EH - PROBABILITES

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Sommaire
Chapitre 1 - Ensembles : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Chapitre 2 - Ensembles dénombrables ou finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chapitre 3 - Espaces probabilisables - Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chapitre 4 - Espaces probabilisés finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
Chapitre 5 - Variables aléatoires .................................................................45
Chapitre 6 - Variables discrètes ..................................................................59
Chapitre 7 - Variables continues ................................................................. 73
Chapitre 8 - Lois de probabilité classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
Résumé sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

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Chapitre 1 - Ensembles : généralités
Ce premier chapitre n’est pas un exposé méthodique de la théorie des ensembles. On y rappelle sim-
plement quelques définitions et propriétés dont l’utilisation est importante en théorie des probabilités.
Les résultats sont donnés sans démonstrations, qui pourront être faites à titre d’exercices.
Un ensemble Ωétant donné une fois pour toute, on rappelle les différentes opérations dans l’ensemble
P(Ω) des parties de Ωet leurs propriétés élémentaires.
1- Opérations dans P(Ω)
Dans les dessins suivants, l’ensemble cherché est en grisé.
(1) Complémentaire de Adans Ω
Si Aest une partie de Ω, on note ACou ∁ΩA(et parfois A), l’ensemble des éléments xde Ωqui ne
sont pas dans A.
Ω
A
(2) Intersection
A∩B={x|x∈Aet x∈B}.
Ω
A
B

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Plus généralement si (Ai)i∈Iest une famille de parties de Ω,
\
i∈I
Ai={x|∀i∈I, x ∈Ai}.
(3) Réunion
A∪B={x|x∈Aou x∈B}.
(Il s’agit du « ou » inclusif).
Ω
A
B
Plus généralement si (Ai)i∈Iest une famille de parties de Ω,
[
i∈I
Ai={x|∃i∈I, x ∈Ai}.
(4) Différence
A\B={x|x∈Aet x /∈B}=A∩BC=A\(A∩B).
Ω
A
B

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(5) Différence symétrique
A∆B={x|x∈Aou x∈Bet x /∈(A∩B)}.
(Il s’ agit donc ici d’un « ou » exclusif).
On a également
A∆B= (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B).
Ω
A
B
Formulaire important concernant les trois premières opérations
1)
∅C= Ω ,ΩC=∅,(AC)C=A
(le passage au complémentaire est une opération involutive dans P(Ω)).
2) Formules de Morgan
\
i∈I
Ai!C
=[
i∈I
AC
i, [
i∈I
Ai!C
=\
i∈I
AC
i.
3) Les lois ∪et ∩sont des lois internes dans P(Ω) et ont les propriétés suivantes :
associativité :
(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C).
commutativité :
A∪B=B∪A , A ∩B=B∩A .