyramide ............................................................................................. 22
8.4.
Le cylindre de révolution .......................................................................... 23
8.5.
Le cône de révolution ............................................................................... 23
8.6.
Le tronc de pyramide ............................................................................... 23
8.7.
Le tronc de cône ...................................................................................... 24
8.8.
La sphère ................................................................................................. 24
2
1. Arithmétique
1.1. Produits remarquables
Identités remarquables
(produits remarquables)
( a b) 2
a2
2ab b 2
( a b) 2
a2
2ab b 2
a2
(a b)(a b)
b2
a b
3
a3
3a 2 b 3ab 2
b3
a3
b3
(a b)(a 2
ab b 2 )
a3
b3
(a b)(a 2
ab b 2 )
1.2. Puissances et racines
Exposants négatifs ou nuls :
a0
a
Définition des exposants rationnels
1
1
an
n
a
n
a1/ n
Règles de calcul des puissances pour a et b
réels et m et n entiers
n
aman
am
(a m ) n
a mn
(ab) n
a nb n
a
b
am
an
3
m
am/n
n
a
n
am
n
an
bn
am
1
n
a
n m
Propriétés de
n
(n est un entier
n
positif)
Règles de calcul des racines
a
n
a si
n
a est un nombre réel
n
an
a si a
n
an
a si a<0 et n est impair
n
an
a si a<0 et n est pair
n
ab
n
n
a
b
m n
an b
n
a
n
b
a
0
mn
a
1.3. Equations du 2ème degré
Ne pas oublier de faire l’ensemble de définition des équations ou de vérifier
la solution
Equations du 2
ax
2
ème
degré
b2
bx c 0
4ac
si
si
si
0 pas de solutions réelles
b
0 une solution x1
2a
0 deux solutions x1 , 2
factorisation : ax
Relations de Viète
Si
Equation du deuxième
degré particulière
Si x
ax 2
2
2
bx c
2a
a ( x x1 ) ( x x2 )
bx c 0 avec a 1 on a :
x1 x2
b
x1 x2 c
d , alors x
4
d.
b
1.4. Inéquations
Pour résoudre une inéquation on peut :
Ajouter ou soustraire la même grandeur aux deux membres
Multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre positif
Il faut changer le sens de l’inégalité si on multiplie ou divise les deux
membres par un nombre négatif
Notation des intervalles
] non compris [
[compris]
Inéquations
a
a
a
5
b
a c b c
b si c 0 ac bc
b si c 0 ac bc
2. Les fonctions
2.1. Les droites
f ( x) ax b ou y ax b
B
y2
(0 ;b)
y1
a : pente de la droite
Si A ( x2 ; y 2 ) et B ( x1 ; y1 ) sont deux
y 2 y1
points de la droite : a
x 2 x1
A
x1
Point sur axe des x => y = 0
b : ordonnée à l’origine c'est-à-dire la droite passe par le point (0 ; b)
Deux droites
o
(d1 ) // (d 2 ) si a1
a2 (= même pente)
o
(d1 ) perpendiculaire à (d 2 ) :
6
a1 a2
1
x2
2.2. Les paraboles
f ( x) ax2
ax2
bx c ou y
bx c
Signe de a :
Si a>0

Si a<0

Coordonnées du sommet
Si f ( x)
a ( x h) 2
b
2a
xs
ys
f(
b
)
2a
k le sommet a comme coordonnées S (h; k )
b
2a
2. résoudre
3. x 0
1.
xs
h
ys
f ( xs )
y 0
2
2
3
1
7
k
2.3. Les hyperboles
f ( x)
ax b
cx d
ou
y
ax b
cx d
Ensemble de définition
Df
d
IR \
c
Point sur l’axe des x résoudre l’équation
y
0
d
c
Asymptote verticale
x
Point sur l’axe des y
y
Asymptote horizontale
y
b
d
a
c
x
d
c
y
8
a
c
2.4. La fonction racine
f ( x)
x
f (x) n’existe que si x
0.
Ensemble de définition : D f
IR
2.5. La fonction valeur absolue
x si x est positif
x si est négatif
Si f x
0 (au-dessus de l’axe des x)
Rappel :
x
f ( x)
f ( x)
f x
f ( x)
Si
les deux graphes sont confondus
0 (au-dessous de l’axe des x)
f ( x) on effectuera une symétrie du graphe avec l’axe des x
f (x)
f (x)
9
3. Les suites
3.1.
Les Suites arithmétiques (addition)
an
1
an
r
a1 fixé
an
a1
(n 1)r
Sn
a1
a2
...an
a1 : premierterme r : raison
n
(a1
2
an )
3.2. Les Suites géométriques (multiplication)
an
an
Sn
1
a1 fixé
ra n
a1r n
a1
r : raison
1
a2
Somme infinie :
...an
Sn
1 rn
a1
1 r
a1
a2
10
...
a1
1
1 r
si
1 r 1
4. Les logarithmes
4.1. Définition
Le logarithme de base a de x est défini par
où
y
x ay
loga x
a 0 , x 0, a 1 .
4.2. Propriétés
loga 1 0
log a a x
loga a 1
log a x
log(ab)
log
a
b
log10 a
a
x
x
log a log b
log(a n ) n log a
log a log b
log a b
log a
ln a log e a
11
log b
log a
ln b
ln a
5. Les vecteurs
5.1. Les vecteurs en 2 dimensions
Coordonnées d’un vecteur défini par deux points
On considère les points
A( x A ; y A ) et B( xB ; yB ) : AB
xB
xA
yB
yA
Addition et soustraction de vecteurs
On considère les vecteurs

a
a1
a2

et b
b1
 
a b
:
b2
a1
b1
a1 b1
a2
b2
a2
b2
Norme d’un vecteur
La norme du vecteur

a
a1
a2
notée


|| a || est : || a ||
a1
2
a2
2
Coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes

Si a

|| a ||;
a1
a2
alors

a
a1
a2

|| a || cos

|| a || sin
Coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires
Si

a
a1
a2

|| a ||;
alors

|| a ||
12
a12
a22 et tan
a2
a1
Milieu d’un segment
I xI ; y I est le milieu du segment AB avec A( x A ; y A ) et B( xB ; yB ) alors :
x A xB y A y B
( xI ; y I )
;
2
2
Produit scalaire
On considère les vecteurs
a b

a
a1
a2
a1b1
b1
b
et
a2 b2
b2
a
b cos
a
: angle entre a et b


  

a b || a || projab || b || projb a
Propriétés du produit scalaire :
a (b c)
|| a ||
cos
Si a b
a b a c
a a
 
a b
 
a b
0
a
b
Centre de gravité
Le centre de gravité G de la pièce défini par les points :
B( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) est tel que :
G
xA
xB
3
xC y A
;
13
yB
3
yC
A( x A ; y A ) ,
5.2. Les vecteurs en 3 dimensions
On considère les points
AB
A( x A ; y A ; z A ) et B( xB ; yB ; z B ) :
xB
xA
yB
yA
zB
zA
Addition et soustraction de vecteurs 3D
On considère les vecteurs

a
a1
a2
a3

et b
b1
b2
 
a b
:
b3
a1
b1
a1 b1
a2
b2
a2
b2
a3
b3
a3
b3
Norme d’un vecteur 3D

La norme du vecteur a
a1
a2
notée


|| a || est : || a ||
a3
Produit scalaire 3D

a

a

b a1b1 a2b2 a3b3
  
b || a || || b || cos
14
a12
a22
a32
6. Le triangle
6.1. Notation
A
b
C
c
a
B
6.2. Somme des angles
‘
‘
‘
Quelque soit le triangle ABC on a :
Pour les angles intérieurs ,
180
et :
Et pour les angles extérieurs (voir dessin) ’, ’ et ’ :
'
'
6.3. Aire d’un triangle
aire
base hauteur
2
aire
a b sin
2
b c sin
2
hauteur
c a sin
2
base
Formule de Héron :
aire
s s a s b s c où s
périmètre
2
15
a b c
2
' 360
6.4. Triangle rectangle
c
a’
Soit ABC un triangle rectangle en C. On
désigne par H le pied de la hauteur issue
de C.
A
b’
H
B
a
H détermine deux longueurs sur le côté c :
b’ = AH et a’ = BH. Alors on a :
h
b
C
Théorème d’Euclide :
a2
a' c et b2
Théorème de la hauteur :
h2
a' b'
Théorème de Pythagore :
c2
a 2 b2
Aire :
Aire
c h
2
b' c
a b
2
6.5. Triangle équilatéral
Les trois côtés du triangle sont de même longueur : c, les trois
angles valent 60°.
Les quatre droites remarquables (hauteur, médiatrice, médiane
et bissectrice) sont confondues.
Elles ont pour longueur
Aire
h
3
c.
2
3 2
c
4
16
c
h
c
c
6.6. Théorème de Thalès
B
OA
OB
OA'
OB'
AA'
BB '
A
O
OA
OA'
AB
A' B'
A’
B’
6.7. Trigonométrie dans le triangle rectangle
cos
sin
tan
b
c
a
c
a
b
A
α
c
b
β
C
B
a
6.8. Cercle trigonométrique
1
tan
sin
cos
sin 2
cos2
tan
sin
1
-1
cos
17
-1
1
6.9. Théorème du sinus
A
a
sin
b
sin
c
sin
2r
b
c
B
a
C
6.10. Théorème du cosinus
A
b
a2
b2
c2
2bc cos
b2
a2
c2
2ac cos
2
2
2
2ab cos
c
a
b
C
c
a
B
18
7. Polygones et parties de cercle
Nom
Illustration
Définition
b’
Trapèze
Quadrilatère ayant
deux côtés
parallèles
h
b
hb
a
ha
b
a
1.
2.
3.
4.
5.
Quadrilatère ayant
quatre côtés égaux
d2
a
a
a
a
b
d
d
a
Carré
a
a
d
d
a
a
Aire
A
Divers
h(b b' )
2
Un trapèze isocèle
a ses côtés (non
parallèles) égaux
Ses diagonales sont perpendiculaires
(critère suffisant pour dire qu’un
parallélogramme est un losange).
A
P
P
+ =
Un triangle est un
demi
parallélogramme.
Son aire vaut donc
a ha
2(a b)
4a
+ =
180°
aha
.
2
aire
A
b * hb
A
d1 d 2
2
C’est aussi un
trapèze isocèle.
C’est aussi un
parallélogramme
Ce sont les bissectrices des angles
du losange.
d1
Rectangle
Le trapèze
rectangle a deux
angles droits consécutifs.
Il a deux paires de côtés parallèles
Ses côtés opposés sont égaux
Il a deux côtés parallèles égaux
Il a des angles opposés égaux
Ses diagonales se coupent en leur milieu
a
Losange
Périmètre
Un quadrilatère satisfaisant une des affirmations cidessous est un parallélogramme et les quatre autres
affirmations sont ses propriétés :
Parallélogramme
b
Propriétés
Ses diagonales sont de mêmes
Quadrilatère ayant longueurs.
quatre angles droits Ce critère est suffisant pour dire
b
qu’un parallélogramme est un
rectangle.
Quadrilatère ayant
quatre côtés égaux
perpendiculaires
Ses diagonales sont
perpendiculaires de même
longueur.
C’est le seul quadrilatère qui est à
la fois un losange et un rectangle
19
Diagonale
P
2(a b)
a2
d
A ab
C’est un
parallélogramme
Diagonale
2
P
4a
A
a2
b2
d
2
d
a
2 *a
d
2
2
Nom
Illustration
Cercle
(ou disque)
d
Longueur d’arc
r
Secteur
circulaire
Couronne
circulaire
Propriétés
Périmètre
Aire
(ou circonférence)
Ensemble des
points situés à
une distance r du
centre du cercle
r
r
Définition
*d
L
L
(du disque)
A
2 r
2 r
360
180
r
r
*d2
4
2
r
Angle au centre
en degré.
A
L
Divers
A
1
rL
2
(R 2
r2
360
r2)
Angle au centre
en degré.
Les deux cercles
n’ont pas
obligatoirement le
même centre
R
r
( L r sin )
2
r 2 sin
r2
360
2
L
Segment
circulaire
r
20
Angle au centre
en degré.
8. Les volumes
8.1. Le parallélépipède rectangle
Volume :
V
a b c
Diagonale :
d
a2
b2
c2
8.2. Le cube
Volume :
V
a3
Diagonale :
d
a 3
d
a
a
a
21
8.3. La pyramide
Volume :
V
1
Abase h
3
Abase
Aire d’une pyramide régulière
Alatérale
1
p l
2
p : périmètre de la base
l : apothème
22
8.4. Le cylindre de révolution
r2 h
Volume :
V
Aire latérale :
Alatérale
Aire totale :
Atotale
2
r h
2
r (h r )
8.5. Le cône de révolution
Volume :
V
1
3
r2 h
Aire latérale :
Alatérale
r l
Aire totale :
Atotale
r (l
r)
8.6. Le tronc de pyramide
Volume :
h
A1
3
V
A1 A2
l
Aire latérale (pyramide régulière):
Alatérale
p1
p2
2
A2
l
23
8.7. Le tronc de cône
h
V
Volume :
R2
3
l
Alatérale
Aire latérale :
r2
R r
R
r l
8.8. La sphère
Volume :
V
4
3
r3
Aire :
A 4
r2
Calotte sphérique
Volume :
V
1
3
h 2 3r h
Aire :
A
2
r h
Zone sphérique
1
6
Volume : V
V
Aire :
h(3a 2
1
6
h2
h 3 a2
A
2
3b 2 )
3 b2
r h
24
h2
25