Théor`eme de d`Alembert

Théorème de d’Alembert
Loiseau Antoine, Cadero Alice
30 mars 2012
Table des matières
1 Introduction
2
2 Démonstration directe (Topologie)
2.1 Quelques rappels de Topologie et de propriétés des nombres complexes
2.2 Énoncé de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Un lemme important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Démonstration directe du théorème de d’Alembert . . . . . . .
3 Démonstration avec le Théorème des valeurs intermédiaires
3.1 Rappel sur le Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . .
3.1.1 La connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . .
3.2 Définitions d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Démonstration du Théorème de D’Alembert avec TVI . . . . .
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3
3
4
4
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6
6
6
6
7
8
4 Démonstration par le théorème de Liouville
9
4.1 Rappels sur les fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Démonstration du Théorème de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
Chapitre 1
Introduction
Jean le Rond D’Alembert, mathématicien français du 18ème siècle, proposa un théorème
sur les polynômes et les racines de celui-ci. Il ne le démontrera que partiellement. Par la suite,
en 1815 Gauss proposa une démonstration rigoureuse de ce théorème. C’est pourquoi on le
nomme parfois Théorème de D’Alembert-Gauss. Il s’énonce de façon assez simple :
Théorème 1 (Théorème de D’Alembert). Tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine dans C.
Une formulation équivalente mais est d’autant plus importante car elle montre toute l’ampleur de ce théorème :
Théorème 2. Tout polynôme de C[X], de degré au moins égal à 1, est scindé (i.e peut s’écrire
sous forme d’un produit de facteurs du 1er degré) .
L’importance de ce résultat est tel que l’on nomme aisément ce théorème comme étant le
Théorème fondamental de l’algèbre. À partir de ce théorème, on montre facilement que C est
un corps algébriquement clos (i.e si tout polynôme de degré ≥ 1, à coefficients dans C, admet
au moins une racine dans C).
Nous allons à présent montrer ce résultat de trois manières différentes. Dans un premier
temps nous utiliserons la topologie notamment la compacité. Nous commencerons par rappeler
certaines définitions et certains résultats de topologie. Dans un second temps nous ferons
une démonstration du théorème de façon plus algébrique. Cependant une preuve totalement
algébrique semble impossible car même celle-ci doit se raccrocher à un théorème important
d’analyse que nous redémontrerons, le Théorème des valeurs intermédiaires. Pour finir, nous
utiliserons le Théorème de Liouville, traitant des fonctions holomorphes, afin d’établir le
résultat souhaité.
2
Chapitre 2
Démonstration directe (Topologie)
2.1
Quelques rappels de Topologie et de propriétés des nombres
complexes
Commençons ces rappels par une formule connue d’analyse complexe :
Définition 1 (Formule de Moivre). Pour tout n ∈ Z, et tout q ∈ R, on a :
(cos q + i sin q)n = cos nq + sin nq
Exemple : cos
i sin(π) = −1
π
4
+ i sin
π
4
4
=
√
2
2
√
+i
2
2
4
= (i)2 = −1. D’autre part cos(π) +
Définition 2 (Inégalité triangulaire). Soient x,y ∈ C. On a : |x + y| ≤ |x| + |y|
Il en découle que : |x + y| ≥ |x| − |y|
Faisons à présent quelques rappels de topologie par une série de définitions élémentaires :
Définition 3 (Espace topologique). On appelle espace topologique un couple (E, T ), où E est
un ensemble et T un ensemble de parties de E que l’on appelle les ouverts de (E, T ), vérifiant
les propriétés suivantes :
(1). L’ensemble vide ∅ et E sont ouverts.
(2). Toute réunion
d’ouverts est un ouvert, i.e. si (Oi )i∈I est une famille d’éléments de T ,
S
alors
i∈I Oi ∈ T .
(3). Toute intersection de deux ouverts est un ouvert, i.e. si O1 et O2 sont deux éléments de
T , alors (O1 ∩ O2 ) ∈ T .
L’ensemble T est appelée topologie de E.
Exemple : Soit (N, P(N)). Tous les singletons sont des ouverts. La topologie ainsi définie
est appelée topologie discrète.
Définition 4 (Espace séparé). On dit qu’un espace topologique (E, T ) est séparé si
∀x, y ∈ E, x 6= y, ∃U, V ∈ T , U ∩ V = φ, tels que x ∈ U et y ∈ V
3
Définition 5 (Recouvrement ouvert). Une famille de parties (Oi )i∈I d’un ensemble E est
appelée recouvrement de E si E est la réunion de cette famille, c’est à dire si tout point de E
appartient à au moins un des (Oi ). On appelle recouvrement ouvert d’un espace topologique
E toute famille d’ouverts de E qui est un recouvrement de E.
Définition 6 (Espace compact). Un espace topologique E est dit compact s’il est séparé et si
tout recouvrement ouvert de E contient un sous recouvrement fini.
Suite à ces définitions nous pouvons montrer deux résultats qui nous seront essentiels par
la suite :
Théorème 3. Les compacts de R sont les intervalles fermés bornés. (Ex. [0 ;1])
Théorème 4. Si f est une fonction continue du compact K vers R, f est bornée et atteint
sa borne supérieure et sa borne inférieure.
2.2
2.2.1
Énoncé de la démonstration
Un lemme important
La démonstration directe repose sur le lemme suivant que nous démontrerons :
Lemme 1. Soient a ∈ C et n ∈ N∗ . L’équation xn = a admet au moins une racine dans C.
Démonstration. On sait que a est un nombre complexe, on peut donc l’écrire sous sa forme
polaire :
∃ρ ∈ R+ , ∃θ ∈ [0, 2π] tels que a = ρ(cos(θ) + i sin(θ))
soit c ∈ C tel que
c=
√
n
θ
θ
+ i sin
)
ρ.(cos
n
n
Alors, d’après la formule de Moivre on obtient que :
cn = ρ.(cos(θ) + i sin(θ)) = a
On en déduit que c est racine de l’équation xn = a.
D’où l’équation xn = a admet au moins une racine dans C.
2.2.2
Démonstration directe du théorème de d’Alembert
Soit la fonction polynôme P ∈ C[z] telle que P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n , avec n > 0
et an 6= 0. On suppose que a0 est non nul, sinon 0 est racine évidente du polynôme, et le
théorème de d’Alembert est démontré.
Soit la fonction f : z ∈ C 7→ |P (z)| ∈ R+ , où |.| désigne le module d’un nombre complexe.
On sait que tout ensemble A ∈ R non vide et minoré admet une borne inférieure. Or l’ensemble
Im(f ) est non vide, minoré et appartient à R+ , il admet donc une borne inférieure que l’on
notera m.
Montrons :
∃M tel que |z| ≥ M ⇒ |P (z)| ≥ 2m
4
On a, d’après l’inégalité triangulaire :
|P (z)| = |z n (an +
n−1
X
ak z n−k )| ≥ |z n |.K
k=0
avec
K = |an | −
n−1
X
|ak ||z k−n |
k=0
On prend |z| ≥ M strictement plus grand que
4m
|an | .
Cela entraine K >
|an |
2 .
Donc |P (z)|
est plus grand que M n |a2n | , qui est plus grand que 2m.
Soit B = {z ∈ C/|z| ≤ M }. On a montré que inf z∈B |P (z)| = inf z∈C |P (z)|.
L’ensemble B est un compact. Comme la fonction f est continue sur B, elle atteint sa
borne inférieure, qui est donc son minimum. On en déduit qu’il existe un point z0 tel que le
minimum de la fonction f soit atteint en z0 .
Dans la suite, on note Q(z) le polynôme qui à z associe la valeur P (z0 + z). Q est de même
degré que P , et prend son minimum m en 0. On pose :
Q(z) = b0 + b1 z + · · · + bn z n
avec |b0 | = m, et bk 6= 0, k étant le plus petit entier tel que le coefficient bk soit non nul (k
existe car le polynôme Q n’est pas constant).
Soit g : t ∈ R 7→ |Q(t.c)| ∈ R, avec c ∈ C tel que ck = −b0 .bk . (bk est le conjugué de bk ).
La fonction g s’écrit :
g(t) = |b0 − b0 |bk |2 tk + ck+1 tk+1 + · · · + cn tn |
avec ci ∈ C, ∀i ∈ {k + 1, . . . , n}.
Ce qui montre que, si |t| < 1 alors :
g(t) < m(1 − |bk |2 tk ) + |t|k+1 |ck+1 + · · · + cn tn−k−1 | ≤ m(1 − |bk |2 tk ) + |t|k+1 .N
P
où N est un majorant de ni=k+1 |ci |.
2
k|
Si |t| < m |b2N
, on obtient :
|bk |2 k
g(t) ≤ m 1 −
t
2
Donc, si t0 est choisi strictement positif et suffisamment petit, alors g(t0 ) < m, ce qui
revient à dire que |g(z0 + t0 )| < m. Ceci montre que m n’est pas le minimum. Donc si m 6= 0,
alors m n’est pas le minimum de la fonction f , ce qui est absurde car c’est la définition de m.
On en déduit que m est forcément nul et que P admet au moins une racine dans C. Ceci
achève la preuve.
5
Chapitre 3
Démonstration avec le Théorème
des valeurs intermédiaires
3.1
3.1.1
Rappel sur le Théorème des valeurs intermédiaires
La connexité
Nous rappelerons quelques résultats et définition de topologie afin d’aboutir sur le Théorème
des valeurs intermédiaires qui sera utilisé dans la première partie de la démonstration du
Théorème de D’Alembert.
Définition 7. On dit qu’un espace topologique (X, T ) est connexe si les seules parties de X
à la fois ouvertes et fermées sont X et ∅.
Nous avons deux caractérisations de la connexité qui sont les deux propositions suivantes :
Proposition 1. Soit (X, T ) un espace topologique. (X, T ) est connexe si et seulement si toute
fonction continue de (X, T ) → {0, 1} est constante.
Proposition 2. Soit (X, T ) un espace topologique, A ∈ P(X) est connexe si et seulement si
A ⊂ O1 t O2 =⇒ A ⊂ O1 ou A ⊂ O2 .
Un autre résultat qui nous permettra d’établir le Théorème des valeurs intermédiaire est
le théorème suivant caractérisant les connexes de R :
Théorème 5. Les parties connexes de (R, | . |) sont les intervalles.
3.1.2
Théorème des valeurs intermédiaires
Nous allons maintenant établir le théorème des valeurs intermédiaires en passant par le
théorème suivant :
Théorème 6. L’image d’un connexe par une application continue est connexe.
Démonstration. Soit (X, T ) et (X 0 , T 0 ) deux espaces topologiques, (X, T ) connexe et soit
f ∈ C 0 (X, X 0 ).
Montrons que (f (X), Tf0(X) ) est connexe. Soit g : (f (X), Tf0(X) ) → 0, 1 continue. Il s’agit
de montrer que g est constant.
6
Figure 3.1 – TVI pour f (x) = x3
Examinons g ◦ f : (X, T ) → {0, 1}. Comme f : (X, T ) → (X 0 , T 0 ) est continue nous avons
que f : (X, T ) → (f (X), Tf0(X) ) est continue, g ◦ f est donc continue et X est connexe donc
g ◦ f est constant.
∃c ∈ 0, 1 : g(f (x)) = c
(f (X), Tf0(X) ) est donc connexe.
Nous obtenons donc le Théorème des valeurs intermédiaires comme corollaire du théorème
précédant :
Théorème 7 (Théorème des valeurs intermédiaires). Si f ∈ C 0 (X; R) avec (X, T ) espace
topologique connexe, alors f (X) est un intervalle.
Démonstration. Soit f ∈ C 0 (X; R), comme f est continue nous avons que f (X) est connexe
grâce au théorème [6]. De plus par le théorème [5] nous obtenons que f (X) est un intervalle.
3.2
Définitions d’algèbre
Finissons ces rappels par deux définitions d’algèbre qui seront utilisées pour la démonstration
du Théorème des valeurs intermédiaires.
Définition 8 (Corps de décomposition). Soient un corps commutatif K et un polynôme P
non nul à coefficients dans K. Un corps de décomposition de P sur K est une extension L de
K telle que :
– P est constant ou scindé sur L, c’est-à-dire produit de polynômes du premier degré dans
L[X].
7
– Les racines de P dans L engendrent L sur K, c’est-à-dire qu’il n’existe aucun autre
sous-corps de L que lui-même contenant K et les racines de P .
Définition 9 (Polynôme symétrique). Soit A un anneau commutatif unifère. Un polynôme
Q(T1 , ..., Tn ) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation σ de S, l’égalité suivante est vérifiée :
Q(T1 , ..., Tn ) = Q(Tσ(1) , ..., Tσ(n) )
3.3
Démonstration du Théorème de D’Alembert avec TVI
Tout polynôme réel de degré impair possède une racine réelle : en effet, si le polynôme
réel est de degré impair, ses limites en plus et moins l’infini sont respectivement +∞ et −∞,
le théorème des valeurs intermédiaires montre alors l’existence d’une racine.
Ensuite prouvons que tout polynôme réel possède une racine complexe :
Pour F polynôme réel, on note d son degré, puis on pose d = 2nq, où q est impair.
La preuve est une récurrence sur n, l’initialisation n = 0 ayant été traitée par la technique
analytique (ci-dessus).
Supposons le résultat connu pour tous les polynômes réels de degré non divisible par 2n
et soit F réel de degré d = 2nq (q impair). Considérons, dans un premier temps, F comme
polynôme à coefficients complexes et on introduit un corps de décomposition K pour F
(comme on a pensé provisoirement F dans C[X], C ⊆ K) ; on note alors xi (1 ≤ i ≤ d) ses
racines dans K (éventuellement répétées autant de fois qu’elles sont multiples).
Pour chaque réel c on introduit le polynôme :
Gc =
Y
(X − xi − xj − c · xi xj )
1≤i<j≤d
Ce polynôme est de degré d(d−1)
= 2n − 1q(d − 1) qui n’est pas divisible par 2n. Les coef2
ficients de Gc sont par ailleurs réels : en effet ce sont des polynômes symétriques à coefficients
réels en les racines de F , ils peuvent donc être écrits comme des polynômes réels, produit de
polynômes symétriques élémentaires en les racines de F . Donc ils peuvent être écrits comme
des polynômes réels en les coefficients de F , coefficients qu’on a supposés réels. On peut dès
lors appliquer l’hypothèse de récurrence à Gc et conclure qu’une au moins de ses racines est
complexe. On peut donc isoler deux indices i(c) et j(c) tels que :
xi(c) + xj(c) + c · xi(c) xj(c) ∈ C
L’ensemble R est infini alors que l’ensemble des couples d’indices est fini, et il existe deux
réels c et d tels que i(c) = i(d) et j(c) = j(d) ; on note i = i(c) = i(d) et j = j(c) = j(d).
Comme (xi + xj ) + c(xi xj ) et (xi + xj ) + d(xi xj ) sont complexes avec c et d, on en déduit que
xi + xj et xi xj sont aussi complexes, puis que xi et xj sont à leur tour racines d’un polynôme
du second degré à coefficients complexes, donc complexes.
On a bien trouvé une racine complexe pour F .
8
Chapitre 4
Démonstration par le théorème de
Liouville
4.1
Rappels sur les fonctions holomorphes
Pour commencer, nous allons rappeler deux définitions élémentaires sur la théorie des
fonctions holomorphes :
Définition 10. Soient Ω un ouvert de C et f : Ω → C une application. On dit que f est
(a)
C-dérivable en a si limz→a, z6=a f (z)−f
existe. On note alors la limite par f 0 (a), et on dit
z−a
que c’est la dérivée au sens complexe de f en a.
Définition 11. Soit Ω un ouvert de C. Une fonction f : Ω → C est holomorphe sur Ω si
elle est C-dérivable en tout point de Ω. On note par H(Ω) l’espace vectoriel des fonctions
holomorphes sur Ω.
Pour démontrer le Théorème de Liouville, nous auront besoin de l’inégalité suivante :
Théorème 8 (Inégalité de Cauchy). Soit f ∈ H(Ω), nous avons :
|f (n) (a)| ≤ n!
Mr
,
rn
∀n ∈ N
Si Mr = sup|z−a|=r |f (z)|, où D(a; r) ⊂ Ω.
Énonçons maintenant le Théorème de Liouville, sur lequel la preuve repose principalement :
Théorème 9 (Théorème de Liouville). Soit f ∈ H(C). Si il existe M > 0 tel que |f (z)| ≤ M
∀z ∈ C, alors f est constante.
Démonstration. D’après l’inégalité de Cauchy [8] pour n = 1, on a |f 0 (a)| ≤
M
r .
∀a ∈ C et 0 < r < δ(a)
Comme Ω = C, δ(a) = +∞.
0
0
D’où |f 0 (a)| ≤ limr→+∞ M
r = 0 d’où f (a) = 0. Ce qui implique que f est identiquement
nulle. On en déduit que f est constante.
9
4.2
Démonstration du Théorème de D’Alembert
On raisonne par l’absurde. Soit P ∈ C[z] tel que deg(P ) = n ≥ 1, P (z) 6= 0 ∀z ∈ C et :
P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n
avec an 6= 0. Alors f =
On a :
1
P
∈ H(C).
1
1
1
= lim n .
=0
−n
−n+1
+ a1 z
+ · · · + an
|z|→∞ z a0 z
|z|→∞ P
lim f (z) = lim
|z|→∞
Donc f est bornée dans C, i.e. il existe M > 0 tel que |f (z)| ≤ M ∀z ∈ C. D’où, d’après
le théorème de Liouville, f est constante, i.e. il existe c ∈ C∗ tel que P1 = c. On en déduit que
P = 1c est constant. D’où la contradiction avec le fait que lim|z|→∞ P (z) = +∞ si deg(P ) ≥ 1.
Cela achève la preuve.
Annexe : commandes Scilab pour la figure [3.1]
Voici les lignes de code tapées sous Scilab pour obtenir la figure [3.1]
d e f f ( ’ z=f ( x ) ’ , ’ z=x ˆ3 ’ ) ;
x=linspace ( − 3 , 3 , 1 0 0 ) ;
y=f ( x ) ;
plot2d ( x , y ) ;
x=[ −1.5 , −1.5 ,0 ,0 ,1.5 ,1.5]
y=[0 ,( −1.5)ˆ3 ,( −1.5)ˆ3 ,(1.5)ˆ3 ,(1.5)ˆ3 ,0]
plot2d2 ( x , y , 5 )
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Bibliographie
[Wikipédia] Théorème de D’Alembert-Gauss. Lien vers wikipédia, Rubrique Théorème de
D’Alembert-Gauss.
[Ilemaths] Topologie. Lien internet
[Homeomath] Moivre. Lien internet vers Homeomath, Rubrique : Complexe, Formule de
Moivre et d’Euler.
[Nicolas Raymond, 2011] Cours de topologie.
mathématique
Semestre 5, 3ème année Licence de
[Karim Bekka, 2011] Cours de Calculs différentiels et fonctions holomorphes (CDHO). Semestre 6, 3ème année Licence de mathématique
11