1 Orbite d`un satellite avec pression photonique

UNIVERSITÉ D’ORLEANS
Année universitaire 2012-2013
1 Orbite d’un satellite avec pression photonique
Licence de physique, 3ème année
P ROJETS D ’ ANALYSE NUMÉRIQUE
PARCOURS STI
Les projets d’analyse numérique couvrent l’ensemble du cours d’analyse numérique. Vous travaillerez par binôme, et chaque binôme choisira un sujet différent.
Le compte-rendu devra être rendu au secrétariat du département de physique
ou bien par envoi par email à l’adresse [email protected] (pour les sujets proposés par Thierry Dudok de Wit) ou [email protected] (pour
ceux proposés par Nathalie Huret). Votre compte-rendu (un par binôme) devra
comprendre :
– la formulation du problème
– une discussion sur la résolution du problème et sur la méthode utilisée
– les résultats obtenus et une discussion critique
– conclusion avec bibliographie éventuelle
– des graphes + le listing du programme utilisé
La discussion critique des résultats est essentielle. Il est inutile de produire une
dizaine de graphes sans les commenter. Si un résultat vous paraît anormal,
cherchez-en la cause.
Un satellite de masse m gravite autour de la Terre, de masse M. Son orbite se situe dans le plan équatorial. A la force gravitationnelle s’ajoutent d’autres forces,
dont la pression photonique due la lumière solaire. Cette pression est très faible,
mais doit être prise en compte dans le calcul d’orbite des satellites Galileo. Cette
pression donne en première approximation lieu à une force constante, qui est située dans le plan équatorial. Les équations du mouvement dans un repère GSE
(géocentrique avec l’axe x selon la ligne Soleil-Terre) s’écrivent

x
 m ẍ = −GmM + f
r3
 m ÿ = −GmM y
r3
$
où r = x 2 + y 2 , G est la constante de gravitation et f la force due à la pression photonique. Nous négligeons ici les autres forces, telles que l’attraction des
autres astres.
La pression photonique, même si elle est faible, affecte le mouvement des satellites. Elle est notamment prise en compte dans la calcul d’orbite des satellites
GPS.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de RungeKutta. Deux paramètres de ce programme doivent être le rapport ρ entre
forces photonique et gravitationnelle, et la durée du pas d’intégration.
3. Tracez la trajectoire (x en fonction de y) ainsi que l’hodographe (v x en fonction de v y ).
4. Trouvez pour ρ = 0 les conditions initiales nécessaires pour avoir une orbite circulaire, et décrivez quel effet la pression photonique a sur l’orbite
du satellite.
5. Peut-on définir une "pseudo-période" du mouvement ? L’allure de l’orbite
dépend-t-elle de façon simple de la valeur de f ? Que se passe-t-il si les
conditions initiales conduisent à une orbite très allongée ?
La résolution se fera en Scilab.
NB. Normalement ρ " 1, car la pression est de l’ordre de 10−5 N m −2 . Il existe
cependant des planètes pour lesquelles ρ est plus grand.
1
2
2 Réaction chimique
La paire d’équations
dX
dt
dY
dt
= A − (B + 1)X + X 2Y
= B X − X 2Y
décrit la série de réactions chimiques
A −→ X
B + X −→ Y + D
2X + Y
−→ 3X
X −→ C
dans le cas où les concentrations A et B sont maintenues constantes. Ces réactions peuvent donner lieu à des variations cycliques des concentrations X et Y ,
comme dans la réaction de Belousov-Zhabotinsky.
1. Déterminez analytiquement les concentrations à l’état stationnaire, c’està-dire lorsque d/d t = 0.
2. Ecrivez un programme qui intègre les équations différentielles ci-dessus.
Choisissez une méthode plus précise que les schémas d’Euler.
3. Tracez Y en fonction de X pour différentes valeurs de A et de B . L’évolution
du système dépend-t-elle des conditions initiales ?
4. Prenez comme conditions initiales (X = A + 0.001, Y = B /A). Déterminez
quels sont les régimes qui tendent vers une concentration constante et
quels sont ceux qui se mettent à osciller. Trouvez la relation entre A et B
qui sépare les deux types de régime.
3 Evolution d’une population en vase clos
Volterra a été le premier à examiner le devenir d’une population de microbes
vivant dans un espace fermé. Nous proposons ici l’étude numérique du modèle
de Volterra.
La population (nombre d’individus par unité de volume) évolue à partir d’une
valeur initiale p(0) = p 0 sous l’influence de trois phénomènes.
– Chaque organisme se reproduit avec une probabilité a > 0 par unité de temps.
3
– Il existe une compétition entre individus ; il en résulte que la population tend à
décroître avec une vitesse proportionnelle au carré de p(t ) (coefficient b > 0).
– Les microbes produisent une toxine qui s’accumule dans le milieu ; au temps
t $ , la concentration en toxine est proportionnelle à l’intégrale
%t $
T (t $ ) =
p(τ) dτ
0
et l’effet sur la population microbienne est un ralentissement de la croissance
proportionnel à p et à T (coefficient c → 0).
1. Montrer que la population à l’instant t $ est régie par l’équation intégrodifférentielle :
%t $
d p(t $ )
= a p(t $ ) − b p 2 (t $ ) − c p(t $ )
p(τ) dτ
p(0) = p 0
dt
0
Déterminer les dimensions des coefficients a, b et c et celles des termes de
l’équation ci-dessus. En déduire que l’on peut définir un temps t = t $ c/b et
une population u = pb/a, sans dimensions, pour lesquels l’équation d’évolution s’écrit :
%t
du(t )
κ
= u(t ) − u 2 (t ) − u(t )
u(τ) dτ
u(0) = u0
dt
0
2. L’équation qui précède peut se résoudre numériquement sans grande difficulté après discrétisation. Nous considérons des époques discrètes : tn = i h
et les populations correspondantes un = u(tn ). Supposons connue la solution jusqu’à l’instant tn ; l’intégrale T (tn ) = Tn peut être calculée par la
méthode des trapèzes. Nous pouvons alors faire appel à un algorithme de
résolution d’équation différentielle pour trouver un+1. Ce procédé peut être
itéré jusqu’à ce que la population n’évolue plus.
3. Ecrire un programme pour mettre en œuvre cet algorithme.
4. Représentez graphiquement vos résultats, pour u0 = 0.1 et pour κ =
{0.05, 0.1, 0.25, 0.5}. Que se passe-t-il lorsque κ → 0 ?
4 Flexion d’une poutre
Une poutre de section rectangulaire et de longueur L est encastrée dans un mur,
d’où elle sort horizontalement. Elle fléchit sous l’effet de son propre poids et
sous l’effet un traction exercée horizontalement à son extrémité. En première
approximation, la flexion z est décrite par
EI
x2
d 2z
− T z = µg
d x2
2
4
Nous avons : E = 510 N/m2 , le module de Young ; µ = 4.2 kg/m, la masse linéique ;
a = 5 cm, la section de la poutre dans le sens vertical ; b = 10 cm, la section dans
le sens horizontal ; L = 3 m, la longueur ; T , la force appliquée ; et I = ba 3 , le
moment d’inertie.
h(x)
z
T
x
0
1. Cette équation peut se résoudre analytiquement. Calculez l’expression
analytique de la flèche z(L) pour le cas particulier où la traction T est nulle.
2. Utilisez la méthode du tir pour résoudre ce problème sous forme numérique. Utilisez un schéma
d’intégration de Runge-Kutta
d’ordre 2 avec des
&
'
conditions initiales z(x = 0) = 0, z $ (x = 0) = p , puis variez la pente p jusqu’à obtenir les bonnes conditions de bord pour x = L. Utilisez une méthode de recherche de racines pour localiser la bonne solution. Prenez
d’abord le cas sans traction, et vérifiez que vous obtenez bien la même solution qu’en 1.
3. Répétez la simulation pour le cas où la traction T équivaut au poids de la
poutre.
4. Quelle sera la longueur de la poutre déformée ?
5 Forme d’un câble de téléphérique
Un téléphérique relie deux stations séparées de L dans le sens horizontal et de
h0 en altitude. Une cabine est suspendue au câble, qui est en acier. Cette cabine,
qui est unique, se situe quelque part entre les deux stations.
L’acier possède une faible élasticité. On montre alors que la position verticale
h(x) du câble en fonction de la position horizontale x obéit à l’équation
(
d 2h
A
à l’emplacement de la cabine
=
f (x) ailleurs
d x2
où f (x) est proportionnel à la masse linéique du câble. Prenez L = 3000 m, et
h0 = 700 m, f (x) = 0.0002 m−1 .
5
1. Intégrez cette équation par une méthode de votre choix, sans prendre en
compte la cabine. Montrez qu’il n’est pas indispensable d’utiliser ici une
méthode d’intégration d’ordre élevé. Les conditions initiales sont h(x =
0) = 0 et la pente dh/d x que fait le câble dans la station inférieure.
2. Déterminez la longueur du câble.
3. On suspend une cabine au câble. La cabine est normalement ancrée en un
point unique. Toutefois, pour faciliter la modélisation, on supposera que la
masse de la cabine est répartie sur une étendue l = 10 m de part et d’autre
du point d’ancrage x0 de la façon suivante
(
100 f (x)(1 − |x − x0 |/l ) si |x − x0 | ≤ l
m(x) =
0
sinon
Veillez à choisir un pas d’intégration adéquat et prenez l ≤ x ≤ L − l .
Utilisez la méthode du tir pour déterminer la pente nécessaire à la station
inférieure pour que le câble passe aussi par la station supérieure. Créez une
fonction qui estime l’allure du câble pour un emplacement quelconque de
la cabine.
4. Tracez sur un graphe l’évolution de la pente à l’origine ainsi que de la longueur du câble en fonction de l’emplacement de la cabine.
5. La pente à l’origine permet-elle de déterminer sans ambiguïté l’emplacement de la cabine ?
6 Puissance dissipée dans une alimentation stabilisée
Le circuit schématisé ci-dessous est un redresseur de tension classique, qui génère une tension à peu près constante à partir d’un source alternative. La résistance Z = 500Ω représente la charge branchée à la sortie du redresseur, dont la
résistance R = 100Ω, associée au condensateur, fait office de filtre passe-bas. On
supposera le transformateur sans pertes et les diodes idéales, avec une tension
de seuil de U s = 0.7 V. La fréquence de la source alternative est de f = 50 Hz.
6
$
où m est la masse de la flèche et v = ẋ 2 + ẏ 2 . On prendra ici γ/m = 0.015 kg,
x0 = 188 m et y 0 = 20 m (la cible se trouve plus bas que le joueur).
1. Intégrez cette équation par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Les
conditions initiales sont spécifiées par le couple (v 0 , α), où v 0 est la vitesse
initiale et α l’angle initial que fait la trajectoire avec le sol. Construisez une
fonction qui restitue le point de chute [xc , y c ] en fonction des conditions
initiales.
1. Chaque période oscillation comprend deux phases : une phase pendant laquelle Z est alimenté et le condensateur se charge, et une phase pendant
laquelle le condensateur se décharge dans Z . Ecrivez les équations différentielles correspondant à ces deux phases, ainsi que les conditions pour
passer d’une phase à l’autre.
2. Utilisez la méthode du tir pour déterminer les conditions initiales nécessaires pour atteindre exactement la cible. Existe-t-il plusieurs solutions ?
3. Un bon tireur peut tirer des flèches dont la vitesse initiale avoisine les 100
m/s. Définissez son périmètre de sécurité, c’est-à-dire la région dans le plan
(x, y) qui risque d’être atteinte par les flèches.
2. Intégrez ces équations avec une méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Prenez
un condensateur initialement déchargé et simulez le redresseur pendant
plusieurs périodes pour vous affranchir des transitoires.
3. Quelle valeur de la résistance R faut-il prendre pour avoir une ondulation
(ou ripple) δU inférieur à 5 % ? Le ripple est l’écart entre la valeur minimum
et la valeur maximum de la tension appliquée à la charge.
4. Tracez la puissance instantanée dissipée dans la résistance R. Comparez sa
valeur moyenne à celle dissipée dans la charge.
7 La balistique du tireur à l’arc
Un tireur à l’arc doit choisir au mieux l’angle d’inclinaison ainsi que l’impulsion
initiale pour que sa flèche atteigne une cible précise. Cette dernière se situe à
une distance horizontale x0 de lui et y 0 mètres en contrebas.
La flèche subit la force d’attraction gravitationnelle ainsi que la force de frottement de l’air. Pour un nombre de Reynolds compris entre 10 et 800, cette dernière vaut F ≈ γv 1.4 , où v est la vitesse de la flèche et γ un coefficient qui dépend
de sa forme aérodynamique et de sa surface. On néglige ici des effets tels que la
rotation de la flèche sur elle-même. Les équations du mouvement deviennent
alors
ẋ
m ẍ = −γv 1.4
v
ẏ
m ÿ = −mg − γv 1.4
v
7
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