1 Orbite d`un satellite avec pression photonique 2 Période

UNIVERSITÉ D’ORLEANS Année universitaire 2012-2013
Licence de physique, 3ème année
PROJETS D’ANALYSE NUMÉRIQUE
PARCOURS PHYSIQUE ET APPLICATIONS
Les projets d’analyse numérique couvrent l’ensemble du cours d’analyse numé-
rique. Vous travaillerez par binôme, et chaque binôme choisira un sujet différent.
Le compte-rendu devra être rendu au secrétariat du département de physique
ou bien par envoi par email à l’adresse [email protected] (pour les su-
jets proposés par Thierry Dudok de Wit) ou [email protected] (pour
ceux proposés par Nathalie Huret). Votre compte-rendu (un par binôme) devra
comprendre :
–laformulationduproblème
– une discussion sur la résolution du problème et sur la méthodeutilisée
– les résultats obtenus et une discussion critique
–conclusionavecbibliographieéventuelle
–desgraphes+lelistingduprogrammeutilisé
La discussion critique des résultats est essentielle. Il est inutile de produire une
dizaine de graphes sans les commenter. Si un résultat vous paraît anormal,
cherchez-en la cause.
La résolution se fera en Scilab.
1
1Orbited’unsatelliteavecpressionphotonique
Un satellite de masse mgravite autour de la Terre, de masse M. Son orbite se si-
tue dans le plan équatorial. A la force gravitationnelle s’ajoutent d’autres forces,
dont la pression photonique due la lumière solaire. Cette pression est très faible,
mais doit être prise en compte dans le calcul d’orbite des satellites Galileo. Cette
pression donne en première approximation lieu à une force constante, qui est si-
tuée dans le plan équatorial. Les équations du mouvement dansunrepèreGSE
(géocentrique avec l’axe xselon la ligne Soleil-Terre) s’écrivent
m¨ x=−GmM x
r3+f
m¨ y=−GmM y
r3
où r=$x2+y2,Gest la constante de gravitation et fla force due à la pres-
sion photonique. Nous négligeons ici les autres forces, telles que l’attraction des
autres astres.
La pression photonique, même si elle est faible, affecte le mouvement des satel-
lites. Elle est notamment prise en compte dans la calcul d’orbite des satellites
GPS.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de Runge-
Kutta. Deux paramètres de ce programme doivent être le rapport ρentre
forces photonique et gravitationnelle, et la durée du pas d’intégration.
3. Tracez la trajectoire (xen fonction de y)ainsiquel’hodographe(vxen fonc-
tion de vy).
4. Trouvez pour ρ=0lesconditionsinitialesnécessairespouravoiruneor-
bite circulaire, et décrivez quel effet la pression photonique a sur l’orbite
du satellite.
5. Peut-on définir une "pseudo-période" du mouvement ? L’allure de l’orbite
dépend-t-elle de façon simple de la valeur de f?Quesepasse-t-ilsiles
conditions initiales conduisent à une orbite très allongée?
NB. Normalement ρ"1, car la pression est de l’ordre de 10−5Nm−2.Ilexiste
cependant des planètes pour lesquelles ρest plus grand.
2Périodeorbitaleavecunpasvariable
Un satellite de masse mgravite autour de la Terre (de masse M) sur une orbite
elliptique. L’objectif est de calculer sa période orbitale enintégrantseséquations
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du mouvement avec la méthode de Runge-Kutta. Or, comme la vitesse orbitale
varie fortement au cours du temps, il est intéressant d’adapter le pas d’intégra-
tion au cours du temps, afin de réduire les calculs inutiles.
Comment adapter le pas ?
Une stratégie simple pour choisir le pas d’intégration consiste à intégrer les
équations deux fois. Pour chaque temps t,oneffectued’abordunseulpasτa,
ce qui donne la nouvelle solution x1(t). On effectue ensuite deux demi-pas
de valeur τa/2, ce qui conduit à la solution x2(t). Soit l’erreur de troncature
∆c=|x1−x2|et ∆ila valeur de l’erreur qu’on se donne a priori. Pour la méthode
de Runge-Kutta, on sait que ∆c∝τ5.Lenouveaupasdetempsτnsera alors relié
au pas actuel τapar la relation
τn=γτaavec γ=%∆i
∆c&1/5
Il faudra donc intégrer une troisième fois les équations en prenant le pas recom-
mandé τn. Dans la pratique, il est préférable de placer des garde-fous,afind’évi-
ter que le pas de temps varie trop rapidement ou devienne trop grand. On pré-
conise alors
τn=
δτasi γτn>δτa
τa/δsi γτn<τa/δ
γτasinon
où δ>1estunparamètredesécuritéàfixer.
Le modèle
L’orbite du satellite se situe dans un plan, dans lequel les équations du mouve-
ment s’écrivent 
m¨ x=−GmM x
r3
m¨ y=−GmM y
r3
où r=$x2+y2et Gest la constante de gravitation. Seule l’attraction gravita-
tionnelle terrestre est prise en compte ici. On donne le rayon moyen de la Terre
RT=6370 km, M=5.97 ·1024 kg et m=700 kg.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de Runge-
Kutta, avec un pas fixe.
3
3. Trouvez les conditions initiales nécessaires pour avoir un périgée de 1.8 RT
et un apogée de 9RT.
4. Modifiez le programme pour utiliser un pas de temps variableettracezl’or-
bite dans le plan (x,y). Comparez cette orbite à celle obtenue avec un pas
fixe, ainsi que le nombre d’opérations de calcul requises danslesdeuxcas.
5. Déterminez la période orbitale du satellite.
6. Comment le pas de temps τvarie-t-il avec la distance du satellite par rap-
port au centre de la Terre. Tracez cela sur un graphe.
3OscillateurdeDuffing
La variation du flux magnétique dans un transformateur peut être approximée
par l’équation de Duffing,
¨
φ(t)+ω2
0φ(t)+kφ3(t)=ω
NEcosωt
où Ecosωtest la tension appliquée au primaire, lequel comporte Ntours, alors
que ω0est la pulsation propre de l’oscillateur et kest un paramètre lié à la
conception du transformateur. Le terme cubique kφ3rend compte du phéno-
mène d’hystérèse, qui joue un rôle important dans les transformateurs.
1. Montrez qu’en changeant de base de temps t→αt%on débouche sur une
équation plus simple
¨
φ(t%)+φ(t%)+Aφ3(t%)=Bcosωt%
2. Résolvez numériquement cette équation par les méthodes d’Euler explicite
et de Runge-Kutta d’ordre 4. Choisissez comme valeurs ω=100πrad/sec,
N=600, ω2
0=83 rad2sec−2.Prenezpourcommencerk=0.
3. Tracez l’évolution temporelle du flux φ(t%) pour différentes valeurs de Eet
représentez sur le même graphe la solution analytique de l’équation diffé-
rentielle.
4. Quel est le plus pas de temps possible qui garantisse une erreur relative sur
la valeur maximale de φ(t%) inférieure à 1 % après 20 périodes ?
5. Comparez ces solutions à celles obtenues avec un terme non-linéaire non-
nul, soit k=0.14. Tracez à nouveau l’évolution temporelle du flux φ(t%)pour
différentes valeurs de Eet représentez sur le même graphe la solution ana-
lytique de l’équation différentielle obtenue avec k=0.
6. Comparez les périodes de cet oscillateur avec k=0etk=0.14.
4

4Fréquencespropresd’untambour
Si on frappe la membrane circulaire d’un tambour en son centre, celle-ci oscil-
lera à des fréquences particulières, dites fréquences propres. Si u(r,t)désigne
l’amplitude de la déformation de la membrane à une distance rdu centre, alors,
en négligeant les amortissements
∂2u
∂t2=v2 r
∂
∂r%r∂u ∂r&
où vest la vitesse des ondes transverses. Nous supposerons ici quelebordest
fixé à un cadre rigide de rayon r0,sibienqueladéformationyrestenulle:u(r=
r0,t)=0∀t.Aucentre,laconditiondebordvaut∂u(r=0,t)/∂r=0.
1. Déterminez la solutions analytique de cette équation, en prenant comme
Ansatz une solution séparable de la forme
u(r,t)=βcos(2πft)g(r)
et en vous aidant de tables si nécessaire ; fest ici la fréquence d’oscilla-
tion. En raison de la condition de bord g(r=r0)=0 , la fréquence ne peut
prendre que des valeurs bien précises, qui sont les fréquences propres du
tambour. Les premiers modes propres sont représentés ci-dessous.
2. Tracez la fonction g(x)(elleexistedéjàdanslabibliothèqueScilab)pour0≤
x≤16 et repérez approximativement la valeur de ses 5 premières racines.
3. Déterminez avec précision la valeur des 5 premières racinesetdéduisez-en
les fréquences propres d’un tambour de rayon r0=40 cm, avec une vitesse
v=522.5 [m/s].
4. Les différentes harmoniques sont-elles régulièrement espacées comme
c’est le cas avec la plupart des instruments à vent ou à cordes ?C’est-à-
dire, l’écart fk+1−fkentre deux fréquences de résonance successives est-il
constant ? Quelles conséquences cela a-t-il sur notre perception du son ?
5
5Ondessolitairesdansunmilieudispersif
L’é qu at io n qu i d écr i t la v it es se u(x,t)d’uneondedansunmilieunon-linéaire,
faiblement dispersif et dissipatif s’écrit
∂
∂tu(x,t)+u∂ ∂xu(x,t)+β∂3 ∂x3u(x,t)=η∂2 ∂x2u(x,t)
où le terme de droite décrit la dissipation (avec η≥0). Cette équation porte le
nom d’équation de Korteweg-de Vries-Burgers (ou KdV-Burgers). Elle intervient
par exemple dans les fibres optiques mais permet aussi de modéliser la propa-
gation d’un ralentissement sur une autoroute saturée.
On cherche une solution sous la forme d’une onde progressive de vitesse v
constante
u(x,t)=u(ξ=x−vt)
Nous nous limiterons dès à présent au cas non dissipatif, avec η=0. Prenez v=
1.
1. Montrez qu’après intégration, cette équation peut se mettre sous la forme
βd2u
dξ2−%vu−u2 2&=c
où la constante d’intégration cpeut être mise à zéro (pourquoi ?). Seules les
solutions où u≥0 ont un sens physique.
2. Intégrez cette équation par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4, en pre-
nant différentes conditions initiales 'u≥0, du
dξ=0(.
3. Il arrive parfois que des solutions finissent par diverger (surtout si u(0) "
1). Y’a-t-il une raison physique à cela ou bien la raison est-elle numérique ?
4. Tracez ces différentes solutions dans un même portrait de phase, avec du
dξ
en fonction de u. Quelle interprétation peut-on donner à ces différentes
orbites ?
5. Quelle influence le paramètre de dispersion βa-t-il sur ce graphe ?
6. Pour quelle(s) valeur(s) de 'u≥0, du
dξ=0(,ureste-t-il constant ?
6Chaosdansunpenduledouble
Le système constitué de deux pendules rigides sans amortissement peut donner
lieu à un comportement très complexe, appelé chaos déterministe. Nous suppo-
sons ici que les deux pendules sont identiques, de même masse met de même
6

longueur L. En coordonnées cartésiennes, nous avons alors
x1=Lsinθ1
y1=2L−Lcosθ1
x2=Lsinθ1+Lsinθ2
y2=2L−Lcosθ1−Lcosθ2
dont les équations du mouvement peuvent être calculées directement à partir
de l’Hamiltonien
H=1
2mL2
p2
1+2p2 2−2p1p2cos(q1−q2)
1+sin2(q1−q2)+mgL(3−2cosq1−cos q2)
où nous avons introduit les coordonnées généralisées qi=θiet les moments
généralisés pi=mvi. D’après les équations d’Hamilton, nous avons
˙
pi≡dpi
dt =−∂H ∂qi
et ˙ qi≡dqi
dt =∂H ∂pi
y
x
l2
l1
m1
m2
θ1
θ2
1. Intégrez ces équations à l’aide d’un schéma de Runge-Kutta, en prenant
m=1[kg],L=1[m]etg=9.8 [m/s2]. Le paramètre à varier sera l’énergie
totale E=H.Lesanglesqiseront choisis dans l’intervalle [−π,+π].
2. Vérifiez d’abord que les solutions obtenues dans des cas particulier sont
correctes : par exemple en forçant dans les équations q1=0ouencoreq2=
0.
3. Prenez maintenant comme condition initiale p1=0. Tracez q1(t), q2(t),
p1(t), et p2(t)enfonctiondutempspourlesénergiesE=1,5,10,15,40, en
prenant pour chaque énergie plusieurs conditions initiales.Quepeut-on
conclure sur la nature du mouvement en fonction de E?
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4. Pour les conditions ci-dessus, tracez les portraits de phase (p1,q1)et
(p2,q2). En quoi ceux-ci nous renseignent-ils mieux sur la nature dumou-
vement ?
5. Déterminez la valeur critique de l’énergie à partir de laquelle il apparaît des
solutions chaotiques.
7Quelestlevolumed’unehypersphèreen6dimensions?
Le calcul d’intégrales multiples est une tâche ardue, surtout si le domaine d’in-
tégration ne possède pas de symétries. La méthode de Monte-Carlo est une mé-
thode stochastique qui est couramment utilisée pour estimerdetellesintégrales.
Elle sert aussi à simuler des systèmes physiques dans lesquels intervient une
composante aléatoire, comme par exemple le mouvement brownien de molé-
cules.
En D=2dimensions,le"volume"d’unesphèrederayonRvaut VD=2=πR2.
En D=3dimensions,levolumedevientVD=3=4
3πR3.EnD>3dimensions,on
s’attend à obtenir un résultat de la forme
VD=γRD
où γest une constante à déterminer. La méthode de Monte-Carlo consiste à tirer
au hasard N0points tous situés à l’intérieur d’une région V0de l’espace, dont le
volume est connu exactement et qui englobe le volume V1àdéterminer.Ilest
important que ces points soient réparties aléatoirement et remplissent V0de fa-
çon uniforme. Il suffit alors de dénombrer les points qui se trouvent à l’intérieur
de V1pour avoir une estimation du volume de celui-ci, sachant que
V1
V0
=lim
N0→∞
N1
N0
où Nkest le nombre de points contenu dans Vk.
1. Commencez par déterminer par la méthode de Monte-Carlo l’aire d’un
disque de rayon R, centré en l’origine. Définissez d’abord la condition que
doit satisfaire un point de coordonnées (x,y)pourêtresituéàl’intérieur
de ce disque. Définissez ensuite une forme géométrique Asimple qui en-
ferme totalement le disque. Utilisez le générateur de nombres aléatoires de
Scilab pour générer un grand nombre de points. Ces points doivent tous se
situer à l’intérieur de Aet remplir celui-ci de façon uniforme. Estimez l’aire
par la méthode de Monte-Carlo.
2. Vérifiez la solution en la comparant avec la solution analytique. Faites des
essais avec diverses valeurs de R.
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3. Combien de points Nfaut-il prendre pour que l’incertitude relative sur
l’aire soit inférieure à 1% ?
4. Comment l’incertitude relative est-elle reliée à la valeur de N?
5. Pour un Ndonné, l’incertitude relative se dégrade-t-elle avec la dimension
D?
6. Modifiez votre programme pour qu’il calcule le volume d’une hypersphère
de rayon Ren Ddimensions, pour un Dallant de 2 à 6. Déterminez pour
chaque dimension la valeur de γci-dessus avec la plus grande précision
possible. Dans la mesure du possible, exprimez-la sous formedefraction
rationnelle, qui soit multiple de π.Donnezparexemple4
3πau lieu de
4.18879.. .
8Trajectoired’électronsdanslechampmagnétiqueterrestre
Le champ magnétique terrestre peut être assimilé à celui d’un dipôle situé au
centre de la Terre, et aligné avec l’axe nord-sud. On cherche à connaître ici la
trajectoire d’électrons de haute énergie, issus de la magnétosphère terrestre (la
cavité magnétique qui entoure la Terre), qui sont responsables des aurores bo-
réales. Le champ magnétique dipolaire s’écrit
"
B=µ0
4π
3(" r·" m)" r−r2" m
r5
où " mdésigne le moment magnétique du dipôle et" rle vecteur qui joint le centre
du dipôle au point d’observation. En France, |B|=46600 nano Tesla au niveau
de la mer (r=6380 km).
1. Trouvez la valeur de mz.
2. Ecrivez les équations du mouvement d’un électron dans le champ dipo-
laire, en l’absence de champ électrique (ce qui n’est pas tout à fait réaliste).
3. Rédigez un programme qui résout numériquement ces équations par la
méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Calculez l’énergie de l’électron et vé-
rifiez qu’elle est conservée.
4. Représentez les trajectoires de particules dont les conditions initiales sont
x0=z0=0, y0=2·107m, vx0=0, vy0=−V, pour différentes valeurs de
V>0 correspondant à des énergies cinétiques qui augmentent par ordre
croissant E=1,10,100 keV, puis E=1,10,100,1000 MeV. Le système de co-
ordonnées est centré sur la Terre.
5. Qu’arrive-t-il lorsque la vitesse initiale de l’électron est dirigée parallèle-
ment à l’équateur ?
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6. Quelle énergie faut-il pour qu’un électron puisse s’échapper du champ ma-
gnétique terrestre ?
9Mouvementdesélectronsdansunatomed’Helium
Le mouvement des électrons dans un atome d’Helium s’apparente à celui de
trois corps, avec une grosse masse (le noyau) et deux masses légères (les élec-
trons). A cela s’ajoute cependant la répulsion électrostatique des électrons. Si on
néglige le mouvement du noyau, alors celui des électrons peut être décrit par les
équations différentielles
a1=−2r1
r3
1
+r1−r2
r3
12
a2=−2r2
r3
2
+r2−r1
r3
12
où riest la position de l’électron par rapport au noyau immobile etr12 est la
distance entre électrons. Les charges et les masses ont été normalisées à un.
Dans cet exemple, on observe des alternances entre des mouvements réguliers
et de mouvements où l’accélération des électrons change brusquement. Il est
alors souhaitable de faire varier le pas d’intégration δtselon le schéma suivant
–Calculezlapositionri(t+δt) obtenue après un pas de temps unique de δt
et après deux pas successifs de δt/2. Comparez l’énergie du système dans les
deux cas et calculez l’écart ∆Eentre les deux valeurs.
–Si∆E<10−7,doublezlepasdetemps.
–Si∆E>10−5, réduisez le pas de temps d’un facteur 2.
–Si10
−7<∆E<10−5,gardezlepasdetempsactuel.
1. Intégrez ces équations avec un schéma de Runge-Kutta d’ordre 4, en implé-
mentant le pas variable.
2. Prenez pour commencer un pas δt=0.001 et les conditions initiales (en co-
ordonnées cartésiennes) r1=(2,0), r2=(−1,0), v1=(0,0.95) et v2=(0,−1).
Tracez les orbites des électrons.
3. Les conditions initiales (en coordonnées cartésiennes) r1=(1.4,0), r2=
(−1,0), v1=(0,0.86) et v2=(0,−1) donnent lieu à des orbites imbriquées.
Dans certains cas, il peut arriver qu’un électron quitte carrément l’atome,
ce qui correspond à de l’autoionisation. Essayez d’observer cela en modi-
fiant très légèrement les conditions initiales.
4. L’atome d’Helium peut donner lieu à des mouvements très complexes.
Observez par exemple les orbites avec les conditions initiales r1=(3,0),
r2=(1,0), v1=(0,0.4) et v2=(0,−1).
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