remerciements

REMERCIEMENTS
Tout au long de ces ann´ ees j’ai pu b´ en´ eficier de l’attention, de l’aide ou du soutien de
nombreuses personnes aux quelles je tiens ` a exprimer ma sympathie.
J’adresse tout d’abord mes remerciements les plus sinc` eres ` a mon professeur E. Elqorachi.
qui m’a propos´ e ce sujet de th` ese. C’est grˆ ace ` a sa haute comp´ etence, ses qualit´ es humaines,
son grand int´ erˆ et pour la recherche et l’assistance qu’il n’a cess´ e de m’apporter, que ce travail
a vu le jour.
Je tiens ensuite ` a remercier les membres du jury pour leur partcipation.
Je remercie vivement M. Akkouchi, Professeur ` a l’universit´ e Cadi Ayyad qui m’a fait
l’honneur de pr´ esider le jury de cette th` ese, ainsi que pour sa collaboration scientifique.
Que les professeurs My. H. Lalaoui Rhali, S. Kabbaj et A. Redouani trouvent ici mes vifs
remerciements pour leur travail de rapporteur et pour l’honneur qu’ils me font en acceptant
de partciper au jury de cette th` ese.
Mes remerciements les plus sinc` eres s’adressent ´ egalement aux professeurs B. Bouikha-
lene qui m’a honor´ e en acceptant d’examiner ce travail.
Je pense aussi ` a tous les autres enseignants, que j’ai cˆ otoy´ e dans la ’tour des maths’, et
plus pr´ ecis` ement ceux par la qualit´ e de leur enseignement m’ont confirm´ e mon goˆ ut pour les
math´ ematiques et m’ont ensuite initi´ es ` a la recherche.
Enfin, j’exprime ma reconnaissance et mes remerciements aux membres de ma famille et
mes amis qui m’ont ´ enorm` ement soutenu durant ce travail.

R´ ESUM ´ E DE LA TH ` ESE
Dans cette th` ese, nous traitons deux aspects de la th´ eorie des ´ equations fonctionnelles :
r´ esolution et ´ etude de stabilit´ e, au sens de Hyers-Ulam, et, au sens de Hyers-Ulam-Rassias,
d’une classe d’´ equations fonctionnelles.
Pour la r´ esolution des ´ equations fonctionnelles, nous donnons toutes les solutions de l’´ equation
matricielle d’ordre 3 de d’Alembert et de Wilson dans le chapitre 1.
Concernant la stabilit´ e des ´ equations fonctionnelles, nous ´ etudions dans le chapitre 2, la sta-
bilit´ e, au sens de Hyers-Ulam, de l’´ equation fonctionnelle σ-quadratique, en adoptant une
nouvelle preuve, plus simple, puis nous caract´ erisons la mˆ eme ´ equation ayant des valeurs
dans un espace muni d’un produit scalaire.
Le chapitre 3 examine la stabilit´ e, au sens de Hyers-Ulam, en utilisant la m´ ethode du point
fixe de l’´ equation fonctionnelle K-quadratique et de l’´ equation fonctionnelle K-Jensen.
Dans le chapitre 4 nous ´ etablissons de nouveaux th´ eor` emes de stabilit´ e, au sens de Hyers-
Ulam, de l’´ equation fonctionnelle σ-quadratique et de l’´ equation fonctionnelle σ-Jensen, dans
les domaines non born´ es.
Le chapitre 5 se focalise sur l’´ etude de l’´ equation fonctionnelle g´ en´ eralis´ ee des quadratiques.
Nous d´ eterminons la solution de cette ´ equation fonctionnelle, et nous prouvons la stabilit´ e, au
sens de Hyers-Ulam-Rassias, dans les espaces de Banach et dans les domaines non born´ es, en
adoptant la m´ ethode directe et la m´ ethode du point fixe.
La stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-Drygas dans les semi-groupes moyennables, est le
r´ esultat principale du chapitre 6.
Le chapitre 7 est consacr´ e` a l’´ etude de la stabilit´ e, au sens de Hyers-Ulam, dans les espaces
β-Banach, des ´ equations fonctionnelles, de type σ-Jensen et ce, en nous basant sur la m´ ethode
directe.
Discipline : Math´ ematique et Application.
Mots-Cl´ es : R´ esolution des ´ equations fonctionnelles, Stabilit´ e au sens de Hyers-Ulam, Stabi-
lit´ e au sens de Hyers-Ulam-Rassias, Equation matricielle de d’Alembert, Equation matricielle
de Wilson, Equation σ-quadratique, Equation σ-Jensen, Equation σ-Drygas.
Laboratoire ou les travaux ont ´ et´ e r´ ealis´ es : Laboratoire d’Analyse Math´ ematiques et Ap-
plications, Facult´ e des Sciences, Universit´ e Ibn Zohr.
Principales publications auxquelles ce travail a donn´ e lieu :
1. E. Elqorachi, Y. Manar and Th. M. Rassias. Hyers-Ulam stability of the quadratic functio-
nal equation. Functional Equations in Mathematical Analysis, Springer optimization and its
applications, V 52 (2012), 97-105.

http://www.springerlink.com/content/n52444658585314g/
2. E. Elqorachi, Y. Manar and Th. M. Rassias. Hyers-Ulam stability of the quadratic and
Jensen functional equations on unbounded domains. J. Math. Sci. Advances and Application,
4(2) (2010), 287-303.
http://scientificadvances.co.in/index.php?cmd=abstract&j=1&su=23&artical=276
3. E. Elqorachi, Y. Manar and Th. M. Rassias. Hyers-Ulam stability of the quadratic func-
tional equation. Int. J. Nonlinear Anal. Appl.,1(2) (2010), 11-20.
http://journals.semnan.ac.ir/ijnaa/browse.php?mag\id=2\&slc lang=en\&sid=1
4. Y. Manar, E. Elqorachi and B. Bouikhalene. Fixed points and Hyers-Ulam-Rassias sta-
bility of the quadratic and Jensen functional equations. NonLinear. Func. Anal. appl.,15 (2)
(2010), 273-284.
http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search?q=an:pre06000662\&format=complete
5. Y. Manar, E. Elqorachi and Th. M. Rassias. Hyers-Ulam stability of the Jensen func-
tional equation in quasi-Banach spaces. Nonlinear Funct. Anal. Appl.,15 (4) (2010), 581-603.
http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:pre06000812\&format=complete
6. Y. Manar, E. Elqorachi and Th. M. Rassias. On the Hyers-Ulam stability of the quadratic
and Jensen functional equations on a restricted domain. Nonlinear Funct. Anal. Appl.,15 (4)
(2010), 647-655.
http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:pre06000817\&format=complete
7. B. Bouikhalene, E. Elqorachi and Y. Manar. Wilson’s functional equations for vector and
3×3matrix valued functions. Inequality Theory and Applications, Vol 6, 2010.
https://www.novapublishers.com/catalog/product info.php?products id=13293
8. E. Elqorachi and Y. Manar. Fixed points approach to the stability of the quadratic func-
tional equation. Nonlinear Analysis, Stability, Approximation, and Inequalities, Springer Op-
timization and Its Applications, V 68 (2012), 259-278.
9. E. Elqorachi and Y. Manar. Hyers-Ulam stability of the Drygas functional equation in
amenable semigroups. (submitted for publication).
10. E. Elqorachi and Y. Manar. On the paper by A. Najati and S.-M. Jung : the Hyers-Ulam
stability of approximately quadratic mapping on restricted domains. J. Nonlinear Anal. Appl.,
2012, (2012) Article ID jnaa-00127, 10 Pages doi :10.5899/2012/jnaa-00127.
http://www.ispacs.com/journals/jnaa/2012/jnaa-00127/

Table des mati` eres
Introduction G´ en´ erale 4
1 Equations fonctionnelles matricielles d’ordre 3 de d’Alembert et de Wilson 21
1.1 Introduction................................... 21
1.2 Equation fonctionnelle matricielle d’ordre 3 de d’Alembert . . . . . . . . . . 24
1.3 Equation fonctionnelle matricielle d’ordre 3 de Wilson . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Sur l’´ equation fonctionnelle trigonom´ etrique avec involution . . . . . . . . . 47
1.5 Applications................................... 50
2 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-quadratique au sens de Hyers-Ulam 54
2.1 Introduction................................... 54
2.2 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-quadratique au sens de Hyers-Ulam . . 55
2.3 Caract´ erisation de l’´ equation σ-quadratique ayant des valeurs dans un espace
muni d’un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Probl` emeouvert................................. 59
3 Points fixes et stabilit´ e des ´ equations fonctionnelles K-quadratique et K-Jensen
au sens de Hyers-Ulam-Rassias 60
3.1 Introduction................................... 60
3.2 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle K-quadratique au sens de Hyers-Ulam-
Rassias ..................................... 62
3.3 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle K-Jensen au sens de Hyers-Ulam-Rassias 67
3.4 Probl` emeouvert................................. 69
4 Stabilit´ e des ´ equations fonctionnelles σ-quadratique et σ-Jensen au sens de Hyers-
Ulam dans les domaines non born´ es 71
4.1 Introduction................................... 71
4.2 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-quadratique au sens de Hyers-Ulam
dans les domaines non born´ es.......................... 72
4.3 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-Jensen au sens de Hyers-Ulam dans les
domaines non born´ es .............................. 83
2

5 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle g´ en´ eralis´ ee des quadratiques au sens de Hyers-
Ulam-Rassias 90
5.1 Introduction................................... 90
5.2 Solution g´ en´ erale de l’´ equation fonctionnelle g´ en´ eralis´ ee des quadratiques . . 91
5.3 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle g´ en´ eralis´ ee des quadratiques au sens de
Hyers-Ulam-Rassias .............................. 93
5.4 Stabilit´ e de l’´ equation g´ en´ eralis´ ee des quadratiques en utilisant l’alternative
dupointfixe................................... 97
5.5 Stabilit´ e de l’´ equation g´ en´ eralis´ ee des quadratiques au sens de Hyers-Ulam
dans les domaines non born´ es.......................... 103
5.6 Probl` emeouvert................................. 109
6 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-Drygas au sens de Hyers-Ulam dans les
semi-groupes moyennables 110
6.1 Introduction................................... 110
6.2 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-Drygas au sens de Hyers-Ulam dans
les semi-groupes moyennables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Probl` emeouvert................................. 129
7 Stabilit´ e des ´ equations fonctionnelles de type σ-Jensen au sens de Hyers-Ulam-
Rassias dans les espaces quasi-Banach 130
7.1 Introduction................................... 130
7.2 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-Jensen (7.2) pour p < 1et p > 1au
sens de Hyers-Ulam-Rassias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3 Stabilit´ e de l’´ equation fonctionnelle σ-Jensen (7.3) pour p < 1et p > 1au
sens de Hyers-Ulam-Rassias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.4 Stabilit´ e des ´ equations fonctionnelles σ-Jensen au sens de Hyers-Ulam-Rassias
dans les espaces β-Banach ........................... 146
7.5 Probl` emeouvert................................. 153
Bibliographie 155
3