Théor`eme de d`Alembert

Th´eor`eme de d’Alembert
Loiseau Antoine, Cadero Alice
30 mars 2012

Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 D´emonstration directe (Topologie) 3
2.1 Quelques rappels de Topologie et de propri´et´es des nombres complexes . . . . . 3
2.2 ´ Enonc´e de la d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Unlemmeimportant............................. 4
2.2.2 D´emonstration directe du th´eor`eme de d’Alembert . . . . . . . . . . . . 4
3 D´emonstration avec le Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires 6
3.1 Rappel sur le Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.1 Laconnexit´e ................................. 6
3.1.2 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 D´efinitionsd’alg`ebre ................................. 7
3.3 D´emonstration du Th´eor`eme de D’Alembert avec TVI . . . . . . . . . . . . . . 8
4 D´emonstration par le th´eor`eme de Liouville 9
4.1 Rappels sur les fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 D´emonstration du Th´eor`eme de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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Chapitre 1
Introduction
Jean le Rond D’Alembert, math´ematicien fran¸cais du 18`eme si`ecle, proposa un th´eor`eme
sur les polynˆomes et les racines de celui-ci. Il ne le d´emontrera que partiellement. Par la suite,
en 1815 Gauss proposa une d´emonstration rigoureuse de ce th´eor`eme. C’est pourquoi on le
nomme parfois Th´eor`eme de D’Alembert-Gauss. Il s’´enonce de fa¸con assez simple :
Th´eor`eme 1 (Th´eor`eme de D’Alembert).Tout polynˆome non constant, `a coefficients com-
plexes, admet au moins une racine dans C.
Une formulation ´equivalente mais est d’autant plus importante car elle montre toute l’am-
pleur de ce th´eor`eme :
Th´eor`eme 2. Tout polynˆome de C[X], de degr´e au moins ´egal `a 1, est scind´e (i.e peut s’´ecrire
sous forme d’un produit de facteurs du 1er degr´e) .
L’importance de ce r´esultat est tel que l’on nomme ais´ement ce th´eor`eme comme ´etant le
Th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre.` A partir de ce th´eor`eme, on montre facilement que Cest
un corps alg´ebriquement clos (i.e si tout polynˆome de degr´e ≥1, `a coefficients dans C, admet
au moins une racine dans C).
Nous allons `a pr´esent montrer ce r´esultat de trois mani`eres diff´erentes. Dans un premier
temps nous utiliserons la topologie notamment la compacit´e. Nous commencerons par rappeler
certaines d´efinitions et certains r´esultats de topologie. Dans un second temps nous ferons
une d´emonstration du th´eor`eme de fa¸con plus alg´ebrique. Cependant une preuve totalement
alg´ebrique semble impossible car mˆeme celle-ci doit se raccrocher `a un th´eor`eme important
d’analyse que nous red´emontrerons, le Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. Pour finir, nous
utiliserons le Th´eor`eme de Liouville, traitant des fonctions holomorphes, afin d’´etablir le
r´esultat souhait´e.
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Chapitre 2
D´emonstration directe (Topologie)
2.1 Quelques rappels de Topologie et de propri´et´es des nombres
complexes
Commen¸cons ces rappels par une formule connue d’analyse complexe :
D´efinition 1 (Formule de Moivre).Pour tout n ∈Z, et tout q ∈R, on a :
(cos q+isin q)n= cos nq + sin nq
Exemple : cos π
4+isin π 44=√2 2+i√2 24= (i)2=−1. D’autre part cos(π) +
isin(π) = −1
D´efinition 2 (In´egalit´e triangulaire).Soient x,y ∈C. On a : |x+y| ≤ |x|+|y|
Il en d´ecoule que : |x+y| ≥ |x|−|y|
Faisons `a pr´esent quelques rappels de topologie par une s´erie de d´efinitions ´el´ementaires :
D´efinition 3 (Espace topologique).On appelle espace topologique un couple (E, T), o`u Eest
un ensemble et Tun ensemble de parties de Eque l’on appelle les ouverts de (E, T), v´erifiant
les propri´et´es suivantes :
(1). L’ensemble vide ∅et Esont ouverts.
(2). Toute r´eunion d’ouverts est un ouvert, i.e. si (Oi)i∈Iest une famille d’´el´ements de T,
alors Si∈IOi∈ T .
(3). Toute intersection de deux ouverts est un ouvert, i.e. si O1et O2sont deux ´el´ements de
T, alors (O1∩O2)∈ T .
L’ensemble Test appel´ee topologie de E.
Exemple : Soit (N,P(N)). Tous les singletons sont des ouverts. La topologie ainsi d´efinie
est appel´ee topologie discr`ete.
D´efinition 4 (Espace s´epar´e).On dit qu’un espace topologique (E, T)est s´epar´e si
∀x, y ∈E, x 6=y, ∃U, V ∈ T , U ∩V=φ, tels que x∈Uet y∈V
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D´efinition 5 (Recouvrement ouvert).Une famille de parties (Oi)i∈Id’un ensemble Eest
appel´ee recouvrement de Esi Eest la r´eunion de cette famille, c’est `a dire si tout point de E
appartient `a au moins un des (Oi). On appelle recouvrement ouvert d’un espace topologique
Etoute famille d’ouverts de Equi est un recouvrement de E.
D´efinition 6 (Espace compact).Un espace topologique Eest dit compact s’il est s´epar´e et si
tout recouvrement ouvert de Econtient un sous recouvrement fini.
Suite `a ces d´efinitions nous pouvons montrer deux r´esultats qui nous seront essentiels par
la suite :
Th´eor`eme 3. Les compacts de Rsont les intervalles ferm´es born´es. (Ex. [0 ;1])
Th´eor`eme 4. Si fest une fonction continue du compact Kvers R,fest born´ee et atteint
sa borne sup´erieure et sa borne inf´erieure.
2.2 ´ Enonc´e de la d´emonstration
2.2.1 Un lemme important
La d´emonstration directe repose sur le lemme suivant que nous d´emontrerons :
Lemme 1. Soient a∈Cet n∈N∗. L’´equation xn=aadmet au moins une racine dans C.
D´emonstration. On sait que aest un nombre complexe, on peut donc l’´ecrire sous sa forme
polaire :
∃ρ∈R+,∃θ∈[0,2π] tels que a=ρ(cos(θ) + isin(θ))
soit c∈Ctel que
c=n
√ρ.(cos θ
n+isin θ n)
Alors, d’apr`es la formule de Moivre on obtient que :
cn=ρ.(cos(θ) + isin(θ)) = a
On en d´eduit que cest racine de l’´equation xn=a.
D’o`u l’´equation xn=aadmet au moins une racine dans C.
2.2.2 D´emonstration directe du th´eor`eme de d’Alembert
Soit la fonction polynˆome P∈C[z] telle que P(z) = a0+a1z+··· +anzn, avec n > 0
et an6= 0. On suppose que a0est non nul, sinon 0 est racine ´evidente du polynˆome, et le
th´eor`eme de d’Alembert est d´emontr´e.
Soit la fonction f:z∈C7→ |P(z)| ∈ R+, o`u |.|d´esigne le module d’un nombre complexe.
On sait que tout ensemble A∈Rnon vide et minor´e admet une borne inf´erieure. Or l’ensemble
Im(f) est non vide, minor´e et appartient `a R+, il admet donc une borne inf´erieure que l’on
notera m.
Montrons :
∃Mtel que |z| ≥ M⇒ |P(z)| ≥ 2m
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