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A 2001 Math PC 1
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).
CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière PC
(Durée de l’épreuve :3 heures)
(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
NOTATIONS
Soit Vun espace vectoriel réel ; l’espace vectoriel des endomorphismes de l’espace vectoriel
Vest désigné par LÂVÃ. Soit fun endomorphisme de l’espace vectoriel V; l’endomorphisme noté
fk,oùkest un entier naturel désigne l’endomorphisme unité IdVsi l’entier kest nul,
l’endomorphisme obtenu en composant fk-fois avec lui-même si l’entier kest supérieur ou égal à
1:
f0=IdV;fk1=fkEf.
Soit El’espace vectoriel des polynômes réels ; étant donné un entier naturel n, soit En
l’espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n:
E=RÄXÅ;En=RnÄXÅ.
Soit Dl’endomorphisme de l’espace vectoriel E=RÄXÅqui, au polynôme Q,fait
correspondre le polynôme dérivé Q´. De même, soit Dnl’endomorphisme de l’espace vectoriel
En=RnÄXÅqui, au polynôme Q, fait correspondre le polynôme dérivé Q´.
L’objet du problème est de rechercher des réels Vpour lesquels l’endomorphisme VIdE+D
est égal au composé d’un endomorphisme gde l’espace vectoriel Eavec lui-même ; ainsi que
des réels Vpour lesquels l’endomorphisme VIdEn+Dnest égal au composé d’un
endomorphisme gde l’espace vectoriel Enavec lui-même.
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Les troisième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des première et
deuxième parties ainsi que des préliminaires.
PRÉLIMINAIRES
Noyaux itérés :
Soient Vun espace vectoriel réel et fun endomorphisme de V.
a. Démontrer que la suite des noyaux des endomorphismes fk,k=0,1,2,... est une suite de
sous-espaces vectoriels de Vemboitée croissante :
kerf0µkerf1µkerf2µ... µkerfkµkerfk1µ...
b. Démontrer que, s’il existe un entier ptel que les noyaux des endomorphismes fpet fp1
soient égaux kerfp=kerfp1, pour tout entier qsupérieur ou égal à p, les noyaux des
endomorphismes fqet fq1sont égaux kerfq=kerfq1; en déduire la propriété suivante :
pour tout entier ksupérieur ou égal à p,kerfk=kerfp.
En déduire que, si l’espace vectoriel Vest de dimension finie n, la suite des dimensions des
noyaux des endomorphismes fkest constante à partir d’un rang pinférieur ou égal à la dimension
nÂpnÃ.Enparticulierlesnoyauxkerfn,kerfn1sont égaux.
c. Démontrer que, si l’endomorphisme ud’un espace vectoriel Vde dimension finie n,esttel
qu’il existe un entier qsupérieur ou égal à 1 Âq1Ã, pour lequel l’endomorphisme uqest nul
Âuq=0Ã, l’endomorphisme unest nul Âun=0Ã.
L’endomorphisme uest dit nilpotent.
PREMIÈRE PARTIE
Le but de cette partie est d’établir des propriétés des endomorphismes grecherchés et de
donner un exemple.
I-1.Une caractérisation des sous-espaces vectoriels stables par g:
Soit Vun réel donné.
a. Étant donné un entier naturel nÂn5NÃ, soit pun entier naturel inférieur ou égal à l’entier
nÂ0pnÃ. Démontrer que, s’il existe un endomorphisme gde l’espace vectoriel
En=RnÄXÅ, tel que
g2=VIdEn+Dn,
l’endomorphisme gcommute avec Dn:
gEDn=DnEg.
En remarquant que le sous-espace vectoriel Ep=RpÄXÅestégalàker
ÂDnÃp1, démontrer que
Epest stable par l’endomorphisme gde En; soit gpla restriction de l’endomorphisme gàEp.
Démontrer la relation :
ÂgpÃ2=VIdEp+Dp.
b. Démontrer que, s’il existe un endomorphisme gde l’espace vectoriel E=RÄXÅ, tel que
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g2=VIdE+D,
l’endomorphisme gcommute avec D:
gED=DEg.
En déduire que, pour tout entier naturel n, le sous-espace vectoriel En=RnÄXÅest stable par
l’endomorphisme get que, si gnest la restriction de l’endomorphisme gàEn, il vient :
ÂgnÃ2=VIdEn+Dn.
c. Soit gun endomorphisme de l’espace des polynômes réels E=RÄXÅtel que :
g2=VIdE+D.
i/ Soit Fun sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel Ede dimension n+1stablepar
l’endomorphisme D. Démontrer que l’endomorphisme DF, restriction de DàF, est nilpotent.
En déduire que le sous-espace vectoriel FestégalàEn=RnÄXÅ. Déterminer ensuite tous les
sous-espaces vectoriels Gde E(de dimension finie ou non) stables par D.
ii/ Démontrer que, pour qu’un sous-espace vectoriel Gde Esoit stable par l’endomorphisme
g, il faut et il suffit qu’il soit stable par D.
I-2.Une application immédiate :le cas V<0:
a. À quelle condition nécessaire sur le réel Vexiste-t-il un endomorphisme gde l’espace
vectoriel E0=R0ÄXÅtel que
g2=VIdE0+D0?
b. Soit Vun réel strictement négatif ÂV<0Ã, déduire des résultats précédents les deux
propriétés :
. Il n’existe pas d’endomorphisme gde Etel que :
g2=VIdE+D.
. Il n’existe pas d’endomorphisme gde Entel que :
g2=VIdEn+Dn.
I-3.Une représentation matricielle simple de Dn:
Soient nun entier naturel supérieur ou égal à 1, Vun réel.
Matrice A: soit Ala matrice carrée d’ordre n+1 définie par les relations suivantes : ses
coefficients aij,i=0,1,...n,j=0,1,...,n, sont définis par les relations :
aii =V,aii 1=1, aij =0si jiou si ji+1.
C’est-à-dire :
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A=
V1 0 ... 0
0V1 ... 0
00V... 0
... ... ... ... ...
000...V
.
a. Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel Vde dimension finie n+1 tel que
l’endomorphisme fn1soit nul sans que l’endomorphisme fnle soit :
fn1=0, fn0.
Démontrer qu’il existe un vecteur yde l’espace vectoriel Vtel que la famille
B=fnÂyÃ,fn1ÂyÃ,..., ysoit libre. Quelle est la matrice associée à l’endomorphisme fdans la
base B?
b. En déduire qu’il existe une base Bnde l’espace vectoriel En=RnÄXÅpour laquelle la
matrice associée à l’endomorphisme Dnest la matrice A0. Que vaut la matrice associée à
l’application VIdEn+Dndans cette base Bn?
I-4.Un exemple :
Dans cette question l’entier nestégalà2.
a. Démontrer que les seuls endomorphismes hde E2qui commutent avec l’endomorphisme
D2sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en D2:
h=aId
E2+bD 2+cÂD2Ã2.
a,b,csont trois réels.
b. En déduire qu’il existe des endomorphismes gde E2qui vérifient la relation suivante :
g2=VIdE2+D2.
Déterminer les matrices carrées Gd’ordre 3 qui vérifient la relation suivante :
G2=A1.
DEUXIÈME PARTIE
L’objet de cette partie est d’étudier le cas où le réel Vest nul. Dans cette partie l’entier nest
supposé donné supérieur ou égal à 1.
II-1.Existence d’un endomorphisme gtel que g2=Dn:
a. Montrer que, s’il existe un endomorphisme gde l’espace vectoriel En=RnÄXÅtel que
g2=Dn, alors l’endomorphisme gest nilpotent et le noyau de l’endomorphisme g2a une
dimension au moins égale à 2 Âdim kerg22Ã.
b. En déduire qu’il n’existe pas d’endomorphisme gde l’espace vectoriel En=RnÄXÅtel que
g2=Dn.
c. En déduire qu’il n’existe pas d’endomorphisme gde l’espace vectoriel E=RÄXÅtel que
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g2=D.
II-2.Existence d’un endomorphisme gtel que gk=Dm:
Soit mun entier supérieur ou égal à 1 Âm1Ãet kun entier supérieur ou égal à 2 Âk2Ã.
Soit gun endomorphisme de l’espace vectoriel E=RÄXÅtel que la relation ci-dessous soit
vérifiée :
gk=Dm.
a. Démontrer que les deux endomorphismes Det gsont surjectifs.
b. Démontrer que les sous-espaces vectoriels de E,kergqont des dimensions finies lorsque
l’entier qest inférieur ou égal à l’entier kÂ0qkÃ.
c. Soit pun entier supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à kÂ2pkÃ. Soit 
l’application définie dans l’espace vectoriel kergpparlarelation:
:PÐgÂPÃ.
Démontrer que cette application est une application linéaire de kergpdans l’espace
vectoriel kergp1. Quel est le noyau de l’application ? Démontrer que l’application est
surjective ÂIm=Kergp1Ã.
En déduire une relation entre les dimensions des sous-espaces vectoriels kergpet kergp1.
Quelle est la dimension de l’espace vectoriel kergpen fonction de la dimension de l’espace
vectoriel kerg?
d. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les entiers ket mpour qu’il existe au
moins un endomorphisme gde l’espace vectoriel Etel que gk=Dm. Retrouver le résultat de la
question II-1.c.
TROISIÈME PARTIE
L’entier strictement positif nest supposé fixé. Dans cette partie, l’espace vectoriel
En=RnÄXÅest muni de la base Bndéfinie à la question I-3.b. La matrice associée à l’application
IEnest la matrice In1; la matrice associée à l’endomorphisme Dn, est désignée par le même
symbole Dn.
Étant donné un réel Vsupposé strictement positif ÂV>0Ã, soit Lnl’application de Rdans
l’espace des matrices carrées réelles d’ordre n+1, Mn1ÂRÃqui,auréeltassocie la matrice Ln
définie par la relation suivante :
LnÂtÃ=>
k1
n
Â?1Ãk1tk
kÂDnÃk.
La matrice ÂDnÃkest le produit k-fois avec elle-même de la matrice Dn.
III-1.Dérivéedel’application tÐÂLnÂtÃÃk:
a. Démontrer que, pour tout tréel, la matrice In1+tD
nest inversible et que son inverse,
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