Introduction `a la théorie du corps de classe

Introduction `a la th´eorie du corps de classe
Rodolphe LAMPE
Stage encadr´e par Matthieu Romagny
12 septembre 2007
Table des mati`eres
1 Valuation et entiers p−adiques 2
1.1 Valuation ........................................ 2
1.2 Anneau de valuation discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Entiers p−adiques ................................... 4
1.4 Corps p−adiques .................................... 4
2 Ramification 5
3 Th´eorie de Galois 5
3.1 Groupes de Galois sur les corps locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Extensions galoisiennes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Th´eorie de Galois infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Groupes profinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Loi de r´eciprocit´e 7
4.1 Axiomes sur les groups de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Construction ...................................... 8
5 Annexe 9
5.1 Limite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Bibliographie 11
1

Historiquement la th´eorie du corps de classes (toute fin du XIX`eme et d´ebut du XX`eme) est n´ee
de la volont´e de d´ecrire les extensions galoisiennes ab´eliennes des corps de nombres. On peut
citer les pr´ecurseurs de cette p´eriode - avant 1930 - : Hilbert, Furtwangler, Weber, Kronecker,
Takagi. Le travail de leurs successeurs (Artin, Tate, Chevalley,...) a permis de d’alg´ebriser les
d´emonstrations (i.e. ´eliminer les arguments analytiques) en donnant en mˆeme temps un cadre
axiomatique a la th´eorie, qui fonctionne aussi bien pour le cas global (corps de nombres) que local
(corps p-adiques). Avec cette axiomatisation, la th´eorie fait une large part a la cohomologie des
groupes. On peut n´eanmoins se limiter au strict minimum, en suivant l’approche de Neukirch.
C’est ce qu’on se propose de faire.
Le m´emoire se concentre sur le cas des corps p-adiques, qu’il pr´esente bri`evement ; son objectif
est de construire l’application de r´eciprocit´e, coeur de la th´eorie, qui ´etablit un isomorphisme
entre l’abelianis´e du groupe de Galois d’une extension L/K et le groupe des classes d’´el´ements
inversibles de K modulo les normes. Le formalisme cohomologique n’est pas aborde ; en revanche
l’accent est mis sur la correspondance entre automorphismes de Frobenius et ´el´ements premiers.
1 Valuation et entiers p−adiques
Les corps de nombres, objets centraux de la th´eorie du corps de classe, se plongent dans Cet
h´eritent ainsi de la topologie usuelle de C. Ils poss`edent ´egalement de nombreuses autres topo-
logies naturelle, celles induites par les valuations que nous ´etudions ici.
Les valuations sur un corps Kpermettent de d´efinir une topologie sur K. Elles permettent
´egalement de cr´eer une structure en construisant les sous-ensembles suivant : l’anneau de valua-
tion du corps K, l’unique id´eal maximal de l’anneau de valuation et le corps r´esiduel. Une fois
cette topologie d´efinie et cette structure ´etablie, on peut ´etudier les propri´et´es qui en d´ecoulent.
Un exemple qui nous int´eresse particuli`erement est le cas de la valuation p−adique est des entiers
p−adiques.
1.1 Valuation
D´efinition 1.1
Une valeur absolue sur un corps Kest une fonction | | :K→Rv´erifiant les propri´et´es :
–|x| ≥ 0,
–|x|= 0 ⇔x= 0,
–|xy|=|x||y|,
–|x+y| ≤ |x|+|y|.
D´efinition 1.2
Une valeur absolue | | est non archim´edienne si |n|reste born´e pour tout n∈Nou de mani`ere
´equivalente, elle v´erifie l’in´egalit´e |x+y| ≤ max(|x|,|y|),∀x, y ∈K.
D´efinition 1.3
Une valuation sur un corps Kest une fonction v:K→R∪ {∞} v´erifiant les propri´et´es :
–v(x) = ∞ ⇔ x= 0,
–v(xy) = v(x) + v(y),
–v(x+y)≥min(v(x), v(y)).
A tout valuation, on peut associer une valeur absolue associ´ee :
Proposition 1.4
Pour tout valuation v, on d´efinit la valeur absolue | | associ´e `a vpar |x|=q−v(x), pour tout
x∈K, pour un r´eel fix´e q > 1. La valeur absolue ainsi d´efinie est non archim´edienne. Lorsque
qvarie, les valeurs absolues obtenues sont ´equivalentes (le quotient de deux valeurs absolues est
born´e).
2

Sur le corps Q, nous connaissons la valeur absolue usuelle | |, c’est une valuation archim´edienne
not´ee |.|∞. On peut d´efinir ,pour tout nombre premier p, la valuation non archim´edienne | |p. Elle
est d´efinie par |x|p=p−vp(x), pour tout x∈Q, o`u vpest la valuation p−adique (exponentielle)
d´efinie par :
∀x∈Q×, x =pa×b
cavec (b, c)∈Z×N×et (bc, p) = 1 ⇒vp(x) = a.
On prolonge vpen 0 par vp(0) = ∞. La fonction vpainsi d´efinie est bien une valuation et la
fonction | |passoci´ee est bien une valeur absolue non archim´edienne. De plus, toute topologie
d´efinie sur Qpar une valeur absolue est la topologie induite par une des deux valeurs absolues
| |∞ou | |p:
Th´eor`eme 1.5
Toute valeur absolue sur Qest ´equivalente `a l’une des valeurs absolues | |∞ou | |p.
1.2 Anneau de valuation discr`ete
Soit vune valuation d´efinie sur le corps K.
D´efinition 1.6
L’ensemble
o={x∈K, v(x)≥0}={x∈K, |x| ≤ 1}
est un anneau appel´e anneau de valuation. Le groupe des unit´es de cet anneau est
o∗={x∈K, v(x) = 0}={x∈K, |x|= 1}
et l’unique id´eal maximal est
p={x∈K, v(x)≥1}={x∈K, |x|<1}.
Le corps des fractions de l’anneau de valuation oest le corps K. Le corps o/pest appel´e corps
r´esiduel de o.
Une valuation vest appel´e discr`ete si elle admet une plus petite valeur s > 0. Dans ce cas,
v(K×) = sZ.
On normalise en prenant la valuation ´equivalente v/s. Il existe alors un ´el´ement π∈ode
valuation 1 qu’on appelle uniformisante. Il engendre l’id´eal pet tout ´el´ement xde K×admet
une unique ´ecriture
x=uπm
o`u m∈Zet u∈o∗.
Proposition 1.7
Si vest une valuation discr`ete de K, alors o, appel´e anneau de valuation discr`ete, est un anneau
principal contenant un unique id´eal maximal p. Les id´eaux non triviaux de osont les puissances
de p. De plus, on a
pn/pn+1 ∼
=o/p.
En effet, soit aun id´eal non trivial de oet x6= 0 un ´el´ement de ade valuation minimale v(x) = n.
Alors x=uπn, u ∈o∗donc πno⊂a. Si y=u0πm∈aalors m≥net y= (u0πm−n)πn∈πno.
Ainsi a=πno=pn.L’isomorphisme
pn/pn+1 ∼
=o/p
provient du morphisme aπn7→ amod p.
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1.3 Entiers p−adiques
Lorsqu’on compl`ete Qpar rapport `a la topologie p−adique, on obtient les nombres p−adiques.
Les nombres p−adiques sont tr`es utilis´es en th´eorie des nombres. Il nous int´eresse tout parti-
culi`erement dans l’´etude de la th´eorie du corps de classe car nous ´etudierons les corps p−adiques.
On fixe un nombre premier p.
D´efinition 1.8
Un entier p−adique est une s´erie formelle infinie
a0+a1p+a2p2+··· ,
o`u 0≤ai< p pour tout i∈N. L’ensemble des entiers p−adiques est not´e Zp.
L’addition et la multiplication de 2 entiers p−adiques se font `a l’aide des r`egles usuelles des
restes modulo p.
D´efinition 1.9
On d´efinit l’ensemble des nombres p−adiques Qpcomme l’ensemble des pnxo`u n∈Zet x∈Zp.
Proposition 1.10
L’anneau des entiers Zpest un anneau de valuation discr`ete d’id´eal maximal (p). Son corps des
fractions est Qpet son corps r´esiduel est Fp.
Proposition 1.11
L’application qui `a tout entier p−adique
f=X
i≥0
aipi
associe la suite (sn)n∈Ndes classes
sn=
n−1
X
i=0
aipimod pn
induit une bijection
Zp→lim
←−
n
Z/pnZ.
1.4 Corps p−adiques
D´efinition 1.12
Un corps p−adique est une extension finie de Qp.
Les corps p−adiques apparaissent comme les compl´et´es des corps de nombre :
Proposition 1.13
Le compl´et´e d’un corps de nombres pour une valuation p−adique est un corps p−adique.
Proposition 1.14
Un corps p−adique est un corps valu´e complet localement compact pour la topologie induite par
la valuation p−adique. De plus, son anneau des entiers oest un anneau de valuation discr`ete,
compact, et le corps r´esiduel est une extension finie de Fp.
4

2 Ramification
On fixe un corps de base KHenselien pour une valuation non archim´edienne v. On peut classer
les extensions du corps Ksuivant la nature de leur ramification. Certaines sont non ramifi´ees,
d’autres mod´er´ement, d’autres sauvagement et d’autres encore, totalement ramifi´ees.
On note OK,p, κ pour le corps Krespectivement l’anneau de valuation, l’id´eal maximal et le
corps r´esiduel. Pour une extension Lde Kon notera OL,P, λ et la valuation w.
D´efinition 2.1
Une extension finie L|Kest non ramifi´ee si l’extension λ|κest s´eparable et
[L:K] = [λ:κ].
Une extension alg´ebrique arbitraire L|Kest non ramifi´ee si elle est l’union de sous extensions
finies non ramifi´ees.
Proposition 2.2
Soit L|Kune extension alg´ebrique. Le compos´e T|Kde toutes les sous-extensions non ramifi´ees
de L|Kest une extension non ramifi´ee appel´e sous-extension maximale non ramifi´ee de L|K.
Exemple 2.3
Soit pun nombre premier et n∈Ntel que (n, p)=1. Alors l’extension Qp(ζ)|Qp, o`u ζest une
racine n−i`eme de l’unit´e, est une extension non ramifi´ee.
Si κest de caract´eristique non nulle (p= car(κ)) alors on a la notion plus faible suivante :
D´efinition 2.4
Une extension alg´ebrique L|Kest mod´er´ement ramifi´ee si l’extension λ|κest s´eparable et [L:K]
est premier avec p. Dans le cas infini, le degr´e de chaque sous-extension finie L|Test premier
avec p.
Proposition 2.5
Soit L|Kune extension alg´ebrique. Le compos´e V|Kde toutes les sous-extensions mod´er´ement
ramifi´ees de L|Kest une extension mod´er´ement ramifi´ee appel´ee sous-extension maximale mod´er´ement
ramifi´ee de L|K.
On a la tour d’extensions :
K⊂T⊂V⊂L.
D´efinition 2.6
L’extension L|Kest dite totalement (ou purement) ramifi´ee si T=K, et sauvagement ramifi´ee
si elle n’est pas mod´er´ement ramifi´ee, c’est `a dire V6=L. L’extension est dite totalement sau-
vagement ramifi´ee si V=T=K.
Exemple 2.7
Soit s∈N×, n =pset ζune racine n−i`eme de l’unit´e. Alors l’extension Qp(ζ)|Qpest une exten-
sion totalement ramifi´ee de degr´e φ(ps) = (p−1)ps−1. De plus, le groupe de Galois G(Qp(ζ)|Qp)
est isomorphe `a (Z/nZ)×. Si s > 1, elle est sauvagement ramifi´ee.
3 Th´eorie de Galois
La th´eorie du corps de classe ´etudie les extensions galoisiennes ab´eliennes. Nous allons donc
´etudier les groupes de Galois associ´es aux extensions, qu’elles soit finies ou non. Dans le cas
infinie, nous introduisons les groupes profinis.
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