1 Orbite d`un satellite avec pression photonique

UNIVERSITÉ D’ORLEANS Année universitaire 2012-2013
Licence de physique, 3ème année
PROJETS D’ANALYSE NUMÉRIQUE
PARCOURS STI
Les projets d’analyse numérique couvrent l’ensemble du cours d’analyse numé-
rique. Vous travaillerez par binôme, et chaque binôme choisira un sujet différent.
Le compte-rendu devra être rendu au secrétariat du département de physique
ou bien par envoi par email à l’adresse [email protected] (pour les su-
jets proposés par Thierry Dudok de Wit) ou [email protected] (pour
ceux proposés par Nathalie Huret). Votre compte-rendu (un par binôme) devra
comprendre :
–laformulationduproblème
– une discussion sur la résolution du problème et sur la méthodeutilisée
– les résultats obtenus et une discussion critique
–conclusionavecbibliographieéventuelle
–desgraphes+lelistingduprogrammeutilisé
La discussion critique des résultats est essentielle. Il est inutile de produire une
dizaine de graphes sans les commenter. Si un résultat vous paraît anormal,
cherchez-en la cause.
La résolution se fera en Scilab.
1
1Orbited’unsatelliteavecpressionphotonique
Un satellite de masse mgravite autour de la Terre, de masse M. Son orbite se si-
tue dans le plan équatorial. A la force gravitationnelle s’ajoutent d’autres forces,
dont la pression photonique due la lumière solaire. Cette pression est très faible,
mais doit être prise en compte dans le calcul d’orbite des satellites Galileo. Cette
pression donne en première approximation lieu à une force constante, qui est si-
tuée dans le plan équatorial. Les équations du mouvement dansunrepèreGSE
(géocentrique avec l’axe xselon la ligne Soleil-Terre) s’écrivent
m¨ x=−GmM x
r3+f
m¨ y=−GmM y
r3
où r=$x2+y2,Gest la constante de gravitation et fla force due à la pres-
sion photonique. Nous négligeons ici les autres forces, telles que l’attraction des
autres astres.
La pression photonique, même si elle est faible, affecte le mouvement des satel-
lites. Elle est notamment prise en compte dans la calcul d’orbite des satellites
GPS.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de Runge-
Kutta. Deux paramètres de ce programme doivent être le rapport ρentre
forces photonique et gravitationnelle, et la durée du pas d’intégration.
3. Tracez la trajectoire (xen fonction de y)ainsiquel’hodographe(vxen fonc-
tion de vy).
4. Trouvez pour ρ=0lesconditionsinitialesnécessairespouravoiruneor-
bite circulaire, et décrivez quel effet la pression photonique a sur l’orbite
du satellite.
5. Peut-on définir une "pseudo-période" du mouvement ? L’allure de l’orbite
dépend-t-elle de façon simple de la valeur de f?Quesepasse-t-ilsiles
conditions initiales conduisent à une orbite très allongée?
NB. Normalement ρ"1, car la pression est de l’ordre de 10−5Nm−2.Ilexiste
cependant des planètes pour lesquelles ρest plus grand.
2

2Réactionchimique
La paire d’équations
dX
dt =A−(B+1)X+X2Y
dY
dt =BX −X2Y
décrit la série de réactions chimiques
A−→ X
B+X−→ Y+D
2X+Y−→ 3X
X−→ C
dans le cas où les concentrations Aet Bsont maintenues constantes. Ces réac-
tions peuvent donner lieu à des variations cycliques des concentrations Xet Y,
comme dans la réaction de Belousov-Zhabotinsky.
1. Déterminez analytiquement les concentrations à l’état stationnaire, c’est-
à-dire lorsque d/dt =0.
2. Ecrivez un programme qui intègre les équations différentielles ci-dessus.
Choisissez une méthode plus précise que les schémas d’Euler.
3. Tracez Yen fonction de Xpour différentes valeurs de Aet de B.L’évolution
du système dépend-t-elle des conditions initiales ?
4. Prenez comme conditions initiales (X=A+0.001,Y=B/A). Déterminez
quels sont les régimes qui tendent vers une concentration constante et
quels sont ceux qui se mettent à osciller. Trouvez la relationentreAet B
qui sépare les deux types de régime.
3Evolutiond’unepopulationenvaseclos
Volterra a été le premier à examiner le devenir d’une population de microbes
vivant dans un espace fermé. Nous proposons ici l’étude numérique du modèle
de Volterra.
La population (nombre d’individus par unité de volume) évolue à partir d’une
valeur initiale p(0) =p0sous l’influence de trois phénomènes.
–Chaqueorganismesereproduitavecuneprobabilitéa>0parunitédetemps.
3
– Il existe une compétition entre individus ; il en résulte que la population tend à
décroître avec une vitesse proportionnelle au carré de p(t)(coefficientb>0).
–Lesmicrobesproduisentunetoxinequis’accumuledanslemilieu ; au temps
t$,laconcentrationentoxineestproportionnelleàl’intégrale
T(t$)=%t$
0p(τ)dτ
et l’effet sur la population microbienne est un ralentissement de la croissance
proportionnel à pet à T(coefficient c→0).
1. Montrer que la population à l’instant t$est régie par l’équation intégro-
différentielle :
dp(t$)
dt =ap(t$)−bp
2(t$)−cp(t$)%t$
0p(τ)dτp(0) =p0
Déterminer les dimensions des coefficients a,bet cet celles des termes de
l’équation ci-dessus. En déduire que l’on peut définir un temps t=t$c/bet
une population u=pb/a,sansdimensions,pourlesquelsl’équationd’évo-
lution s’écrit :
κdu(t)
dt =u(t)−u2(t)−u(t)%t
0u(τ)dτu(0) =u0
2. L’équation qui précède peut se résoudre numériquement sans grande diffi-
culté après discrétisation. Nous considérons des époques discrètes : tn=ih
et les populations correspondantes un=u(tn). Supposons connue la so-
lution jusqu’à l’instant tn;l’intégraleT(tn)=Tnpeut être calculée par la
méthode des trapèzes. Nous pouvons alors faire appel à un algorithme de
résolution d’équation différentielle pour trouver un+1.Ceprocédépeutêtre
itéré jusqu’à ce que la population n’évolue plus.
3. Ecrire un programme pour mettre en œuvre cet algorithme.
4. Représentez graphiquement vos résultats, pour u0=0.1 et pour κ=
{0.05,0.1,0.25,0.5}. Que se passe-t-il lorsque κ→0?
4Flexiond’unepoutre
Une poutre de section rectangulaire et de longueur Lest encastrée dans un mur,
d’où elle sort horizontalement. Elle fléchit sous l’effet de son propre poids et
sous l’effet un traction exercée horizontalement à son extrémité. En première
approximation, la flexion zest décrite par
EId2z
dx2−Tz =µgx2 2
4

Nous avons : E=510 N/m2,lemoduledeYoung;µ=4.2 kg/m, la masse linéique ;
a=5 cm, la section de la poutre dans le sens vertical; b=10 cm, la section dans
le sens horizontal ; L=3m,lalongueur;T,laforceappliquée;etI=ba3,le
moment d’inertie.
z
x
T
0
1. Cette équation peut se résoudre analytiquement. Calculez l’expression
analytique de la flèche z(L)pourlecasparticulieroùlatractionTest nulle.
2. Utilisez la méthode du tir pour résoudre ce problème sous forme numé-
rique. Utilisez un schéma d’intégration de Runge-Kutta d’ordre 2 avec des
conditions initiales &z(x=0) =0,z$(x=0) =p',puisvariezlapentepjus-
qu’à obtenir les bonnes conditions de bord pour x=L.Utilisezunemé-
thode de recherche de racines pour localiser la bonne solution. Prenez
d’abord le cas sans traction, et vérifiez que vous obtenez bienlamêmeso-
lution qu’en 1.
3. Répétez la simulation pour le cas où la traction Téquivaut au poids de la
poutre.
4. Quelle sera la longueur de la poutre déformée ?
5Formed’uncâbledetéléphérique
Un téléphérique relie deux stations séparées de Ldans le sens horizontal et de
h0en altitude. Une cabine est suspendue au câble, qui est en acier. Cette cabine,
qui est unique, se situe quelque part entre les deux stations.
L’acier possède une faible élasticité. On montre alors que la position verticale
h(x)ducâbleenfonctiondelapositionhorizontalexobéit à l’équation
d2h
dx2=(Aàl’emplacementdelacabine
f(x) ailleurs
où f(x)estproportionnelàlamasselinéiqueducâble.PrenezL=3000 m, et
h0=700 m, f(x)=0.0002 m−1.
5
h(x)
1. Intégrez cette équation par une méthode de votre choix, sans prendre en
compte la cabine. Montrez qu’il n’est pas indispensable d’utiliser ici une
méthode d’intégration d’ordre élevé. Les conditions initiales sont h(x=
0) =0etlapentedh/dx que fait le câble dans la station inférieure.
2. Déterminez la longueur du câble.
3. On suspend une cabine au câble. La cabine est normalement ancrée en un
point unique. Toutefois, pour faciliter la modélisation, onsupposeraquela
masse de la cabine est répartie sur une étendue l=10 m de part et d’autre
du point d’ancrage x0de la façon suivante
m(x)=(100f(x)(1−|x−x0|/l)si|x−x0|≤l
0sinon
Veillez à choisir un pas d’intégration adéquat et prenez l≤x≤L−l.
Utilisez la méthode du tir pour déterminer la pente nécessaire à la station
inférieure pour que le câble passe aussi par la station supérieure. Créez une
fonction qui estime l’allure du câble pour un emplacement quelconque de
la cabine.
4. Tracez sur un graphe l’évolution de la pente à l’origine ainsi que de la lon-
gueur du câble en fonction de l’emplacement de la cabine.
5. La pente à l’origine permet-elle de déterminer sans ambiguïté l’emplace-
ment de la cabine ?
6Puissancedissipéedansunealimentationstabilisée
Le circuit schématisé ci-dessous est un redresseur de tension classique, qui gé-
nère une tension à peu près constante à partir d’un source alternative. La résis-
tance Z=500Ωreprésente la charge branchée à la sortie du redresseur, dont la
résistance R=100Ω,associéeaucondensateur,faitofficedefiltrepasse-bas.On
supposera le transformateur sans pertes et les diodes idéales, avec une tension
de seuil de Us=0.7 V. La fréquence de la source alternative est de f=50 Hz.
6

1. Chaque période oscillation comprend deux phases : une phase pendant la-
quelle Zest alimenté et le condensateur se charge, et une phase pendant
laquelle le condensateur se décharge dans Z.Ecrivezleséquationsdiffé-
rentielles correspondant à ces deux phases, ainsi que les conditions pour
passer d’une phase à l’autre.
2. Intégrez ces équations avec une méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Prenez
un condensateur initialement déchargé et simulez le redresseur pendant
plusieurs périodes pour vous affranchir des transitoires.
3. Quelle valeur de la résistance Rfaut-il prendre pour avoir une ondulation
(ou ripple) δUinférieur à 5 % ? Le ripple est l’écart entre la valeur minimum
et la valeur maximum de la tension appliquée à la charge.
4. Tracez la puissance instantanée dissipée dans la résistance R.Comparezsa
valeur moyenne à celle dissipée dans la charge.
7Labalistiquedutireuràl’arc
Un tireur à l’arc doit choisir au mieux l’angle d’inclinaisonainsiquel’impulsion
initiale pour que sa flèche atteigne une cible précise. Cette dernière se situe à
une distance horizontale x0de lui et y0mètres en contrebas.
La flèche subit la force d’attraction gravitationnelle ainsiquelaforcedefrotte-
ment de l’air. Pour un nombre de Reynolds compris entre 10 et 800, cette der-
nière vaut F≈γv1.4,oùvest la vitesse de la flèche et γun coefficient qui dépend
de sa forme aérodynamique et de sa surface. On néglige ici des effets tels que la
rotation de la flèche sur elle-même. Les équations du mouvement deviennent
alors
m¨ x=−γv1.4 ˙
x
v
m¨ y=−mg −γv1.4 ˙
y
v
7
où mest la masse de la flèche et v=$˙
x2+˙ y2.Onprendraiciγ/m=0.015 kg,
x0=188 m et y0=20 m (la cible se trouve plus bas que le joueur).
1. Intégrez cette équation par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Les
conditions initiales sont spécifiées par le couple (v0,α), où v0est la vitesse
initiale et αl’angle initial que fait la trajectoire avec le sol. Construisez une
fonction qui restitue le point de chute [xc,yc]enfonctiondesconditions
initiales.
2. Utilisez la méthode du tir pour déterminer les conditions initiales néces-
saires pour atteindre exactement la cible. Existe-t-il plusieurs solutions ?
3. Un bon tireur peut tirer des flèches dont la vitesse initialeavoisineles100
m/s. Définissez son périmètre de sécurité, c’est-à-dire la région dans le plan
(x,y)quirisqued’êtreatteinteparlesflèches.
8