1 Orbite d`un satellite avec pression photonique 2 Période

UNIVERSITÉ D’ORLEANS
Année universitaire 2012-2013
1 Orbite d’un satellite avec pression photonique
Licence de physique, 3ème année
P ROJETS D ’ ANALYSE NUMÉRIQUE
PARCOURS P HYSIQUE ET A PPLICATIONS
Les projets d’analyse numérique couvrent l’ensemble du cours d’analyse numérique. Vous travaillerez par binôme, et chaque binôme choisira un sujet différent.
Le compte-rendu devra être rendu au secrétariat du département de physique
ou bien par envoi par email à l’adresse [email protected] (pour les sujets proposés par Thierry Dudok de Wit) ou [email protected] (pour
ceux proposés par Nathalie Huret). Votre compte-rendu (un par binôme) devra
comprendre :
– la formulation du problème
– une discussion sur la résolution du problème et sur la méthode utilisée
– les résultats obtenus et une discussion critique
– conclusion avec bibliographie éventuelle
– des graphes + le listing du programme utilisé
La discussion critique des résultats est essentielle. Il est inutile de produire une
dizaine de graphes sans les commenter. Si un résultat vous paraît anormal,
cherchez-en la cause.
La résolution se fera en Scilab.
Un satellite de masse m gravite autour de la Terre, de masse M. Son orbite se situe dans le plan équatorial. A la force gravitationnelle s’ajoutent d’autres forces,
dont la pression photonique due la lumière solaire. Cette pression est très faible,
mais doit être prise en compte dans le calcul d’orbite des satellites Galileo. Cette
pression donne en première approximation lieu à une force constante, qui est située dans le plan équatorial. Les équations du mouvement dans un repère GSE
(géocentrique avec l’axe x selon la ligne Soleil-Terre) s’écrivent

x
 m ẍ = −GmM + f
r3
 m ÿ = −GmM y
r3
$
2
2
où r = x + y , G est la constante de gravitation et f la force due à la pression photonique. Nous négligeons ici les autres forces, telles que l’attraction des
autres astres.
La pression photonique, même si elle est faible, affecte le mouvement des satellites. Elle est notamment prise en compte dans la calcul d’orbite des satellites
GPS.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de RungeKutta. Deux paramètres de ce programme doivent être le rapport ρ entre
forces photonique et gravitationnelle, et la durée du pas d’intégration.
3. Tracez la trajectoire (x en fonction de y) ainsi que l’hodographe (v x en fonction de v y ).
4. Trouvez pour ρ = 0 les conditions initiales nécessaires pour avoir une orbite circulaire, et décrivez quel effet la pression photonique a sur l’orbite
du satellite.
5. Peut-on définir une "pseudo-période" du mouvement ? L’allure de l’orbite
dépend-t-elle de façon simple de la valeur de f ? Que se passe-t-il si les
conditions initiales conduisent à une orbite très allongée ?
NB. Normalement ρ " 1, car la pression est de l’ordre de 10−5 N m −2 . Il existe
cependant des planètes pour lesquelles ρ est plus grand.
2 Période orbitale avec un pas variable
Un satellite de masse m gravite autour de la Terre (de masse M) sur une orbite
elliptique. L’objectif est de calculer sa période orbitale en intégrant ses équations
1
2
du mouvement avec la méthode de Runge-Kutta. Or, comme la vitesse orbitale
varie fortement au cours du temps, il est intéressant d’adapter le pas d’intégration au cours du temps, afin de réduire les calculs inutiles.
Comment adapter le pas ?
4. Modifiez le programme pour utiliser un pas de temps variable et tracez l’orbite dans le plan (x, y). Comparez cette orbite à celle obtenue avec un pas
fixe, ainsi que le nombre d’opérations de calcul requises dans les deux cas.
5. Déterminez la période orbitale du satellite.
Une stratégie simple pour choisir le pas d’intégration consiste à intégrer les
équations deux fois. Pour chaque temps t , on effectue d’abord un seul pas τa ,
ce qui donne la nouvelle solution x1 (t ). On effectue ensuite deux demi-pas
de valeur τa /2, ce qui conduit à la solution x2 (t ). Soit l’erreur de troncature
∆c = |x1 − x2 | et ∆i la valeur de l’erreur qu’on se donne a priori. Pour la méthode
de Runge-Kutta, on sait que ∆c ∝ τ5 . Le nouveau pas de temps τn sera alors relié
au pas actuel τa par la relation
τn = γτa
3. Trouvez les conditions initiales nécessaires pour avoir un périgée de 1.8 RT
et un apogée de 9RT .
avec
%
∆i
γ=
∆c
&1/5
Il faudra donc intégrer une troisième fois les équations en prenant le pas recommandé τn . Dans la pratique, il est préférable de placer des garde-fous, afin d’éviter que le pas de temps varie trop rapidement ou devienne trop grand. On préconise alors

γτn > δτa
 δτa si
γτn < τa /δ
τn = τa /δ si

γτa sinon
où δ > 1 est un paramètre de sécurité à fixer.
6. Comment le pas de temps τ varie-t-il avec la distance du satellite par rapport au centre de la Terre. Tracez cela sur un graphe.
3 Oscillateur de Duffing
La variation du flux magnétique dans un transformateur peut être approximée
par l’équation de Duffing,
φ̈(t ) + ω20 φ(t ) + kφ3 (t ) =
ω
E cos ωt
N
où E cos ωt est la tension appliquée au primaire, lequel comporte N tours, alors
que ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur et k est un paramètre lié à la
conception du transformateur. Le terme cubique kφ3 rend compte du phénomène d’hystérèse, qui joue un rôle important dans les transformateurs.
1. Montrez qu’en changeant de base de temps t → αt % on débouche sur une
équation plus simple
φ̈(t % ) + φ(t % ) + Aφ3 (t % ) = B cos ωt %
Le modèle
L’orbite du satellite se situe dans un plan, dans lequel les équations du mouvement s’écrivent

x
 m ẍ = −GmM
r3
 m ÿ = −GmM y
r3
$
2
2
où r = x + y et G est la constante de gravitation. Seule l’attraction gravitationnelle terrestre est prise en compte ici. On donne le rayon moyen de la Terre
RT = 6370 km, M = 5.97 · 1024 kg et m = 700 kg.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de RungeKutta, avec un pas fixe.
3
2. Résolvez numériquement cette équation par les méthodes d’Euler explicite
et de Runge-Kutta d’ordre 4. Choisissez comme valeurs ω = 100π rad/sec,
N = 600, ω20 = 83 rad2 sec−2 . Prenez pour commencer k = 0.
3. Tracez l’évolution temporelle du flux φ(t % ) pour différentes valeurs de E et
représentez sur le même graphe la solution analytique de l’équation différentielle.
4. Quel est le plus pas de temps possible qui garantisse une erreur relative sur
la valeur maximale de φ(t % ) inférieure à 1 % après 20 périodes ?
5. Comparez ces solutions à celles obtenues avec un terme non-linéaire nonnul, soit k = 0.14. Tracez à nouveau l’évolution temporelle du flux φ(t % ) pour
différentes valeurs de E et représentez sur le même graphe la solution analytique de l’équation différentielle obtenue avec k = 0.
6. Comparez les périodes de cet oscillateur avec k = 0 et k = 0.14.
4
4 Fréquences propres d’un tambour
5 Ondes solitaires dans un milieu dispersif
Si on frappe la membrane circulaire d’un tambour en son centre, celle-ci oscillera à des fréquences particulières, dites fréquences propres. Si u(r, t ) désigne
l’amplitude de la déformation de la membrane à une distance r du centre, alors,
en négligeant les amortissements
%
&
∂2 u v 2 ∂
∂u
=
r
∂t 2
r ∂r ∂r
L’équation qui décrit la vitesse u(x, t ) d’une onde dans un milieu non-linéaire,
faiblement dispersif et dissipatif s’écrit
où v est la vitesse des ondes transverses. Nous supposerons ici que le bord est
fixé à un cadre rigide de rayon r 0 , si bien que la déformation y reste nulle : u(r =
r 0 , t ) = 0 ∀t . Au centre, la condition de bord vaut ∂u(r = 0, t )/∂r = 0.
1. Déterminez la solutions analytique de cette équation, en prenant comme
Ansatz une solution séparable de la forme
u(r, t ) = β cos(2π f t ) g (r )
et en vous aidant de tables si nécessaire ; f est ici la fréquence d’oscillation. En raison de la condition de bord g (r = r 0 ) = 0 , la fréquence ne peut
prendre que des valeurs bien précises, qui sont les fréquences propres du
tambour. Les premiers modes propres sont représentés ci-dessous.
∂
∂3
∂2
∂
u(x, t ) + u u(x, t ) + β 3 u(x, t ) = η 2 u(x, t )
∂t
∂x
∂x
∂x
où le terme de droite décrit la dissipation (avec η ≥ 0). Cette équation porte le
nom d’équation de Korteweg-de Vries-Burgers (ou KdV-Burgers). Elle intervient
par exemple dans les fibres optiques mais permet aussi de modéliser la propagation d’un ralentissement sur une autoroute saturée.
On cherche une solution sous la forme d’une onde progressive de vitesse v
constante
u(x, t ) = u(ξ = x − v t )
Nous nous limiterons dès à présent au cas non dissipatif, avec η = 0. Prenez v =
1.
1. Montrez qu’après intégration, cette équation peut se mettre sous la forme
%
&
u2
d 2u
=c
β 2 − vu −
dξ
2
où la constante d’intégration c peut être mise à zéro (pourquoi ?). Seules les
solutions où u ≥ 0 ont un sens physique.
2. Intégrez cette équation par la méthode
d’ordre 4, en pre(
' de Runge-Kutta
=
0
.
nant différentes conditions initiales u ≥ 0, du
dξ
3. Il arrive parfois que des solutions finissent par diverger (surtout si u(0) "
1). Y’a-t-il une raison physique à cela ou bien la raison est-elle numérique ?
2. Tracez la fonction g (x) (elle existe déjà dans la bibliothèque Scilab) pour 0 ≤
x ≤ 16 et repérez approximativement la valeur de ses 5 premières racines.
3. Déterminez avec précision la valeur des 5 premières racines et déduisez-en
les fréquences propres d’un tambour de rayon r 0 = 40 cm, avec une vitesse
v = 522.5 [m/s].
4. Les différentes harmoniques sont-elles régulièrement espacées comme
c’est le cas avec la plupart des instruments à vent ou à cordes ? C’est-àdire, l’écart f k+1 − f k entre deux fréquences de résonance successives est-il
constant ? Quelles conséquences cela a-t-il sur notre perception du son ?
4. Tracez ces différentes solutions dans un même portrait de phase, avec du
dξ
en fonction de u. Quelle interprétation peut-on donner à ces différentes
orbites ?
5. Quelle influence le paramètre de dispersion β a-t-il sur ce graphe ?
'
(
6. Pour quelle(s) valeur(s) de u ≥ 0, du
dξ = 0 , u reste-t-il constant ?
6 Chaos dans un pendule double
Le système constitué de deux pendules rigides sans amortissement peut donner
lieu à un comportement très complexe, appelé chaos déterministe. Nous supposons ici que les deux pendules sont identiques, de même masse m et de même
5
6
longueur L. En coordonnées cartésiennes, nous avons alors
x1 = L sin θ1
y 1 = 2L − L cosθ1
4. Pour les conditions ci-dessus, tracez les portraits de phase (p 1 , q1 ) et
(p 2 , q2 ). En quoi ceux-ci nous renseignent-ils mieux sur la nature du mouvement ?
5. Déterminez la valeur critique de l’énergie à partir de laquelle il apparaît des
solutions chaotiques.
x2 = L sin θ1 + L sinθ2
y 2 = 2L − L cosθ1 − L cos θ2
dont les équations du mouvement peuvent être calculées directement à partir
de l’Hamiltonien
H=
1 p 12 + 2p 22 − 2p 1 p 2 cos(q1 − q2 )
+ mg L(3 − 2 cos q1 − cos q2 )
2mL 2
1 + sin2 (q1 − q2 )
où nous avons introduit les coordonnées généralisées qi = θi et les moments
généralisés p i = mv i . D’après les équations d’Hamilton, nous avons
ṗ i ≡
∂H
d pi
=−
dt
∂qi
et
q̇i ≡
d qi
∂H
=
dt
∂p i
y
x
θ1
l
1
m1
θ2
l
2
7 Quel est le volume d’une hypersphère en 6 dimensions ?
Le calcul d’intégrales multiples est une tâche ardue, surtout si le domaine d’intégration ne possède pas de symétries. La méthode de Monte-Carlo est une méthode stochastique qui est couramment utilisée pour estimer de telles intégrales.
Elle sert aussi à simuler des systèmes physiques dans lesquels intervient une
composante aléatoire, comme par exemple le mouvement brownien de molécules.
En D = 2 dimensions, le "volume" d’une sphère de rayon R vaut VD=2 = πR 2 .
En D = 3 dimensions, le volume devient VD=3 = 34 πR 3 . En D > 3 dimensions, on
s’attend à obtenir un résultat de la forme
VD = γR D
où γ est une constante à déterminer. La méthode de Monte-Carlo consiste à tirer
au hasard N0 points tous situés à l’intérieur d’une région V0 de l’espace, dont le
volume est connu exactement et qui englobe le volume V1 à déterminer. Il est
important que ces points soient réparties aléatoirement et remplissent V0 de façon uniforme. Il suffit alors de dénombrer les points qui se trouvent à l’intérieur
de V1 pour avoir une estimation du volume de celui-ci, sachant que
N1
V1
= lim
V0 N0 →∞ N0
m2
où Nk est le nombre de points contenu dans Vk .
1. Intégrez ces équations à l’aide d’un schéma de Runge-Kutta, en prenant
m = 1 [kg], L = 1 [m] et g = 9.8 [m/s2 ]. Le paramètre à varier sera l’énergie
totale E = H . Les angles qi seront choisis dans l’intervalle [−π, +π].
2. Vérifiez d’abord que les solutions obtenues dans des cas particulier sont
correctes : par exemple en forçant dans les équations q1 = 0 ou encore q2 =
0.
3. Prenez maintenant comme condition initiale p 1 = 0. Tracez q1 (t ), q2 (t ),
p 1 (t ), et p 2 (t ) en fonction du temps pour les énergies E = 1, 5, 10, 15, 40, en
prenant pour chaque énergie plusieurs conditions initiales. Que peut-on
conclure sur la nature du mouvement en fonction de E ?
7
1. Commencez par déterminer par la méthode de Monte-Carlo l’aire d’un
disque de rayon R, centré en l’origine. Définissez d’abord la condition que
doit satisfaire un point de coordonnées (x, y) pour être situé à l’intérieur
de ce disque. Définissez ensuite une forme géométrique A simple qui enferme totalement le disque. Utilisez le générateur de nombres aléatoires de
Scilab pour générer un grand nombre de points. Ces points doivent tous se
situer à l’intérieur de A et remplir celui-ci de façon uniforme. Estimez l’aire
par la méthode de Monte-Carlo.
2. Vérifiez la solution en la comparant avec la solution analytique. Faites des
essais avec diverses valeurs de R.
8
3. Combien de points N faut-il prendre pour que l’incertitude relative sur
l’aire soit inférieure à 1% ?
6. Quelle énergie faut-il pour qu’un électron puisse s’échapper du champ magnétique terrestre ?
4. Comment l’incertitude relative est-elle reliée à la valeur de N ?
5. Pour un N donné, l’incertitude relative se dégrade-t-elle avec la dimension
D?
6. Modifiez votre programme pour qu’il calcule le volume d’une hypersphère
de rayon R en D dimensions, pour un D allant de 2 à 6. Déterminez pour
chaque dimension la valeur de γ ci-dessus avec la plus grande précision
possible. Dans la mesure du possible, exprimez-la sous forme de fraction
rationnelle, qui soit multiple de π. Donnez par exemple 34 π au lieu de
4.18879. . .
8 Trajectoire d’électrons dans le champ magnétique terrestre
Le champ magnétique terrestre peut être assimilé à celui d’un dipôle situé au
centre de la Terre, et aligné avec l’axe nord-sud. On cherche à connaître ici la
trajectoire d’électrons de haute énergie, issus de la magnétosphère terrestre (la
cavité magnétique qui entoure la Terre), qui sont responsables des aurores boréales. Le champ magnétique dipolaire s’écrit
"=
B
" r − r 2m
"
µ0 3("
r · m)"
4π
r5
" désigne le moment magnétique du dipôle et "
où m
r le vecteur qui joint le centre
du dipôle au point d’observation. En France, |B | = 46600 nano Tesla au niveau
de la mer (r = 6380 km).
1. Trouvez la valeur de m z .
2. Ecrivez les équations du mouvement d’un électron dans le champ dipolaire, en l’absence de champ électrique (ce qui n’est pas tout à fait réaliste).
3. Rédigez un programme qui résout numériquement ces équations par la
méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Calculez l’énergie de l’électron et vérifiez qu’elle est conservée.
4. Représentez les trajectoires de particules dont les conditions initiales sont
x0 = z0 = 0, y 0 = 2 · 107 m, v x0 = 0, v y0 = −V , pour différentes valeurs de
V > 0 correspondant à des énergies cinétiques qui augmentent par ordre
croissant E = 1, 10, 100 keV, puis E = 1, 10, 100, 1000 MeV. Le système de coordonnées est centré sur la Terre.
5. Qu’arrive-t-il lorsque la vitesse initiale de l’électron est dirigée parallèlement à l’équateur ?
9
9 Mouvement des électrons dans un atome d’Helium
Le mouvement des électrons dans un atome d’Helium s’apparente à celui de
trois corps, avec une grosse masse (le noyau) et deux masses légères (les électrons). A cela s’ajoute cependant la répulsion électrostatique des électrons. Si on
néglige le mouvement du noyau, alors celui des électrons peut être décrit par les
équations différentielles
r1 r1 − r2
a1 = −2 3 + 3
r1
r 12
r2 r2 − r1
a2 = −2 3 + 3
r2
r 12
où ri est la position de l’électron par rapport au noyau immobile et r 12 est la
distance entre électrons. Les charges et les masses ont été normalisées à un.
Dans cet exemple, on observe des alternances entre des mouvements réguliers
et de mouvements où l’accélération des électrons change brusquement. Il est
alors souhaitable de faire varier le pas d’intégration δt selon le schéma suivant
– Calculez la position ri (t + δt ) obtenue après un pas de temps unique de δt
et après deux pas successifs de δt /2. Comparez l’énergie du système dans les
deux cas et calculez l’écart ∆E entre les deux valeurs.
– Si ∆E < 10−7 , doublez le pas de temps.
– Si ∆E > 10−5 , réduisez le pas de temps d’un facteur 2.
– Si 10−7 < ∆E < 10−5 , gardez le pas de temps actuel.
1. Intégrez ces équations avec un schéma de Runge-Kutta d’ordre 4, en implémentant le pas variable.
2. Prenez pour commencer un pas δt = 0.001 et les conditions initiales (en coordonnées cartésiennes) r1 = (2, 0), r2 = (−1, 0), v1 = (0, 0.95) et v2 = (0, −1).
Tracez les orbites des électrons.
3. Les conditions initiales (en coordonnées cartésiennes) r1 = (1.4, 0), r2 =
(−1, 0), v1 = (0, 0.86) et v2 = (0, −1) donnent lieu à des orbites imbriquées.
Dans certains cas, il peut arriver qu’un électron quitte carrément l’atome,
ce qui correspond à de l’autoionisation. Essayez d’observer cela en modifiant très légèrement les conditions initiales.
4. L’atome d’Helium peut donner lieu à des mouvements très complexes.
Observez par exemple les orbites avec les conditions initiales r1 = (3, 0),
r2 = (1, 0), v1 = (0, 0.4) et v2 = (0, −1).
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